А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Выразим о через у1. Сначала найдем уравнение для погрешности г„ = — о„ вЂ” о, где о в решение уравнения (25). Из (25) и (27) найдем г„.„=В„„г„, я=О, 1, ..., Я„=Š— о„В„'А'(у,) и, следовательно, ~,„=~„,— о=Т„,з,=Т„,(о,— о), Т„, =Я„,Я„, ... В„ о = (Š— Т„) и+ Т уь. (28) 609 Из (25), (26) получим о = [А' (у»)1-» Р (у») = у» — т»„[А' (у»)) '(Ау» — )). Подставляя найденное о в (28), будем иметь у»,, =- о„=у» — т»„.,(Š— Т )[А'(у»)) '(Ау» — ~).
Отсюда следует, что у»~, удовлетворяет итерационной схеме (18), если обозначить В,=А'(у )(Š— Т )-'. (29) Итак, реализация одного шага двухступенчатого метода состоит в вычислении Р(у») по формуле (25) и выполнении т итераций по схеме (27) с начальным приближением о,=у„. Полученное приближение о берется в качестве у»~,. Рассмотрим итерационную схему (18), (29). Для оценки скорости сходимости можно использовать теоремы 2 и 3, в которых В заменено на В„+„а т на т»,.
Недостатком такого выбора параметра ч является то, что нужно достаточно точно оценить у„у,иу,. Отметим, что при построении двухступенчатого метода можно было бы исходить не из уравнения (25), а из»близкого» к нему уравнения Во = Р (у»), где линейный оператор Я в некотором смысле эквивалентен оператору А'(у»). В этом случае в итерационной схеме (18) имеем В„,— = В = Н (Š— Т„)-». Исследуем этот случай более подробно. Пусть выполнены условия Я = Н' > О, Т" К = НТ, (ЗО) ЧТ„1„(д <1. (31) Лемма 2.
Пусть выполнены условия (30), (31). Товда оператор В=В(Š— Т„) ' са осопряжен и положительно определен в Н, и справедливы неравенства (1 — о) В(г~(1+о) В. (32) Рассмотрим оператор В '=(Š— Т ) Н '. Из (30) найдем (Š— Т")Я=В(Š— Т„) или Я '(Š— Т"„)=(Š— Т )К '. Следовательно, оператор В-' самосопряжен в Н. Так как в силу (ЗО) оператор Т„ самосопряжен в Ня, то 1(т х, х)я) 1(Рт х, к)) '1'Т '1я — — зцр 1" ' — — зцр 1 ') (д( 1, Следовательно, для любого хЕН имеем неравенство )ЯТ„х, х)!(д(Нх, х). 610 Полагая здесь х=Й 'у, получим 1(Т„Р,- у, у)1( у Р- у, у), поэтому для уЕН найдем (1 — д)Я-'у, у)(((Š— Т )В 'у, у)((1+у)(1с 'у, у).
Итак, получена оценка (1 — о) 71-'~ В-'((1+ у) 1с-'. (ЗЗ) и пусть выполнены условия (30), (31). Т тдп выполнены неравен. ства (17) теоремы 3, где у, = с, (1 — д), у, = с, (1 + ч) . Т, == с, (1+ ч)', Р=В=Я(Š— Т„). Действительно, в силу леммы 2 оператор Р самосопряжен и положительно определен в Н.
Кроме того, неравенства (17) при Р=В имеют вид у, (Ву, у) ( (А' (о) у, у) ( у, (Ву, у), 10,5(А'( ) — (А'(~))'~уЯ- (у'„(Ву, у). (36) (37) Неравенства (36) с указанными в лемме 3 у, и у, следуют из (32) и (34), а (37) вьпекает из (32), (33) и (35), так как Ыэ- =(В 'г, г)<(1+4)Ю 'г г)=(1+4)~!г!Й- (Яг, г)((1+су)(Вг, г). Используя лемму 3, можно доказать аналог теоремы 3 для двухступенчатого метода. Теорема 5.
Пусть выполнены условия леммы 3, и двухступенчатый метод построен на основе уравнения Во=у(ул) с использованием разрешающего оператора Т„. Если в итерационной схеме (18) с В „=В=В(Š— Т„) ', описывающей этот двухступенчатый метод, выбрать те= т,(1 — хр) и у, Ей(г), то для погрешности будет верна оценка 1У,— и 1а ( Рв1У,— и Ь, 6!1 Так как 17 г и В ' — самосопряженные в Н операторы и д (1, то из леммы 9 $ 1 гл. Ч следует, что неравенства (33) и (32) эквивалентны. Лемма доказана. Лемма 3. Пусть оператор А имеет в шаре 11(г) проиэвод.
ную Гата А'(о), которая при любом оЕЯ(г) удовлетворяет неравенствам с,(Яу, у) =.(А'(о)у, у) =.с,(йу, у), с, ) О, (34) )!05[А'(о) — (А'(о))*)уф- (с)(йу, у), с„)0. (35) еде и — решение ураечения (1), р, и и т, опредеаены е (16) е у„ у, и у„уназанны««и е аем««е 3. 5.
Другие итерационные методы. В этом пункте мы приведем краткое описание некоторых итерацнэиных метэдов„также ис- пользуемых для реп«ения уравнения (1) с нелинейным операто- ром А. Пусть Ф (и) — дифференцируемый по Гата функционал, задан- ный в Н. Оператор А, действукяцнй в Н, называется потенци- альным, если существует дифференцируемый функционал Ф(и) такой, что ««(и нгаб Ф(и) для всех и. Здесь градиент функциона- ла Ф(и) оярвделяется равенством„-,Ф(а+Ь)(«=«=(йгж1Ф(и), и). а Примером потеицнальнага оператора может служить ограничен- ный линейный самосоцряжениый оператор А, действующий в гиль- бертовом пространстве Н.
Он порождается функционалом Ф и)=0,5(Аи, и), усть оператор А непрерывно дифференцируем а Н. Опера- тор А является потенциальным тогда н талька тогда, когда про- изводная Газо А'(а) есгь самосопряженный в Н оператор. Есин «эператор А потеициален, то формула Ф(и) = ) (А (и, + 1(и — и,)), и — и,) й, в где и,— произвольный, но фиксированный элемент Н, дает способ построения функционала Ф(и) по оператору А. Если оператор А порожден градиентом строго выпуклого функционала, то производная А'(а) является положительно оп)ределенным в Н опервтцром дня любого э~ Н, В этом случае для приближенного решения уравнения (25) можно использовать итерационные методы ввриационного типа, например в (27) итерационные параметры а„+, выбирать по формулам методов скорейшего спуска, минимальных невязок и т.
д. Рассмотрим для примера двухступенчатый метод (18), (29), для кэгорэгэ т«+,а=1, а в схеме (27) т=1 и В, Е. Тогда В«„« =Е)ы,, Если для вспомогательного итерационного процесса (27) параметр е«, выбрать по формулам метода минимальных аевязок (нлн минимальных попрания), то получим (ом. и. 2, 3 3 2 гл. И11) ,= А«« — « ( 1'(Ыг«, «) 1А'(у«) г«11 (38) В этом случае двухступенчатый итерационный метод описывается формулой "«+Ау =7", И« «= где в, определено в (38), йтв й=О, 1, (39) В ситуации, когда оператор А не является потенциальным, параметр сйа можно выбрать по формулам метода минимальных погрешностей, полагая в (27) Ва=[(А'(у«))') ' и (гм а») 1 (А' (у«)) аг«!а ' В этом случае двухступенчатый метод имеет вид ""'„' "+(А'(У«)) Ау«=(А'(у«)) 7, й=о, 1, ..., (41) где «11 определено в (40).
Легко видеть, что в методе (38), (39) параметр сйа выбирается из условия минимума ) А' (у»)(у«+,— у«)+ Ау« — 71, а в методе (40), (41) — из условия минимума нормы ! У«еа — у„+ [А' (у«)1 ' (Ау« — )) (. Задача решения уравнения Аи=( в случае потенциального оператора иногда может быть заменена задачей минимизации функционала, порождающего этот оператор. Заметим, что всегда имеется простой способ преобразовать задачу решения уравнения (1) в задачу минимизации, даже если оператор А не является потенциальным. Действительно, пусть Ф(и) — функционал, заданный в Н и имеющий единственную точку минимума и=0. В качестве примера такого функционала можно привести Ф(и) =(Ри, и), где Р— самосопряжениый положительно определенный в Н оператор. Далее, для заданного уравнения (1) рассмотрим функционал г" (и) = Ф (Аи — 7), и Е Н. Если уравнение (!) имеет решение и, то, очевидно, оно доставляет минимум функционалу Р(и).
Опишем метод минимизации функционала (метод спуска). Пусть уравнение (!) порождено градиентом строго выпуклого функционала Ф(и). Пусть минимизирующая последовательность строится согласно итерационной схеме (19), т. е. по формуле у +,— — у« — т«»а[А'(у»)~ '(Ад» вЂ” ~), й=0, 1, ... (42) Обозначим ю«=[А'(у»)) аягадФ(у ), (43) где в силу сделанных предположений ягабФ(д«)=АУ вЂ” ). За.
пишем (42) в виде У«+1= У«т«+Р'». Отметим, что оператор А'(у») положительно определен и само- сопряжен в Н. Далее, из определения производной Гато функционала имеем 1!ш ~ "» ~~~' «) "«)~+(йгабФ(у«), ц1«)=0. аа+„Е! т«+1 17 А. А. Самарский, В. С. Николаев 513 Так как А'(уь) в =нгабФ(уь), то (йгадФ(уэ), в„)=(А'(у„)вы в„) ) О. то переход от у„к у„э, осуществляется по направлению градиента функционала Ф(и) в точке ум Такие методы принято называть меаюдами градиентного спуска. Существуют некоторые алгоритмы выбора итерационных параметров тм но на этих вопросах мы не будем здесь останавливаться.
Приведем в заключение обобщение явного метода сопряженных градиентов, который используется для минимизации функционала при указанных выше предположениях. Формулы алгоритма Флетчера — Ривса имеют вид: й=О, 1, й=1, 2, уьэ, = у,— а,+,в,, в„= — йгад Ф(у„)+Ь„в„„ в, = ягаб Ф (у,), где 1к аФЬь) Р ь„= а параметраь „выбирается из условия минимума Ф(уь — а„+,вь). Эта задача об отыскании минимума функции одной переменной решается одним из методов численного анализа.' й 2.
Методы решения нелинейных разностных схем 1. Разностная схема для одномерного эллиптического квазнлннейного уравнения. Изложенную в 5 1 общую теорию итерационных методов будем применять для нахождения приближенного решения нелинейных эллиптических разностных схем. Начнем с простейших примеров. Рассмотрим третью краевую задачу для одномерного квази- линейного уравнения в дивергентном виде и, — „х~ — й,(х, и, х)= — ф(х), Ое х(1, ни~ г кит хО (и) РО х 0 =х,(и) — й„х=(.
Следовательно, существует такое та+,) О, что Ф(уь,) будет строго меньше Ф(уь). Если минимизирующая последовательность (у„) строится по явной схеме (18) (В = Е), т. е. по формулам у„+, — — у„— т„э, (Ау„— г), Будем предполагать, что функции Ь,(х, р„р,), Ь,(х, р„р,), х, (р,) и х, (р,) непрерывны по р, и р, и выполнены условйя сильной зллиптичности 1 1 .)~ [Ь„(х, р„р,) — Ь„(х, д„д,))(р„— д„))с,,~ ~(р„— д„)', (2) [х (Ро) — ха (ЧоН (Ро — Чо) ) О„а = О, 1, (3) где с, ) 0 — положительная постоянная, О ( х ( 1, )р, ), )д,), )М!4.1( На равномерной сетке а=(х;=1Ь, 1=0, 1, ..., У, ЬЬГ=1) задаче (1) поставим в соответствие разностную схему Лу;= — Ри 0<!(М, (4) где ср (0) + =„р„ю' = О, ср (х,), 1 < 1 < Ьà — 1, Ч (!) + ь р„! = Ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
