А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 100
Текст из файла (страница 100)
(18) 3 1). Будем рассматривать любые комбинации краевых условий (2) — (9). Построим разностные схемы, соответствующие указанным краевым задачам. Введем в области 6 произвольную неравномерную прямоугольную сетку в=((г;, г„)бб, г,. г;,+Ь,(1), 1(1я-У„г,=(„гч,=Ц, Используя введенные обозначения, постным уравнением 1 — (а,у;) 7 + (а,у-) - — Ыу = — вр, аппроксимируем (1) раз- 1<1<У,— 1, 1(я(У,— 1. (10) (4), (6), (8) аппроксими- Краевые условия первого рода (2), руем точно: у (О, я) = д, (гв), у (1т'„я) = у»+ (гв), у(, 0) =у;(,), У(Вв Л'в) 8» (вв)в 0()в (У„ 0(а(М„ 0(1(Ф„ 0(1( У1. (11) (12) (13) (14) (20) ( 1+ х1 + хв ) 1 О ь (~+" +"*') у= Кз ав (21) дв Фв а+1 а, у — — у рй~ Фв 1Р а1 $, Я1" 'р йв 1=1»1 а=1»в (22) Разностный аналог краевых условий (3) имеет вид +1 г — у„+(а,у-)- — ~д+ — ') у= — ~р — ~', 1=0, (15) » в»» ( й ) 1 где 1(а(М» — 1 и х;= дв =О, если 1,=0.
Краевые условия (5), (7), (О) аппроксимируются следующим образом: — 'ур+(а,у;); — ~1+ф) у= — ~р — ', 1=У„(16) где 1(я(М,— 1, +1 / — (ау-)-+ в у — ~д+ в )у= — вр — ~', я=О, (17) -(а у-)- — — у — ~б+ — ) у= — вр — вв-, а=И (18) 1 ав ~ хв 1 ав й,* ~ й)= Д в = Вв где 1< 1( 1»1 — 1. Здесь использованы обозначения ав+'=а,(1+1, АЦ ав+в= а»(1 я+1). Если на пересекающихся сторонах прямоугольника 6 заданы краевые условия третьего рода, то в угловых узлах сетки а ставятся краевые условия +1 +1 + а у ~1»+х 1 х )у= 1р — ~ — ~в, (=я=О (19) +1 + а1 ав ( х, х 1 »1 а» $ а) а В,' — „ур+ — у» — ~~в(+ — + — 1 у = — 'р — —— Как и раньше, если 1,=0, то в (19) и (21) следует положить х;=д;=О, Заметим, что разностная задача (10), (15) — (22) с краевыми условиями третьего рода на каждой стороне прямоугольника б может быть записана в компактном виде Лу= 1~ 0~<1~<Ма~ О~~й~<Мвв Л= Л, + Л„1= ц+ ц,~$+ ц,1Ь„ (23) где а разностные операторы Л, и Л, задаются формулами 1=0, (25) Л,у= з в (а,у) — д,у, 1<й<М,— 1, з * ~ а~ (26) Здесь й,+гг,=А, И,)0 и д,~~О.
Найдем условия разрешимости разностной схемы (23) в случае Ы= — 0 и х~ = — О, а=1, 2. В пространстве Н сеточных функций, заданных на а, определим скалярное произведение по формуле Ж, Ф~ (и, и)= ~ ~~.', и(1, й)о(с', й)р(Е)Й,(1)а,(й). (27) Определим операторы А, и А„действующие в Н, полагая А„=- — Л„, и=1, 3. Тогда разностную схему (23) можно записать в виде операторного уравнения Аи=г, А=А,+Аз.
(28) 1 — (а,у ) — а,у, гу. (~,+ ')у, рй1 ' Ф, йую й О» ц,(г,й)= О, 1«й<М,— 1, Ыэв й=Мю (24) Искольауя первую разностиую формулу Грина, найдем для случая д — 0 и х„" = О, что нв на ( Аа, в) Х Х й, (1) ", (й) (а,и.о.)м + и, ир + ~ ~ Ь, (1) й, (й) Р (1) (ави о )га — — (и, Ао). Следовательно, оператор А самосопряжен в Н н неотрнцателен, причем (Аи, и) =0 лишь в случае, когда и(1, й) =сопз1 илн и(1, й) О. Отсюда в силу неравенства Коши — Буняковского (Аи, и)'я" (Аи, Аи)(и, и) следует, что Аи 0 для и~О, если и есть константа на оэ.
Таким образом, ядро оператора А состоит из сеточных функций, равных постоянным на сетке оэ. Поэтому задача (28) разрешима, если выполнено условие (1, 1) О или, в силу определения 1,— условие и, и Ф, Ф, Х 1 Р~ФА+ Х ~з (Рйр+РйТ)+ .'Е ЙдРЦз-+Я~э) =О. (29) Условие (29) есть разностный аналог условия (18) разрешимости дифференциальной задачи, соответствующей разностной задаче (23). Если условие (29) выполнено, то решение задачи (23) в случае е(=0 н ив~= — 0 существует, но не единственно, два любых ращения отличаются иа яостояйную. Поэтому одно из возможных решений можно выделить, фиксируя значение у(1,н) в каком-либо узле сетки оэ.
2. Прямые методы. Рассмотрим случай, для которого разностные задачи (1О) — (22) могут быть решены одним из прямых методов, изложенных в главах 111 н 1У. Пусть коэффициенты й„й, и д уравнения (1) не зависят олз г, т. е. й=й,(г), Й,=М,(г), д=д(г), в краевых условиях третьего рода (3), (б) коэффициенты н," и х, постоянны, а в условиях (7), (9) из =ив — О. Допускаются любые комбинации краевых условий (2) — (9) Предполагается, что сетка а равномерна по г, т.
е, й, (й)=Ь„ и может быть неравномерной по г. При указанных предположениях разностные задачи (10) — (22) могут быть решены либо методом полной редукции, либо комбинированным методом неполной редукции и разделения переменных. Проиллюстрируем возможность применения прямых методов на примере, в котором на сторонах г = 1, н г =Ь, заданы краевые условия третьего (второго) рода (3), (5), а при а=1, н яв г=!.,— второго рода. Другие комбинации краевых условий рассматриваются аналогично.
Разностная схема, соответствующая поставленной задаче, имеет вид (23). В силу сделанных выше предположений коэффициенты разностной схемы определяются по формулам (ср. п. 1) а>=а,(!) =г;Й>(г,.), а>=а,(!)=)»>(г,.), й=д(!)=9(г~), так что а„"=а,.
В определении (25) разностного оператора Л„выберем д,=-д, а в формулах (26), задающих оператор Л„положим х, = и,'=О, д> =О. Так как сетка а равномерна по г, то в (26) разностное выражение (а,у;); следует заменить на п>у;,. Сведем теперь разностную задачу (23) к системе трехточечных векторных уравнений. Для этого введем вектор неизвестных Г»= — (у(0, Й), р(1, й), ..., у(Ж„Й)), 0<й<У„ содержащий значения искомой сеточной функции на я-й строке сетки в, и вектор правых частей К,-(В,!(О, й), 0,1(1, й), ..., Е,)(М„й)), О<й<й(„ где О;=Ь',(а»(!), 0< ! <Л',. Определим квадратную матрицу С, полагая СУ;=((2.Š— О,Л,) у(О, й), ..., (2Š— О„,Л,)д(й(„й)).
Используя эти обозначения, разностную задачу (23) запишем в векторном виде СУ.— 2У>=Ра й=О 1»- +С~» Р»»= Р», 1(й<Ф» — 1> (30) 2 Кд, -, + С У», = Р»>„й = У». Для того чтобы убедиться в этом, достаточно умножить каждое уравнение схемы (23) на ( — О ) и перейти к векторной записи. Напомним, что метод полной редукции для системы (30) был построен в п. 1 9 4 гл. П1. Комбинированный метод неполной редукции и разделения переменных был рассмотрен в п.
2 3 3 гл. Г»'. Здесь отличие от рассмотренных в главах П1 и 1'Ч примеров заключается в ином определении оператора Л,. Но так как разностный оператор Л, по-прежнему трехточечный, то это отличие не влияет ни на конструкцию этих методов, ни на характер зависимости числа арифметических операций от числа узлов сетки в.
Если Лг» =2", то число арифметических операций для указанных методов оценивается величиной 0 (М,У» 1од> Л',). В заключение отметим, что применение комбинированного метода с выделением одного из решений в вырожденном случае (И=в О, х> =х>'=0) подробно описано в п. 2 $ 4 гл. ХП для декартовой системы координат. 3. Метод переменных направлений. Рассмотрим теперь частный случай задачи (1) — (9), для которого я,=>>>(г), Й»=А»(г), 4 =сопз1, и" =сонэ(, а=1, 3, а на сторонах прямоугольника 0 »9».
а. с»»»ра»»», в. с. н»»»»»»в 661 задана любая комбинация краевых условий (2) — (9). В этом случае переменные в задаче (1) — (9) разделяются. Предполагается, что сетка в — произвольная, неравномерная по каждому направлению. При сделанных предположениях разностные задачи (1О) — (22) могут быть решены методом переменных направлений с оптимальным набором итерационных параметров, который приведен в главе Х! для случая декартовой системы координат. Проиллюстрируем применение этого метода на примере, в котором на сторонах прямоугольника 6 заданы краевые условия третьего рода (3), (5), (7), (9).
Разностная схема, соответствующая задаче (!), (3), (5), (?), (9), имеет вид (23), где операторы Л, и Л, определены в (25), (26), а коэффициенты а„а,„д и д, задаются формулами а,(!) =г,й,(г;), а,(й)=й,(г„), д,=й,=0,5д, (= 9. В п. 1 было показано, что разностная задача (23) может быть записана в виде операторного уравнения (28) Аи=)э А =А1+Аа в гильбертовом пространстве Н сеточных функций, заданных на сэ. Укажем основные свойства операторов А, н А,: 1) операторы А, и А, перестановочны, А,А, =А,А,; 2) А, и А,— самосопряженные операторы, (А„и, о) =(и, А„о); 3) операторы А, н А,— неотрицательные ограниченные операторы, т.
е. для любого иЕН выполнены неравенства 6„(и, и)((А„и, и)е Л„(и, и), 6„)~0, Ь„) О, а=1, 3. (31) Действительно, перестановочность операторов А, и А, следует из структуры операторов А, н А, и предположения относительно коэффициентов й„и,, а н н~. Далее, используя определение (27) скалярного произведения в Н и разностные формулы Грина, получим для А, и любых и, оЕН равенство М, Иэ (А,и, о) = ~ч.", ~ Ь, (!) Ь, (я) (а,и?о?)~ + й, (и, о) + с=1 э=о иэ + ~ Ь,(й)(хррио(г,+х+рио(~=иД (32) и аналогичное равенство для А, и, Ф, (А,и, о) = 2,' Д р (!) й, (!) й, (й) (а,и-,о;)гя+ Ф, + бз (и, о) + ~~.", р (с') Й, (Е) 1н;ио ),, + н,'ио (ь и,!. и=о (33) з(з„+(х,,)з+(х„+)зчьОз а=1, 3, (34) то соответствующее б„положительно.
Пусть (34) выполнено. Дадим оценку для ба снизу. Ив леммы 16 главы Ч для фиксированного 1, О~ ! ~ )уь получим оценку и, ~~в б„~', Й~(й) из(1, й) ~ л~ Лз(е) оз(е) и'(О й)+ з=о е=! Яз +дз и»' йз(й) вз (1, й)+наив (00)+нззиз(! Жз) (35) з о где 1(бз= !пах о(й), и(й) есть решение краевой аапачи О С З С !Ез ( азо-)" — з(зо= — 1 1<а~ !Уа — 1з 3/2 аз ! нз ! — оз — ~аз+ — ! о= — 1, А=О, о / нз1 оа (36) так как выполнено условие (34), то решение вадачи (36) существует и единственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
