А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Так как оператор В является самосопряженным и положительно определенным, то сходимость метода (20) исследуем и энергетическом пространстве Нр, где ()=В. Для указанного выбора оператора 0 неравенства (21) совпадают с неравенствами (4), (5). Поэтому для выбора итерационного параметра т можно воспользоваться теоремой 1. Получим, что при т=1171=- 522 -11(с,(1+с,)) итерационный метод (20) сходится в Нр, и для погРешности веРна оценка 1У,— и!!э(Р"!!У,— и1!э, Р=) 1 — Ц, $=7,)у, при любом начальном приближении у,.
Итак, если выполнены условия (2), (3), (18), то итерацион- ный метод простой итерации (20) с указанным значением пара- метра т позволяет получить решение нелинейной разностной схемы (4) с точностью е за п) п,(е) итераций, где 1пе 2 1п е п,(е) = — = 1пр с, с, (! -~- с4) ! Так как постоянные с„с, и с, не зависят от шага сетки й, то число итераций а,(е) зависит лишь от е и не меняется с нзмельчением сетки. Рассмотрим теперь итерационный метод (20) в предположении, что выполнены (6), (7) для производных а„з =дй„1дрз н о„=дк„1др„ а также условия симметрии (9). Тогда для производной Гато оператора А будут справедливы неравенства (15), которые в силу выбора В=)7 можно записать в виде у,(Ву, у)<(А'(п)у, у) <у,(Ву, у), с, уЕН, (22) где у,=с„у,=с,+с,с„с„с, и с, определены в (6), (7), а с,— в (12).
Пусть О = В. Тогда оператор ВВ-'А' (р) = А' (с) в силу леммы 4 будет самосопряжен в Н, и, следовательно, выполнены условия теоремы 2, а неравенства (22) совпадают с неравенствами (!4). Поэтому параметр т в схеме (20) следует взять равным т=т,=2!(у,+у,). При этом для погрешности у„— и и для числа итераций будут верны оценки Ь.— ) -йЯ!ро — 4 ро=:, Б= — ', =, ",, 11-$ ' т~ с~+сзс4 ' и) п,(е)=1пе!1пр,. Здесь, так же как и для предыдущего метода, число итераций не зависит от шага сетки й.
Для выбранного оператора В в силу первой разностной формулы Грина будем иметь следующие пред- ставлениЯ длЯ ноРмы 1!г!!а. !!з(а=(з, з)+(з, 1) Мы рассмотрели методы решения нелинейной разностной схемы, аппроксимирующей квазилинейное одномерное уравнение на равномерной сетке. Не представляет труда перенести эти рассмотрения на случай произвольной неравномерной сетки, а также на разностные схемы, аппроксимирующие основные граничные задачи для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка в прямоугольнике.
523 3. Итерационные методы для разностных квазилинейных эллиптических уравнений в прямоугольнике. В прямоугольнике 6 = (О ( ( х ( 1а, а = 1, 2) с границей Г требуется найти решение уравнения Х д l ди ди т 1 ди ди т , дх " [ ' ' дх ' дх ) о 1 ' ' дх ' дхо ) — й [х и —, — ) — й [х и — — ) = — ео(х) хе 6, а=! (23) удовлетворяющее краевым условиям третьего рода ди дат йа (Х ио д д ) =Н-а(Хо и) — д-а(Х), Ха= Оэ (24) Предположим, как н в одномерном случае, что выполнены следующие условия. Функции я„(х, р) и хь (р,) непрерывны по р = — (р„р„р,) и р, и, кроме того, 2 о ~~Р [)1„(х, Р) — й„(х, д)](Є— да) > с, ~~)о, (Р— Уа)', с, > О, 2 2 ~ [й,(х, р) — й(х, п))о =с, ~~.", [й„(х, р) — й (х, д)](р — д ), [кьа (Ро) Яаа (Чо)] ~~ со [ньа (Ро) кьа (Чо)](ро Чо) о где с, > О н с,> О, х~й и ~)р 1, /д((ао.
Введем в области 6 прямоугольную равномерную сетку оо=(ху — — (ййо 1ио), 0(1~(Л1„0(1(1о'„6< Ж„=1а, а=1, 2). Простейшая разностная схема, соответствующая задаче (23), (24), имеет вид Лу= — 1, хцв, Л = Л, + Л„1 = ор+ 2ор,13, + 2~р,16, где (х), ха=О, ори(х) = О, Ьа(ха «1а — йа, у+а(х), ха=(а, 0(х, (1, „ а операторы Ла, а=1, 2, определены формулами: В24 — +1а Лау а йа (Хс У Ух с Ух)+йа (Хс У Ух, ° Ух,)~ а 1 2 — — й, (х, у, у„, у, ) — — х а (х, у)„ а Лау= — — [й„(х, у, у„-, у„-)+ й„" (х, у, у„„у„,)]— а 1 2 — — й, (х„у, у„-, у, -) — —, и а (х, у), Ха =О; Ха = 1а~ 2) для ха=О имеем Лау=[йа (Х Ус Ухсс Ухо)]» 2 йо (хс Ус Ухсс Ухс) 1 при Ьа (~ хсс (~ 1а йа' 2 2 Лау= — й (х, у, у „у,) — й, (х, у, у,„у,) — — и „(х, у) а а при ха=О; 2 -1 2 Л„у= — — й„а (х, у, у,„у,,) — — х,а(х, у), а а ха 1а 3) для ха=1а имеем Л,у = [йа(х, у, у-,, ух )] — — й, (х, у, у„-, у-„) 1 при йа(~ха(1а — йа; 2 с-1а 2 /тау= / й,с (Хс Ус У» с У» )» 11-а(Х У) Ха=О~ а а Л„у= — — „йа(х, у, у„-, у„-) — й,(х, у, у;, у„-) — — „и,а(х, у) 2 2 а а при х =1а.
Здесь р=3 — сх, со=1, 2 и использованы обозначения й;" (х у у» ух ) ] 1( 1+1./' У(О+ 1' 1)' Ух ( + ' 1)' Ух (о+ )с 1))с а также аналогичные обозначения для й-' и й~с». 1 о 625 1) для йа(ха(1а — йа имеем Лссу = 2 ([йа(Хс Ус У-„с У„-, )] + [йа(Х Ус Ух„ух,)~ 1 )[йо (х у у„с ух )+йо (х у ух ух )~ йа ~~ ха ~~1а йа~ 2 ! — — у„+ — у, х„=О, ! — у- + — у, .в,„л,„2 2 1 У, + У й кв, 2 )гау = ~а ~ ~ха ~~ 1вв ~ввв х„=1„, а=1, 2, и 0(ха(16. Тогда разностная схема (25) запишется в виде операторного уравнения Аи =1 (26) с нелинейным оператором А. Используя сделанные выше предположения относительно коэффициентов Й„(х, р) и я~ (р,), как и в одномерном случае, получим, что имеют место неравенства (!6) и (17), где с,— постоянная из неравенства ив ив Ьв (1) ~у'(О, 1)+у'(!Ч„1)]+ ~ Й, (!) (у'(!в 0)+у'(1, Л1в)]( в лв Мв № № (с.~Х Х у*(!, 1А(1А(1)+Х Х й,й.(1)у„'-(1, 1')+ № Мв + Х ~~~Р Й, (!) й,у; (1, 1) .
(27) Покажем, что с, = р'2 (16-1- 1в)1(1)/32+!в), 1= ш!и (1„1,). (28) Действительно, из неравенства (Зб) леммы 15 главы Ч при з= =$' 2 получим У'(О, 1)+У*(51„1) ~< ~№ в ( ),—. к~У;,( 1)+2Е~.()у'( 1) 1в)в 32+!в с=! в=0 Отметим, что если здесь заменить 1, на 1, то неравенство лишь усилится. Умножим теперь левую и правую части полученного 626 В пространстве Н сеточных функций, заданных на ы, опре- делим скалярное произведение ив (и, о)= ~ч', Я Ьв(1)Ь,(1)и(1, 1)о(1, 1), (й„, 1(й(Ф вЂ” 1, Й„(й) =~ (0,51!„в У=0, Л1,. и операторы А„=- — Л„, и=1, 2, А=А,+А„й=)г,+11„где неравенства на Ь,(1) и просуммируем по / от 0 до Л/,.
Будем иметь И» ;: Ф» (1) ~у (О, 1)+у (Ч„1)1< »ч»»ч, ( с, ~ Х Х йА (1) у-' (', 1) + —, Х Х у' (1, 1) й, (1) й, (1), (29) где с» определено в (28). Аналогично найдем ~ )»»» (1) [у~ (1, 0) + у' (1, М,)1 ( Г ч» Ф» Л»» (с, ~~.", ~ Ь,(~)й,у (~, 1)+ — "~, ~,у'(~, 1)й,(~)а»,(1) . (30) ю=о!=э Складывая (29), (30), получим неравенство (27). Для решения уравнения (26) можно воспользоваться неявным методом простой итерации (20), где В=Я и т=1)7,=- =1!(с,(!+с,)). Тогда в силу теоремы 1 итерационный метод (20) будет сходиться в Нз и для погрешности будет верна оценка ))у„— и (,( р" (у,— и))а, р = р' 1 — $, $ = у,/у, =- с /(с, (1+ с,)).
Следовательно, число итераций а,(з), которое следует выполнить для достижения относительной точности е, не будет зависеть от числа узлов сетки ы. Для нахождения у„+, имеем задачу Ру„+, — — <р, »р = йу — т (Ау — 7). Так как оператор К соответствует второй краевой задаче для разностного уравнения с постоянными коэффициентами, то указанная задача может быть решена прямыми методами, описанными в главах 111 и1Ч, с затратой 0(У'1од,У) арифметических действий (У,=Ф,= »Ч=2").
Если функции й„(х, р) и я~„(х, р,) дифференцируемы, то оператор А имеет производную Гато, которая является самосопряженным в Н оператором, если выполнены условия а„а(х, р)=аз„(х, р), а, р=О, 1, 2, (31) д~а (»' р) где а„з(х, р)= " . Можно показать, что если кроме (31) дрз выполнены условия г 2 2 с, ~х~ ~3'( Х а з(х, р)$5а(с, ~ $'„, с,)0, дх~,„(х, ра) О« с„а=), 2, др» 527 Ь.— иЬ<р>[у.— и[„р>=(1 — БИ1+С), В> у>!у,.
Пусть теперь требуется найти решение первой краевой задачи в прямоугольнике б 2 »= ! хЕ б, (32) и(х) =О, хЕГ. Предположим, что функции й (х, р) непрерывны по р = (р„р„ р ) и выполнены условия ! 2 Х [йа (х> Р) йа (х Ч)1(ра Ч») > с! Е (Ра Ча) > с>>0 а=! а=! [й, (х, р) — й, (х, у)](р, — о,) > О, 2 2 с~~~ [й» (х> Р) й»(х> Ч)] ~~си Х [й» (х Р) йа (х> ЧН(Р» Ч»)> (33) где с, > О, с, > О для х с б и ] р], ] у ] < оо.
Задаче (32) на прямоугольной равномерной сетке е!=ы() у, введенной ранее, поставим в соответствие разностную схему Лу= — [, хне!, У(х)=0, хбу, (34) где 1=!р, а разностный оператор Л определен следующим образом: ЛУ=Л у= — ([й, (х, у, у-, у,-)]„+[й, (х, у, у,„у„,)1; + + [й, (х, у, у„-, у„- )], + [й, (х, у, у„„у„,)1„-— (х у> у„у,) й»(» у у», у~,)). Приведем еще две возможные аппроксимации: Лу — Л у= — ([й,(х, ! +]й,(х, у, у, у„-, д, )]„+[й, (х, у, у,„у;)]; + УкУ А+[й(хУ У>у)!2 — й,(х, у, у„-, у,,) — й,(х, у, у„„у„-)) л = — '(л-+ л+).
2 528 то верны неравенства (15), где у,=с„у,=с,+с,с„а с, опре- делено в (28). Тогда в итерационйом методе (20) с В=>!» пара- метр т можно выбрать равным»,=2>'(у!+у,). В силу теоремы 4 для погрешности будет верна оценка Для данного примера Н вЂ” пространство сеточных функций, заданных на в, скалярное произведение в котором определено формулой (и, о) = ~ ~ч„'', й,й,и (1, /) о(1, !). ~=1 /=1 (!г ' (Аи — Ао), где ! с,= —, Аи — Ао) а..у,(Аи — Ао, и — о), у,=с,(1+с,), 4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
