Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Эти выражения справедливы при малом поглощении звука, когда мало убывание амплитуды на расстояниях порядка длины волны, т. е. уЛ « 1 [у =- у, + у.). В газах это условие означает, что Чс«2Л» Л / с уЛ вЂ” — -- — — — — -- — — — — « 1, сэос Л« с Л с Л т. е. выражение для коэффициента поглощения справедливо для длин волн, значительно ббльших пробега молекул, что фактически всегда имеет место. В веществе с замедленным возбуждением внутренних степеней свободы [при большой второй вязкости) возникают дополнительное, аномально большое поглощение, а также дисперсия звука [зависимость скорости авука от частоты).
Этот вопрос будет рассмотрен в гл. «'111. й 23. Структура и ширина фронта ударной волны слабой интенсивности Рассмотрим, каковы внутренняя структура и толщина того тонкого слон в ударной волне, в котором происходит переход газа из начального состояния в конечное и который называется фронтом ударной волны. В этом слое происходят резкое сжатие вещества, изменения его давления, скорости и, как показали вычисления, основанные только на применении законов сохранения массы, импульса и энергии, — возрастание энтро- ! зз! стгуктуРА и шиРинА ФРОнтА слАБОЙ удАРт!ОЙ ВОлны 71 пии. Последнее свидетельствует о том, что в переходном слое имеет место диссипация механической энергии, необратимое превршцепие ее в тепло.
Поэтому, чтобы понять, как происходит ударное сжатие, необходимо привлечь к рассмотрению диссипативные процессы — вязкость и тептопроводность. Рассмотрим плоское одномерное течение вязкого и теплопроводного газа в системе координат, в которой фронт ударной волны покоится. Ширина фронта очень мала по сравнению с характерными масштабами длины для всего газодинамического процесса в целом, например, по сравнению и, 8, с расстоянием от фронта ударной волны до поршня, толкающего гаа и создающего волну. Датке если поршень движется с переменной скоростью и амплитуда ударной волны меняется со временем, за то д малое время !т!, в течение которого фРонт прохоДит РасстоЯние порЯДка сво- Рис. !.39.
Охяиа, иллюстрирующая ей ширины Лх, амплитуда волны остает- постановку задачи о структуре фроися практически неизменной. Поэтому на та ударной волны. протяжении некоторого времени, малого по сравнению с общим временным масштабом газодинамического процесса, но большого по сравнению с Л1, вся картина распределения газодинамических вечичин во фронте волны распространяется по газу в «застывшем» виде как целое.
Другими словами, в системе координат, в которой фронт покоится, течение газа мои!по в каждый данный момент считать стационарным. Запишем уравнения непрерывности, импульса и энтропийное с учетом вязкости и теплопроводностн для плоского стационарного случая. Поскольку процесс стационарен, частную производную по времени д/д/ можно опустить, а частную производную по координате д/дх заменить полной д/дх! — (йи) =О, — ( р+ Ои» вЂ” — т) — ) = О, (1.96) Г и» ! 4 эти т/Т ! — !с9и (и+ — / — — т)и — — и — ) =О„ ия| ~ г / З и я)=' (1.97) Подчиним решение этих уравнений граничным условиям, согласно которым градиенты всех величин перед фронтом, при х = — оо, и за фронтом, при х = + Оо, исчезают, а сами величины принимают свои начальные и конечные значения, которым мы по-прежнему приписываем индексы «О» и «1» (рис.
1.39). С помощью второго закона термодинамики Т ио' = дтя — У др н уравнений непрерывности и импульса энтропийное уравнение можно записать в форме уравнения энергии: 72 РАЗОДинАмикА и клАссическАЯ теОРиЯ УДАРных ВОлн 1гл 1 Первые интегралы системы уравнений массы, импульса и энергии получаются сразу же: Еи = Еоио (1.98) р+Еи — — Ч вЂ” „, =ро+Еои: 4 ви е (1.99) ив Х 4 йи г)Т Г и1'~ Еи (ю+ — ( — — Чи — - и =- Еоио (гво+ — е ) . (1.100) 2 ( 3 ох Лх (, 2,) ' У '~ р = ро+ Еои' (1- — ) ;( (1.101) 'Таким образом„точка, описывающая состояние газа внутри фронта ударной волны, пробегает на плоскости р, Р' из начальной точки А в конечную точку В вдоль прямой АВ, о которой узке много говорилось при исследовании ударной адиабаты.
Проведем через точки начального и конечного состояний на плоскости р, Р' адиабаты Пуассона (рис. 1.40; адиабата Гюгонио на нем не пока- *) Пря х=+со видех=О, г)Т)г)х О, р=р,, Е=ЕО и=иг, и мы приходим к законам сохранения массы, импульса и энергии кз разрыве (1,61), (1,62), (1. 64) . Постоянные интегрирования здесь выражены через начальные значения величин, р, Е, Т, и рассматриваются как функции текущей координаты х о). Из уравнения (1.99) видно, что благодаря наличию вязкости, т. е. члена, содержащего ди7агт, распределение величин по х во фронте волны должно быть непрерывным (в противном случае градиент агиных обращался бы в бесконечность, что несовместимо с 4Р конечностью самих величин).
В целях лучшего понимания ролей каждого из процессов, вязкости и теплопроводности, мы рассмотрим прежде два частных случая структуры фронта: 1) когда нет вязкости и существует одна теплопроводносттб 2) когда существует одна йл- — —— лишь вязкость, но нет теплопроводности, Мы не будем здесь искать точные решения '" уравнений (этот вопрос будет рассмот- рен в гл. т'П, специально посвященной А "л ~о изучению структуры фронта ударных волн).
Ограничимся лишь выяснением качественной картины явления и оценРис.1.40. Диаграмма Р,У пркые- ками ширины фронта. кительно к задаче о стРУктУРе 1) Всть твплопроводность, а вязкости фронта ударной волвы беэ учета вязкости. нет: т) = О. Состояние в волне меннетсл вдоль Этот случай замечателен тем, что уравпервого второго и третьего порнднов НЕНИЕ ИМПУЛЬСа (1.99) ПРИобРЕтаЕт ФОРМУ волны. р+ Еио = рс+ Еои~ аналогичную той, которая связывает конечные и начальные значения величин. Однако теперь это уравнение описывает и все промеягуточные состояния во фронте волны.
С помощью уравнения непрерывности (1.98) получим СТРУКТУРА И ШИРИНА ФРОНТА СЛАБОЙ УДАРНОИ ВОЛНЫ 73 вана). Если нанести на плоскость целый ряд адиабат Пуассона с разными значениями энтропии, то мы увидим, что одна из них коснотся прямой АВ в некоторой точке М, как показано на рис. 1АО. В этой точке энтропия вдоль прямой АВ максимальна (Яо ( Яо Ям).
Из уравнений (1.98) и (1.101) следует, что скорость газа и в точке касания М в точности равна местной скорости звука (и = с в точке М; напоминаем, что в точке А ио > со, а в точке В и, ( с,). Найдем величину максимума энтропии Ям,„из условия касания эдиабаты Пуассона с Я = Я а„и прямой АВ. Как мы сейчас увидим, величина Яма„— Яо пропорциональна (Г, — Уо)о или (Ра — ро)а, поэтому уравнения семейства адиабат р ($', Я) и прямой запишем в виде разложения около точки А, опуская члены третьего порядка малости (в таком приближении адиабаты Яо и Я, совпадают; см. т 18).
Уравнение адиабаты имеет впд: Р— Ро=-' — ' (У вЂ” Уо)+ — ( о 3 (У вЂ” Уо) +( — '- ! (В Уо). Г др др ~З 2 ( дро Б ' аЬ' у Уравнение прямой: Р— Ро — — — — (У вЂ” У) = У1 — Уо о— =(-~~-).,„('- У + 4 (-ж).. (' — ') ('-') Условие касания выражается равенством (, др)апиао (, дУ/ прим ' которое дает уравнение для определения объема Ум в точке касания М Вычисление показывает, что точка М находится как раз посередине между точками А и В: Ум — р'о = — (Г~ — Уо).
Подставляя это выра- 2 жение в уравнение прямой, найдем давление в точке М, а подставляя затем найДенное значение ДавлениЯ Рм и объем Ум в УРавнение аДиабаты и разрепоая его относительно энтропии, получим энтропию в точке М: (даР/дра)з Вм — Во = В и — Во = — ' —" (Уа -- Уо)'. = з (арУад)у Таким образом, максимальное изменение энтропии внутри фронта ударной волны при учете одной лишь теплопроводностн есть величина второго порядка малости относительно амплитуды Уо — У, или р, — Ро, в отличие от полного скачка энтропии Я~ — Я„который третьего порядка малости относительно амплитуды.
Это ясно и из геометрических сообраяоений: наибольшее удаление прямой АВ от адиабаты Пуассона Я = Во на плоскости р„у пропорционально (Ра — Уо)' или (ра — Ро)о. Так, разность между давлениями в точке М и иа адиабате ЯА (или Яп) прн том же самом объеме )гм равна Рм(ам) РБА (ааг) = 2 ( аро ) (('м Уо) (р~ а м)— 'ОА в ( ар~ ) ара з (1.102) (разность давлений между точками на адиабатах Яэ и ЯА при Одинаковом Объеме Р'м есть величина тРетьего поРЯДка малости). 1'АзодинАмикА и клАссичвскАН ТБОРин удАРных Воли 1гл, 1 Наличие максимума энтропии внутри фронта свидетельствует о том, что профиль температуры Т (х) в точке, где энтропия максимальна, имеет перегиб, так что распределения температуры и энтропии в слабой ударной волне с одной лишь теплопроводностью иаображаются кривыми, показанными на рис. 1.41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
