А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Отметим, что если й а=йа„, то й а=Фа и наоборот. Приведенные выше уравнения (2) и (4) являются частными случаями уравнения (7), соответствующими й„= 1 н й„=й. Уравнение (5) будет сильно эллиптнчно, если существует постоянная с, )О такая, что для любых $„$з и $з справедливо неравенство (8) Вз = Взэ з з Х й„в(х) Ыв>с, Х В. а. а=! а=! Если в (8) сделать замену, полагая ьз ь! соя ф — яз язп !рз ьз = я! я!и ф + ьз соз фз то неравенство (8) примет вид э з Х ~„,Г„6»., Хй,. а, з=~ а=1 (9) На практике наиболее часто встречаются два случая. А) В осесимметрическом случае коэффициенты и правая часть уравнения, а также само решение не зависят от угла ~р.
При этом уравнение (6) упрощается: 7ги —,д; ~г (Йм дг+ ~з 3~) ~+д, (йм дг +Ам х,) — 1(г, г), (10) а в отсутствие смешанных производных уравнение, соответствующее (7), имеет внд т.„~- — ' д ~ й,)) + д (й, ~-") - — р(г, з). В) В плоском случае коэффициенты, правая часть н решение уравнения (6) не зависят от г, и, следовательно, уравнение (6) пркнимает вид Е зи= —,У~г (~„3" + г" ~-)~+ —,дг (Угз1~ —,+ — где) = — 1(г 'т) (12) Если смешанные производные отсутствуют, то уравнение имеет вид а уравнение (7) без смешанных производных принимает вид (ч,и=уз ~й~у-)+д (йод )"' ~(~Р, г).
(14') Отметим, что замена ~р' Я<2 позволяет свести эти уравнения к обычным эллиптическим уравнениям с переменными коэффициентами. 652 В плоском случае говорят, что (12) и (13) есть эллиптические уравнения в полярной системе координат. Отметим, что при Й„=1, а=1, 2, 3 формулы (11) и (13) описывают уравнение Пуассона в (г, г)- и (г, о)-системах координат.
Иногда требуется решить уравнение Пуассона или более общее эллиптическое уравнение на поверхности цилиндра радиуса Я. В этом случае 2. Краевые задачи для уравнений в цилиндрической системе координат. Рассмотрим сначала оеесимметрический случай. Так как решение не зависит от угла Ч~, то в цилиндрических координатах (г, г) область, где ищется решение, есть прямоугольник 6=(1,(г(1.„1,(г(1,„1,)0). Если исходная область представляет собой кольцевой (полый) цилиндр, то 1, ) О.
Поставим краевые задачи для уравнения (10) в прямоугольнике б. В области 0 задается уравнение (10), на сторонах г 1,„ г = 1, и г =1., задается одно из краевых условий первого, вто. рого или третьего рода. Например, краевые условия третьего рода имеют вид ди — ди + йм дг Йм дг х1и Ы1 (г) Г=1х, й.,д,"+д.,д",=хр — И(г), .=1., (15) ди — ди — — йв — — — хе и — др(г), г=1, . мдг здг = м При 1,=0 уравнение (10) имеет особенность на оси г ° О.
В этом случае обычно интересуются ограниченным решением. Если 1, >О, то на стороне г=1, может быть задано одно из краевых условий первого, второго или третьего рода. Например, краевое условие третьего рода имеет вид ди — ди йм —, +А„~ = х;и — а; (г), г = 1, > О. (16) Если 1,=0, то ограниченное решение выделяется условием Иш г ~А~~ д— "+ йм д ) = О. (17) В условиях (15), (16) х+,(г) и х,"(г) неотрицательные функции. Если на границе прямоугольника О заданы краевые условия второго рода (и~ =0), то задача (10), (15), (16) разрешима лишь при выполнении условия ь1ьа ь1 ) ~ г1 (г, г) аг аг+ ~ [1.,д~+ (г) + 112, (г)) аг+ ба 1 ° 'ь, + ~ г~д~л(г)+др(гцйг О. (18) ц В этом случае решение не единственно и определяется с точностью до постоянной, т.
е. и (г, г) и, (», г)+сопз1, где и (г, г)— какое-либо решение. Рассмотрим теперь уравнение (14) на поверхности цилиндра. В координатах (р, г) область, где ищется решение, есть прямоугольник б=(1,(<р~(1.„1,»(г~(1,„1.,— 1,~2и). ИЗ На сторонах г = 1, и г = Т.> могут быть ловия первого, второго или третьего рода, 1 — ди — ди — й„— +й„— =х,и — д, (>р), 1 — ди — ди + )гзг язв = нг и й>г" (Ч')> заданы краевые ус- например г= 1„ (! 9) Такого рода краевые условия могут быть заданы на сторонах >р=1, и >р=Т,„если поверхность не замкнута (1,— 1г<2п).
Например, краевые условия третьего рода имеют вид ! — ди ! — ди + из =н и Ыр(г) ад>р !! ' дг 1 — ди 1 — ди + — — й — — й — = х>+и йг (г) !!г гг дЧ> !! гг дг >р =1>и (20) !р = г ° Здесь х+,(г))0 и к,+(>р))0. Условие разрешимости задачи (14), (19), (20) при к„+=0 имеет вид с>ь> ~ ) ~(~р, г)а>рйг+) [д+(г)+д, (г))аг+ ~ [у~ (!р)+д (~р)~й>р=О. С, 1> !> с, Если поверхность замкнута (Т,г — 1, = 2п), то стороны и !р=Т.г отождествляются и ставится задача отыскания периодического с периодом 2п решения уравнения (14), удовлетворяющего на сторонах г=1, и г=(.г одному из перечисленных выше условий.
Если при этом в условиях (19) хг~ = О, то условие разрешимости (с точностью до постоянной) указанной задачи имеет вид с, с, ~ (>г, г) й!р аз + ) [у+ (>р) + у; (<р)) а!р = О. 1> !> с, — ди й>г ди + имдг, д =мги й! ('Р) Г=гг. (21) Сформулируем теперь постановки краевых задач для уравнения (12), заданного в полярной системе координат, в случае, когда рассматриваемая область в декартовых переменных есть круг, кольцо или кольцевой сектор. Указанным областям в (г, и>) — координатах соответствует прямоугольник 6=(1, < г Е,„ 1,<~<р<1.„1,) О, Т.,— 1,<2гг). Пусть сначала исходная область есть круг. Уравнение (12) задается в б; при г = Е, ставится одно из краевых условий первого, второго или третьего рода.
Например, краевое условие третьего рода имеет вид Для корректности задачи (12), (21) необходимо наложить дополнительное условие в центре круга. Обычно ищут ограниченное прн «=0 решение. Это решение удовлетворяет условию «- ди лсо ди'1 1пп « ~ й„— + —" — с! = О. (22) сс д дфс' Ввиду того, что в полярной системе координат точка « = 0 плоскости (х„х,) имеет произвольную координату ф, то все точки стороны прямоугольника б при « = 0 отождествляются.
При этом и(0, ф) =и,=сонэ(для 1,(ф(Е,всилу непрерывности решения. Далее, стороны ср=1, и ф=1,, отождествляются и ставится задача отыскания периодического с периодом 2п решения уравнения (12), удовлетворяющего перечисленным выше условиям. В случае, когда при « = 1., задано краевое условие второго рода (21) с х+(ф)= — О, то решение задачи существует, если выполнено условие осс ь, ок ~ ~ «1 («, ф) й«йф+ 1,с ~ и( (ф) йф = О. (23) о о где х, (ф) > О. Если заданы краевые условия второго рода (2! ), (24) с я~ (ф)=0, то решение поставленной задачи существует, если выполнено условие 2Я ь1 ~ ~ «1(«, ф) й«йф+ ~ (1,сд~+ (ф)+1,д, (ср))йф=О.
(25) о с, о В этом случае решение определено с точностью до постоянной. Если область есть кольцевой сектор (1, > О, 1.,— 1,(2п), то ставится задача о нахождении решения уравнения (12), удовлетворяющего на сторонах прямоугольника 6 одному из условий первого, второго или третьего рода, в частности условиям ооо Решение при этом не единственно и определено с точностью до постоянной. Пусть теперь сходная область есть кольцо, т. е. 1, >О.
В этом случае ищется периодическое с периодом 2я решение уравнения (12), удовлетворяющее на сторонах «=1, и «=е., одному из краевых условий первого, второго или третьего рода. Приведем вид краевого условия третьего рода на внутренней стороне кольца (24) и 2. Решение разностных задач в цилиндрической системе координат !. Разностные схемы без смешанных производных в осесямметрическом случае. Рассмотрим краевые задачи для эллиптических уравнений, не содержащих смешанные производные, в цилиндрической системе координат в случае осевой симметрии.
В прямоугольнике о=(1,ч-г(Л„1,~г(Е„1,~0) требуется найти решение уравнения -~-~гй, й)+~-(й,-") — ди — Г(г, г), (г, г) 60, (!) удовлетворяющее на границе прямоугольника 6 следующим краевым условиям: !) на стороне г = 1„1, ч" г (Е„ и(г, г)=д;(г), если 1,~0, (2) или й,э= х;и — д;(г), если 1,) О, ди !ппгй,— =О, ди если 1,=0; .-«О 2) на стороне г=Г,„1,(г(Е„ и (г, г) = а,+ (г) (4) или ди — й, ~ х+и — д+ (г); (б) (2!), (24) при г=Р., и г=1, н краевым условиям третьего рода ди /гм ди Й,,й;.+ —,— х;и — я;(г), ф=1„ (26) ди Ь„ди йид, . д ="'" при ф=1, и ф=1.„х,+(г)) О.
Если заданы краевые условия второго рода (2!), (24), (26) с хь(ф) =О, х,+(г)~0, то решение задачи существует, если вы* ~олнено условие с,с, с« ) ~ г1 (г, ф) бг Йр+ ~ (~.,а1++ 1,д;) Йр+ ) (д;+ й+) Иг = О. (27) и При этом решение не единственно и определяется с точностью до постоянной. 3) на стороне г=(„1,~г(Е„ и (г, г) = д, (г) или й,д — — — х,и — д, (г); ди (6) (7) 4) на стороне г = 5„1, ( г ( Е„ и (., г) = а, (г) или — й, -= хан — д~+ (г).
ди + ' дг (8) (9) определим средние шаги 0,53„(1), т = О, Й„(т)= 0,5~В (т)+Ь„(т+1)], 1~т~~У вЂ” 1, 0,5Ь (Ж„), т=У„, а=1, 3, и сеточную функцию одного переменного р(1)=го 1а~1(Мг, р(0)=~Т ( ' й, (1), 1, О, 1,>О. В простейшем случае непрерывных коэффициентов л„й„д и 7 коэффициенты разностной схемы будем определять по фор- мулам а,(1, й) = г;й,(~г;, г„), И(1, й) = 9 (го 2ь), а, (1, Й) =й,(ги г„), ~р(1, Й)=1(го га), где г,.=г; — 0,56 (1), за=за — 0,5Ь,Я. Предполагается, что коэффициенты удовлетворяют условиям Уг, (г, г) ) )с, > О, й, (г, г) ) с, > О, д (г, г) ) О, х~ (г) ) О, хф (г) ) О. В случае, когда д= — 0 и хь 0 в краевых условиях (3), (5), (7), (9) или 1,=0 и заданы краевые условия второго рода (5), (7), (9), требуем выполнения условия разрешимости (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
