А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Умножая теперь (35) на р(Ив!(0 н суммируя по ! от О до А!г, получим неравенство бз(и, и) ~(Ази, и). Решая численно задачу (36), определим бз. Итак, постоянная бз найдена. Аналогично оценивается постоянная бзч 1(бз= о!ах о(0, где о(0 — решение краевой еадачи ос сл, 1 — /ого-1. — ого= — 1, 1~1~ )У! — 1, +! о! — / н, '!- — оз — аг+ — о= — 1, 1=6, рб„ ~ 3, ) а, — !' нз+ '!- в — о — ~!Гз+ — ( о= — 1, 1=6!х. рй, ° ~ 3, ( = Получим теперь оценки для Ь! и Ьа: Ив (33) при и=о найдем Ф, ( Л, (А,и, и) = ~~~~ р (О о! (О ~ ~ч~р йа (й) аз (Гг) и (О г=о ь=! + аз Х )зз (ь) и' (1 а-о й)+хзиз(1, О)+на+из(1, !Уз) Меняя местами и и и, убеждаемся в самосопряженности операторов А, и А,.
Если положить здесь и=о и учесть условия йх)с,) О, й,)с, ) О, !)))О, х„"~)0, а=1, 3, то найдем, что операторы А! и А, неотрипательны, т. е. (А„и, и)~0. Если выполнено ус- ловие (38) (39) (40) где ,=,„(,,„Г + 1) . ав()ув) ав(!),х 9 Гав(й) ( ав(8+1)1~, б,'(Ав) ' Й(0) ' !аи<и, !8,(й) Рв(~) Ав(а+1)Ц Из (38) н (40) следует оценка ,Я !1в(й)ав(й) и-(! А)+ав ~ ав (й) ив(1. Й)+и~ив(1, 0)+ ач! в=о ма +"ви (!в А'в) ~ба лл„'! бв(й)и (1 й) бв ш!+лвв(1+а!в).
в о Умножая полученное неравенство на р(!)ит(1) н суммируя его по ! от 0 до Л'т, будем иметь оценку (Ави, и) ~ба(и, и). Аналогичным образом находится Ат: Л! = и! -(- тв (1-(- т ), где вх= п1ах в(!), й(1) — решение краевой задачи О < ! < Фв 1 — гави1 1 — ы= — бт, 1~)ва Чт — 1, +1 а1 К1 — юг — ш ~= — (аг+ 71, ! О, ~4! ' а! а, — — ! и! 1 + ~ (б+ ),; р3,, ° ~ Ьl' (41) причем а! ()Ч1) а! (1) р(А),) бв(А!г) * р(о) М (о)' "=-( 2 Го!(1) а1. (!+!) шах — — —,+ ! с ! < и; ! Р (1) Ь,в (') (.01 (1) " ('+ ') В Оценим выражение, стоящее в кввдратнык скобках. Иа леммы 18 главы Ч получим Мв бв Е ив()в А)яв(й)+хаи (1, О)+яви (! )Чв)аС в=о (и, а1, ~ т1 ~,~Я ав(й)и; (1, й) Лв(й)+ Х бв(й)ив(1, ЙЦ„ в=! * в=о где а!1= п1ах ш(й), а 1е(й) — решение краевой задачи о<в<ив ( -)- авш 1 — ш — ав, 1~А~А!в — 1, — шв ш= ~ав+ ) ав l ив~ — (ба+ ~ ° й ав Испольвуя лемму 17 главы Ч, будем иметь ~~в Мв Р ав (й) и- (1, й) Ив (й) ~ шв Ч~Р бв (Л) ив (1, й), ! а о Решая численно аадачу (4!), определим шг и, следовательно, Ьо Танин вараном, постоянные дв и Ьв, и=1, 3, фигурирующие в неравенствах (31), найдены.
Напомним, что итерационная схема метода переменных направлений для операторного уравнения (28) имеет вид (см. гл. Х1) Ва+в "+ Айа= 1» 1= 0 1 ° а»в ЕН» В» = (шв»»»Е + А,) (шмЕ + А,), т„= ш1»»+ одев». В п. 4 й 1 гл. Х1 для итерационной схемы (42), операторы А, и А, которой удовлетворяют перечисленным выше свойствам 1) — 3), был построен оптимальный нзбор параметров шв'» и вД'», й 1, 2, ..., п. При использовании этого набора параметров отиосительнаЯ точность в > 0 (1ӄ— и!р~(вдув — и~~о, (в=А, Е) достигается, если выполнить п~пв(е) итераций, где 1 4 4 1 — а (Лт — дв) (Ьв — в) пе(в) —,!п-1п —, ч) —, а= пв Ч е ' 1+а' (Ьв+ в)(авм дв) Набор оптимальных параметров ш1" и шД" для случая второй краевой задачи (Ы=О, хФ вЂ” = 0) был построен в п.
1 84 гл. Х!1. 4. Решение уравнений, заданных на поверхности цилиндра. Рассмотрим теперь метод решения разностных аналогов краевых задач для эллиптического уравнения без смешанных производных, заданного на поверхности цилиндра радиуса Я. Ограничимся рассмотрением замкнутой по ф поверхности цилиндра, так как методы решения задач в случае незамкнутой поверхности ничем не отличаются от методов решения плоских задач в декартовых переменных.
Итак, в области 6=((в(ф(Е„1в(г(Ла» Ев — 1в=2я) ищется решение уравнения у.— (йв — )+д (~д ) г)и= — ((ф» г), (ф» г)Е6» (43) периодическое по ф о периодом 2н, удовлетворяющее на сторонах г = 1, и г =Ев либо краевым условиям первого рода и(ф, г)=д»в (ф) при г=(„и(вр, г)=йае(ф) при г Ь„либо второго или третьего рода ди йа д, х,-и — И;(ф), г=1„ (44) ~В»)г Х,'и — ва (ф), г = ~„ либо любой их комбинации.
Предполагается, что коэффициенты удовлетворяют условиям йа (ф» г) ~) св > О, йв (ф» г) ав св > 0» д (ф» г) > О, хв+ (ф) ~ )О. В области 0 введем прозвольную неравномерную сетку ге=((~р~, г„)66, ~рг — — рт х+Ь,(1), 1~;1 =М„~ро —— 1„ тл. - Ь„зь = аь-, + Ьз (й), 1 < й < М„га = 1м ил, = 1.,) и определим средний шаг ) 0,6[Ь,(1)+Ь,(М,Ц, )=О, ) ) Об~й, )+Ь.О4 И ' .— (46) Средний шаг $, (й) определен выше.
Уравнение (43) с учетом условия периодичности аппрокси- мируем следующим образом: (а, у„-) - + (а, ур); — од = — $, 0 < 1 < М, — 1, 1 < й < М, — 1, (46) где использованы соотношения д(1, й) =у(М,+1, й), 1=0,— 1, а, (О, й) = а, (М„й), Ь, (0) = Ь, (М,), являющиеся следствием условия периодичности. В случае гладких коэффициентов й„ й„у и 1 коэффициенты в уравнении (46) можно выбрать, на- пример, так: а,(1, й)= —,й,(Чрт — 0,5Ь,(1), га), о'(1, й)=у(<р,, з„), оз(1 й)=й~(Ч~~ гь — 0,5Ь,(й)), Ф(у, й) ~(<р~, а~). Краевые условия первого рода аппроксимируются точно У(1, 0)=у, (~р~), й=о, у(1, М,)=у, (Ч,), й=М, (47) для 0<1< М,— 1, а разиостный аналог краевых условий (44) третьего рода имеет вид для 0<1< М,— 1: .~1 l ~з ((+ чз ) ф ьз й М В задаче (46), (47) неизвестными являются значения у(1, й) для 0<1< М,— 1, 1<й<М,— 1, а в задаче (46), (48) — для тех же значений 1 и 0<й<М,.
Найдем условие разрешимости разностной задачи (46), (48) в случае, когда д= — О, х; =— О. Сначала запишем схему (46), (48) в виде лд= — 1, о<1<М,— 1, о<й<М„ л=л, +л„~=ф+ф,1Ь„ где разностный оператор Л, определен в (26) с д,=д, оператор Л, задается формулой Л,у=(а,уй)-, 0<1< М,— 1, а (р,), й=-о, 1Р,(1, й) = О, 1:=й<М,— 1, Й (%7) Ь=Мч. вбб Пусть теперь 1(=0 и вв,+— = О.
Обозначим через Н пространство сеточных функций, заданных на ввв =((1р~, гв) Еев, 0(»/»( (Нв — 1, 0<й<Нв), скалярное произведение в котором определим формулой 1вв-1 Фв (и, о)= ~ч",,'~ ~и(/, й) о(1, й)Ф,(/) Й,(й). Определим операторы А, и А„действующие в Н, равенствами: А, = — Л„Аву= — Л,у, где у(/, й) =у(/, й) для 0 =/(Мв — 1, 0(й(Мв и у удовлетворяет условию периодичности у(/, й) = =у(М,+/, й), /=О,— 1. Исйользуя введенные обозначения, запишем разностную схему (49) в виде операторного уравнения Аи=/, А=А,+А,. (50) Учитывая условия периодичности, при помощи разностной формулы Грина получим (Аи, о) = — (Ли, о) = ~,р' ,Йв (й) й, (1) (а, и-о-), „+ В=О 1=О в вр вр Ье Мв ив-1 + ~ ~, 'ррв(/)Ь,(й)(а,и;о;) в =(и, Ао).
Следовательно, оператор А самосопряжен в Н. Кроме того, рассматривая значения (Аи, и), найдем, что ядро оператора А СОСтОИт ИЗ СЕТОЧНЫХ фУНКЦИй, ПРИНИМаЮЩИХ На СЕТКЕ Ерв ПОСТО- янные значения. Поэтому решение разностной задачи (49) существует, если выполнено условие (/, 1) =О. Подставляя сюда / из (49), получим ввв- 1 Р" в И,-1 Х Х",О)" (й)ф(/й)+ Х "(/)Ы (фг)+йв(р~)1=0.
При выполнении этого условия решение разностной задачи (46), (48) при 1(=0 и ввв =0 существует и два любых ее решения отличаются на постоянную. Рассмотрим случаи, когда решение разностных задач (46) — (48) может быть найдено прямыми методами, изложенными в главах 1П и 1Ч. Первый ел уча й. Коэффициенты й„й, и д уравнения (43) зависят только от вр, х,+=сонэ( и сетка в равномерна по г. Разностная задача (46), (48) может быть записана в виде системы трехточечных векторных уравнений (С+2~хЕ) 1'в — 21'1= Ев й=Ов — г'"» 1+СГв — вв+1 — — Ев, 1(й(Нв — 1, (51) — 2Ур1в-1+(С+2РЕ) Кив = Гаев й=йвв где У,=2", и ) 0 — целое число, г„=(у(о,й), д(1, й), ..., у(л~,— 1, й)), г,"=(а,Г(о, Ь), е,1(1,'й),".', е',, 1(м,' — 1, й)), с);=((2е — е,л,)д(о, й), ..., (2е — е,,л,)д(и,— 1,й)) для 0<у< У,.
Оператор Л, определен выше, 1Ц, й) задано (4Е) н Еу=Ю~зЦ)э ц=йвка, ~=йзиз Напомйнм, что в п. 3 Е 4 гл. 1П для решения задачи (51) при условии а'+р*чьо был построен метод полной редукции. Если а=()=0, но бчйо, то алгоритм метода изложен в п.1 $ 4 гл. 111. Для последнего случая в п. 2 Е 3 гл. 1Ч был построен комбинированный метод неполной редукции н разделения пере- менных. В то рой ел уча й. Коэффициенты й„й, и д зависят только от г, х,* =сопз( и сетка в равномерна по Ч~. Разностная задача (46), (48) записывается в виде системы трехточечных векторных уравнений — 1Ъ,-~+СУо — 1; = Рю, 1=0, — У'т,+СХ" — У~+,—— -Р~, 1 -1<Л',— 2, (52) — гч,,+с)'~,,— у;= р'~, „1= ч,— 1.
Здесь У,=2", п)0 — целое число, 1;=(дЦ, 0), дЦ, 1), ..., дЦ, Л,)), г,=(6,1(1, о), 6,10,1), ..., е,1(1, л,)), с);=((2е е,л,)уЦ, о), ..., (2е е„,Л)уЦ, лг,)), где 0<1<0,— 1. Разностный оператор Л, определен в (26) с бз=Ы и аз=Фа,(й), 0<у<а(,. Задача (52) может быть ре- шена методом полной редукции, построенным в п. 2 е 4 гл. 1П или комбинированным методом, использующим алгоритм быстрого дискретного преобразования Фурье действительной периодиче- ской функции. Этот алгоритм построен в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
