А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Далее, используя аналог леммы 16 главы»г, найдем, что 6, можно оценить следующим образом: 1/6,= шах о (1), где о (1) — решение краевой о<а<и, задачи р(и»о;)р — Крзо= — 1, 1~(~У» — 1, +1 ри» l гкх 'т — о,— й+ — р'о= — 1, (=О, й, ' ~ рй)'= — — ог.— ~л+ — р о= — 1, (=Мы рот г' гкг+ '» й, ~ рй) Задача (30) решается методом прогонки. (30) 678 В пространстве Н сеточных функций, заданных на ае, определим скалярное произведение М» Я»-1 „ (и, о)=~., ~~' ',' 1 и((, 1)о(1, )). (27) 1=о )=о Операторы А; и А„действующие в Н, определим обычным образом: А„у= — Л„у, где у((, /)=р(1, 1) для 0<(<Лгю О( с 1( Уа — 1 и У УдовлетвоРЯет соотношениЯм пеРиодичности (9), Тогда схема (26) может быть записана в виде операторного уравнения зс» сс ~ $» Яр Я и'(с', С)+1)х» из(О, С)+Е)хзиз (й)с С) ем !=О Г ь»» и» и '(С,( Л)„»»»»»~Я з»»»1.
»»и »=1 С=О где л)! —— )пах в(С), а в(с) есть решение задачи орски» р(а, ) — - — ссре. 1~1 я Ч! — 1. е) — в,— в — (»С+ — )р, С О, ра» гх»» л! ро) рас / гх~ — — — — 1»С+ — 1 Р, с Асс. рй,-( Далее, из аналога леммы 17 главы )7 получим оценку зс» Ф» ~~~„а~(с)л,(С 1)")(Ледглз~ () л ( й С ) С О (32) где ас(»)7») р (йс») а» (1) р (О) шах 2Р (Л Гас(с) +а) (!+1)1 ) 3~(Ю ' 31(О) ' « .- й (ЛЕл.(с) й.(+1),)!' ,„(' °...„Г + 1~ Иа (31) н (33) следует оценка и» и Ь)а)ил+с) 'ЯЬ)раз+1)х! и' (с~о+Е)х! аз (с =ьс»~ с= ! г С=о ~а! т и» з! Ся)+л)з (1+гас) к» л» вЂ” з с=о р Умножая зто неравенство на Йз Я и суммируя по С от О до Лсз — 1, полу чнм (А)и.
и)еялс(и, и). Итак, постоянные 6 и Ь„, а=1, 2, найдены. Напомним, что формулы для итерационных параметров в('» и воз» были получены в и. 4 2 1 гл. Х1. Аналогичным образом строится метод переменных направлений для разностной задачи (8), (10) с краевыми условиями $79 Получим теперь оценку для ас. Используя порву»о разностпую формулу Грина и определение (27) для скалярного произведения, найдем (А)а, и) = — (й)п, й) ь»»- ! Сс» йз (С) ~Я ЬС (с) а, (С) иг (с', С)+»С ~~', й! (С) р(С) из (С, С)+ С=О С=! с=о +С,х)и'(О, 1) +Е)х)из(й)с, ))1.
Оценим выражение, стоящее в квадратных скобках. Из аналога лемиы 16 главы )7 получим оценку При этом любые два решения указанной задачи отличаются на постоянную. Приведенное утверждение доказывается почти так же, как это было сделано в п. 2 3 3, для случая круга и кольца. Здесь скалярное произведение в пространстве Н сеточных функций, заданных на а, определяется формулой и, (и, о) ~ ~~,' и(1, /)о(1, 1)р(1)Ф,(1)Й,(1). (47) К=О1=О Отметим, что коэффициенты а„а„о и функция р(1) в данном пункте определяются, как и в и. 1 й 3. Сделаем замечание относительно методов решения построенных разностных задач.
Если коэффициенты й„й„д зависят только от г, х~ — постоянные, а х,+=О, если заданы краевые условия (3), (5), (35), (37), и сетка в равномерна по р, то соответствующие разностные задачи могут быть решены прямыми методами, построенными в главах 111 и 1Ч. Если выполнены условия й, = й, (г), й, = й, (<р), о = сопз1, х„+ =сопя( и сетка а неравномерна по каждому из направлений, то для решения разностных задач можно использовать метод переменных направлений с оптимальным набором параметров. В этом случае, так же как было сделано в предыдущем пункте, разностные уравнения следует предварительно умножить на р'(1). 7.
Общий случай переменных коэффициентов. Рассмотрим теперь случай, когда переменные не разделяются и решение разиостной краевой задачи находится итерационным методом. Пусть, например, требуется найти решение задачи Дирихле для уравнения (1) на сетке в в предположениях, что сетка а равномерна по ~р(л,(1)=л,), д=О, а коэффициенты й, и й, удовлетворяют условиям 0(с1~й„(г, ~р)(с, а 1, 2. (48) При этих предположениях разностная задача записывается в виде 1 ! Лу = — (и ух)т+-к (и у-) — Ф, (г, Ч) Е в, у(..ф) =а(г..),'(г, Ч) ~у.
где и,(1, () гД(гп ~рт), а,(1,!) й,(г„1р), г1 — — гг — 0,56; (1), ~р~ — — ср~ — 0,56,. В пространстве Н сеточных функций, заданных на гэ, опреде- лим скалярное произведение и,-1 И~-1 (и, о) ~~~ ~ и (1, () о (1, 1) р (1) й, (1) Ь, и операторы А и Я, действующие в Н, Ад= — Лд, Нд- —,обад, где д(», »р) =д(», ф) для (», !р) Е»о и д(», !р) =0 для (», !р) ~у. Здесь разностный оператор Я определяется соотношением '1 — 1 Яд= — (»д-,)р+ —,д-, (», вр) б ы. Используя разностные формулы Грина, можно проверить, что операторы А и К самосопряжены в Й и, кроме того, для любого д Е Н имеют место равенства Ув Яв-1 Фв №-1 (Ад, д) = ~ ~ а,дойоло+ ~~' ~ — ' у-'Йой„ О!в ив 1 (Кд, д)=~~~, ~~~, »уЬвйо+~ ~, — д'иив(оо. в=1 1=1 /=! в=! Отсюда и из (48), (50) следует, что операторы А и К энергетически эквивалентны с постоянными у, =с, и у, =с,: ф!(Нд, д)<(Ад, д)<у,(Нд, д), у!) О.
(51) Ревностная задача (49) может быть записана в виде опера. торного уравнения Аи=Г с определенным выше оператором А. Для ее решения используем неявную итерационную схему В" +' ""+Аде —— 1, Й=О, 1, ... ° до 6Нв (52) где В=Я. Из общей теории итерационных методов, изложенной в главе Ч1, следует, что если параметры тово в схеме (52) выбрать по формулам чебышевского метода то !+ро!во ' раб%о=( — соз 2е в ! ~~!<и~, й=1, 2, ..., и, то для погрешности г„=д„— и будет верна оценка ))д„— и)о< е!(до — и(!р, где В = А или В = В, 0 = АВ-'А, а число итераций удовлетворяет оценке и .-э ио (е) = 1п (О,бе)!1п р,.
Здесь 2 тв+ то — ! — р'Т тг р = 1+$' ' !+у'5 ' то Так как у, и у, не зависят от шагов сетки о, то число итераций пропорциойально )!и О,бе~ и не меняется при измельчении сетки. Для нахождения уа+з получим разностную задачу Яра+,— — — Р, (» ~Р)ба, уз„=д, (г,ф)Ев с известной правой частью Р = — Яу~+т„+,(Ада+ ф).
Отметим, что эта задача удовлетворяет всем условиям, позволяющим находить ее решение одним из прямых методов, например методом полной редукции с затратой 0 (м,лг,1од, л~,) арифметических действий при Л', = 2". Таким образом, общее число действий, которое необходимо затратить для нахождения решения рассмотренной разностной задачи с точностью е, оценивается величиной 0(У,ЛГ,!од, Л', 1п (2/е)). Аналогичным образом могут быть построены, при соответствующих предположениях, итерационные методы решения поставленных в предыдущих параграфах разностных краевых задач в цилиндрической и полярной системах координат.
ДОПОЛНЕНИЕ Построение полинома, наименее уклоняющегося от нуля !. В Э 2 гл. Ч! при рассмотрении двухслойных итерационных схем была сформулирована задача: построить полинам степени н, принимающий в нуле значение 1, максимум модуля которого на отрезке [уг, т,) мини. малек.
Решим эту задачу. Нам будет удобно проводить все исследования не на отрезке [т,, т,), а на отрезке [ — 1, Ц. Для этого сделаем линейную замену переменной, переводящую отрезок у,~/~уз в отрезок — 1~к~1, а точку тг в точку 1. Эта замена имеет вид 1 — рех 2 ! — $ тг Г= — ° 'гэ= ~ ре= ~ С= — ° та ' тг-[- уе 1+$ тэ ' При такой замене точке Г=О соответствует точка х=!/ра > 1. Таким образом, сформулированная выше задача эквивалентна задаче: среди всех полиномов степени л, принимающих в точке х=1/ра > 1 значение 1, найти наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [ — 1, Ц.
Это классическая чебышевская задача теории аппроксимации функций, решение которой хорошо известно, но нам полезно будет это решение найти заново. Для этого нам понадобится Теорема 1. Каковы бы ни были ненрерыеные на [ — 1, Ц функции й(х) > О и /(к), существует единственный нолинои Р„(х) степени не вьиие л тихой, что ун= п1ах д (х) [/ (х) — Р„(х) [= ш(п п1ак д (х) [/ (х) — )(з(х) [. [ Лэ !к)) - !к к~ ! '( а<и / Этот полипом вполне характеризуется следующим свойством: число последовательных точек отрезка [ — 1, Ц, в ноторых функция й(х) (/(х) — Р„(х)) принимает с чередующимися знаками значение йю не меньше н+2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
