Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 23
Текст из файла (страница 23)
1 и 25. Сильный взрыв в однородной атмосфере Идеализированная задача о сильном взрыве в однородной атмосфере представляет собой типичный пример класса движений газа, называемых автомодельными, когда газодинамические величины меняются с течением времени таким образом, что распределения их по координате остаются всегда подобными самим себе. Автомодельная задача о сильном взрыве была сформулирована и решена Л. И. Седовым. Остроумным способом, путем использования интеграла энергии, Л. И. Седову удалось найти точное аналитическое решение уравнений автомодельного движения [4, 5[.
Задачу рассматривали также К. П. Станюкович (в диссертации; см. [15[) и Тэйлор [6], которые сформулировали и исследовали уравнения, но не получили их аналитического решения. Мы остановимся на постановке и результатах решения этой задачи, так как они понадобятся нам в дальнейшем„в гл. у'П[ и [Х, при изучении некоторых физико-химических и оптических явлений, сопрово>кдающих сильный взрыв в воздухе. Пусть в газе плотности ош который будем считать идеальным, с постоянной теплоемкостью, в неболыпом объеме в течение короткого промен;утка времени выделяется болыпая энергия Е. От места энерговыделения по газу распространяется ударная волна. Будем рассматривать ту стадию процесса, когда ударная волна уходит на расстояния, очень большие по сравнению с размерами области, где произошло энерговыделеиие, и движение охватывает массу газа, большую по сравнению с массой продуктов взрыва. При этом энерговыделеиие с большой точностью мо1кно считать точечным и мгновенным.
В то же время будем считать, что стадия процесса и не слишком поздняя, так что ударная волна уходит от источника не слишком далеко и ее амплитуда еще столь высока, что можно пренебречь начальным давлением газа р, по сравнению с давлением в ударной волне. Зто эквивалентно тому, что можно пренебречь начальной внутренней энергией газа, охваченного движением, по сравнению с энергией взрыва Е, и пренебречь начальной скоростью звука сз по сравнению со скоростями газа и фронта волны. Движение газа определяется двумя размерными параметрами: энергией взрыва Е и начальной плотностью Ож Из этих параметров нельзя составить масштабов с размерностями длины или времени. Следовательно, движение будет автомодельным, т.
е. будет зависеть только от определенной комбинации координаты г (расстояния от центра взрыва) и времени 1. В отличие от автомодельного движения, рассмотренного в з 11, в задаче нет характерной скорости. Начальная скорость звука сз не может характеризовать процесс: в том же приближении, в котором начальное давление рз полагается равным нулю, равна нулю и скорость звука с, *). Поэтому автомодельная переменная не есть величина Ю, как в автомодельной волне разрежения (см. з 11). "] Это условие фактически определяет граввцы применимости решекия задачи. Предъявляя определенные требования к точности решения, иы сравниваем полученвыо давления во фронте волны р1в скорость распростравеквя волны В с реальными звачеиикми рж сэ и находим момеэт, когда приближение р1 » ро становится слишком грубым.
Следует отметить, что иа самом деле условие справедливости пренебрежения вачальэым давлением восколько более жесткое, а ииенио: р1» [(у+ 1)/(у — 1)[гэ Это видно из формулы (1.76): прк атом условий сжатие в ударной волне равно предельной величине (у + 1) Ду — 1), 85 СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В ОДНОРОДНОЙ АТМОСФЕРЕ 5 251 Единственная размерная комбинация, содержащая длину и время, в данном случае есть Е/Об: (Е/Об) = сэб'сев-2. Поэтому автомодельной переменной служит безразмерная величина: 1 (1.100) Фронту ударной волны соответствует определенное значение независимой переменной $5; закон движения фронта волны Л (/) описывается формулой 2 Л=$~ ( — / (1.110) Скорость распространения ударной волны равна: 5 2 Параметры фронта выражаются через скорость фронта с помощью предельных формул для сильной ударной волны: Ь=йб, 1 ~ Р1= .„+1 йбЛ1 '11= „,~'1 /)- (1 111) Плотность на фронте остается неизменной и равной своему предельному значению.
Давление уменыпается с течением времени по закону 2 б /Я ~5 5 Я Р1 — чб/) чб ( — ) Яо дз (1 112) р = р (1) р (З) В = (5) В (5) где р, (2), и1 (5), О1 — давление, скорость и плотность на фронте ударной Легко понять физический смысл закономерностей распространения сильной вз15ывной волны.
К моменту 2 волна достигает радиуса Л, охватывает объем газа 4нЛ'/3 и массу М = О5.4НЛ~/3. Давление пропорционально средней энергии единицы объема, т. е. р — Е/Лэ. Скорости фронта и газа пропорциональны Х) и )/ р/р )/Е/ОбЛб. Интегрируя уравнение 55Л/б/2 = П, найдем зависимость радиуса фронта от вре- 1 2 мени, Л (Е/дб)513 (с точностью до численного коэффициента 55).
Формула (1.112) демонстрирует закон подобия для перехода от одних энергий взрыва к другим. Давление на фронте имеет заданную величину 1 на расстояниях, пропорциональных Еб, или же в моменты времени, пропорциональные Еб. Распределения давления, плотности и скорости газа по радиусу определяются зависимостью от одной безразмерной переменной $, которую, можно представить в виде Е = $бг/Л. Форма распределений в силу авто-" модельности не меняется с течением времени, масштабы же величин р, д, и аависят от времени точно так же, как и значения этих величин на фронте ударной волны. Другими словами, решение можно представить в форме 86 ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИ~1ЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 1ГЛ.
1 воляы, которые зависят от времени по законам, описываемым формулами (1.111) и (1.112), а р (з), и (з), р (з) — новые, безразмерные функции. Подставляя эти выражения в уравнения газодинамики, записанные для сферически-симметричного случая, и переходя от дифференцирования по г и 1 к дифференцированию по $ с помощью соотношения (1.109), подобно тому как это было сделано в $ 11, получим систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно трех неизвестных функций р, й, р. Решение этой системы должно удовлетворять условиям на фронте волны: при э = сьс р = и = р = 1 Мы пе будем здесь излагать ход решения и выписывать окончательные формулы, это можно найти в книгах Л. И. Седова [5] и Л.
Д. Ландау и Е. М. Лифшица (1!. Отметим только, что единственный безразмерный параметр, вошедший в решение $„определяется из условия сохранения энергии: Я1 'о с(г(з+ — ), (1 113) с если в него подставить найденное решение. Он зависит, так же, как и все решение, от показателя адиабаты у. В реальном воздухе показатель адиабаты не является постоянной величиной, он зависит от температуры и плотности вследствие протекающих при высокой температуре процессов диссоциации и ионизации (см. об этом гл. 111). Однако приближенно всегда можно выбрать некоторое эффективное анач8 фу ггл' чение показателя, считая его постоянным, с тем, чтобы описать решением идеализироРис.
1.50. Профили давления, ванной задачи о сильном взрыве реальный плотности, скоростиитсннсра процесс. Для воздуха можно принять знатУРы дли сильно о точечного чения у равными примерно 1 2 — 1 3. Па взрыва в галс с т = 1,23. рис. 1.50 изображены распределения относительных величин р/р1, р/до и/и„Т/Т, по относительной координате г/Л для у =1,23; (фактически на графике отложено не Т/Т„а 0,1 Т/Т1); параметр зс при этом равен $с=0,930. Характерно, что при сильном взрыве плотность газа чреавычайно резко падает от фронта ударной волны к центру.
Практически вся масса газа, ранее равномерно заполнявшая сферу радиуса Л, теперь собрана в тонкий слой около поверхности фронта. Давление вблизи фронта уменьшается при удалении от фронта к центру в два-три раза, а затем почти во всей сфере остается постоянным. Температура возрастает от фронта к центру, сначала менее резко, пока давление уменьшается, а затем в области постоянного давления — очень быстро. Возрастание температуры к центру связано с тем, что вблизи центра находятся частицы, которые были нагреты очень сильной ударной волной и ооладают болыпой энтропией.
При адиабатическом расширении до одинакового давления температура тем выше, чем больше энтропия частиц, т. е. чем ближе к центру они находятся. Резкое уменьшение плотности при приближении к центру связано с возрастанием температуры (давление постоянно). $261 пРнвлнженное РАссмотрение сильного ВВРыВА 87 Воспользовавшись условием постоянства давления по радиусу в области, не слишком близкой к фронту, можно найти асимптотическое распределение газодинамических величин при г-~ О.
Из уравнения движения др ди ди с р (г) = сонэ«, — = О, следует, что — + и — = О, т. е. и = —. дг д«д» ' ' ' « Чтобы найти асимптотический закон для плотности, перейдем к лагранжевой координате (см. $2). Будем характеризовать данную частицу газа ее начальным радиусом г«(под «частицей» подразумеваем элементарный сферический слой объемом 4яг',Ыг«).
В момент прохождения фронта ударной волны давление в ней пропорционально р, 11-6 = г,'. Начиная с этого момента, частица г» расширяется адиабатически, так что в момент 1 ее плотность равна: $ Но в данный момент 1 давления во всех частицах, находящихся в «полости» вблизи центра, одинаковы и пропорциональны р, (1) 1-ы». поэтому асимптотический закон для плотности в лагранжевых координатах есть О г»1«1-«т«6. Перейдем к эйлеровой координате при помощи определения (1.24) . "Ог« Ыг = д«г,"«(г«.
Подставляя сюда функцию для плотности и интегрируя, получим зависимость зйлерова радиуса данной частицы от времени: г," г1т- 'л«12/»т. Исключая из этого выражения г«при помощи функции р (г«,1), получим искомый асимптотический закон: З 6 О гт 11 6(т 1> при г — » О. Асимцтотический закон для температуры: З 6 (2 т) Т ' — г т 1 «й 1«:«у при г — »О. э э 26. Приблнжепное рассмотрение сильного взрыва Основные закономерности процесса сильного взрыва можно установить с помощью простого приближенного метода, предложенного Г. Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
