А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Приведем пример одной разностной задачи, на которой про- иллюстрируем предложенный метод. Пусть на прямоугольной сетке 4а=(хм=(1Ь„)Ь,) 60, О( ХМ„О(1(У„ Ь„У„=1„, 44=1, 2), введенной в прямоугольнике 6, требуется найти решение задачи Неймана для эллиптического уравнения с переменными коэффи- циентами Лу = — 1 (х), х Е ы, '+ ~' ~(х)=Ч(х)+ — ~р, (х)+ — а (х) 2 2 где 2 Па у„а, Ха=О, Лау= 4 ( ауд )аа' а(~Ха~(1а Ь 2 — — а„У„-, х =1а, аа "а' Д'са(хв), ха=О Я~а(ха) = 0~ Ьа~ ~Ха«~1а Ь К+а(хф), ха= 1а, о1+'(х)=а~(х,+Ь„х,), а~+'(х)=а,(х„х, 1 Ь,) Предполагается, что коэффицйенты а,(х) и а,(х) удовлетво- ряют условиям 0 <с,(а„(х)<с„се=1, 2, хЕв. (20) Схема (19) есть разностный аналог задачи Неймана для эллип- тического уравнения ах ~ 1(~) ах )+а (Ь'(х)эх ) = 'р(х) Ь„'~.
— — — к-а(ха), ха=О, р=З вЂ” а, ,'ди а — Ьа — — д (ха), х =1а, а=1, 2. а Пространство О определено в и. 1. Вводя оператор А= — Л, запишем разностную задачу (19) в виде уравнения (5). Легко проверить, что А=А', а разностные формулы Грина дают (Ау, у)= ~~.", (а„у'-„, 1), (21) 498 2 ь„У « х„=0, йа ~~ ха ~ ~1а ~а~ Лад = УК~ А~,' 2 — У ьи ха' Ха !а~ а=!, 2. Оператор В самосопряжен в Н, а в п. 1 было отмечено, что базис в кегВ образует именно функция р„(1, 1). Следовательно, *кегА известно и кегА=кегВ. Если к тому же взять проекцию ) на пи А и заменить ею в случае необходимости правую часть в схеме (19), то все требования, предъявляемые к схеме (12) и уравнению (5), будут выполнены.
Для применения итерационного метода (12), (18) осталось указать у, и у, в неравенствах (13). Так как 2 (Вд, д) = ~ (д*,, 1), (22) а подпространства пи А и ппВ совпадают и состоят из сеточных функций, не являющихся постоянными на сетке а, то из (20) — (22) получим, что у,=с„у,=с,. Необходимая априорная информация найдена. Из оценки (18) для числа итераций видно, что оно не зависит от 'числа неизвестных в задаче, а определяется лишь отношением с,1с,. Далее, в силу выбора оператора В уравнение (14) для у„+; есть разностная задача Неймана для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Решение ее можно найти прямым методом, изложенным в и.
2 с затратой 0(№1ой, М) арифметических действий. Тогда общее число действий для предлагаемого метода, которое следует затратить для получения решения (!9) с точностью в, будет равно 1~(е)=0(№1ой,!У(!пе!). где использованы следующие обозначения: ~а ~а (и, о)„= ~ ~~.", и(х) о (х)йа(ха)Ь„, р=3 — а, а=1, 2. хаг в хд=ау Нетрудно показать, что оператор А вырожден и для любых коэффициентов а„(х), удовлетворяющих (20), ядро оператора А составляют сеточные функции, являющиеся постоянными на а. Поэтому в качестве базиса в йегА может быть взята известная нам функция р„(1, 1) = 15~! 1,.
Определим теперь оператор В= — Л, где Л=Л,+Л„ ГЛАВА ХШ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В главе изуча~ггся итерационные методы решения нелинейных разностных схем. В 1 1 нзчагается общая теория итерационных методов для абстрактного нелинейного операторного уравнения в гильберговом пространстве при различных предположениях относительно оператора. В $ 2 рассматривается применение обшей теории к решению разностных аналогов краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. й 1.
Итерационные методы. Общая теория 1. Метод простой итерации для уравнений с монотонным оператором. В предыдущих главах были изучены итерационные методы решения линейного операторного уравнения первого рода (1) заданного в гильбертовом пространстве Н. Большинство построенных методов были лииейнымн и сходились со скоростью геометриче кой прогрессии.
Перейдем теперь к изучению методов решения уравнения (1) в случае, когда А — произвольный нелинейный оператор, действуеащнй в Н, Эта глава посвящена конструированию итерационных методов для решения нелинейных уравнений (1). Построение таких методов основано, ннк правило, на использовании в неявиык итерационных схемах линейного опера"гора 6, близкого в некотором смысле к нелинейному оператору А. Иииге при различных предположениях относительно операторов А, З и (у будут доказаны обчние тЕОРЕМы сХОдИМОстн в Жр Решения неявной двухслойной итерационной схемы Впгххз; — "— ~+АУв ), А=О, 1, ..., У,ЕН. (2) Изучение итерационной схемы (2) начнем со случая монотонного оператора А. Напомним, что оператор А, заданный в вещественном гильбертовом пространстве, называется лгонопгонным, если (Аи — Ао, и — п)вО, и, пЕН, 500 и сально жонотоннми, если существует такое число б) О, что для любых и, о~Н (Аи — Ао, и — о))б()и — о)~'.
(З) Из теоремы 11 главы 7 следует существование и единственность в шаре 1и~~~~фАΠ— Д решения уравнения (1) с сильно монотонным оператором, являющимся непрерывным в коиечномерном пространстве Н. Будем предполагать, что  — линейный ограниченный и положительно определенный в Н оператор, а Р— самосопряженный положительно определенный в П оператор.
Пусть, кроме того, заданы постоянные у, и у, в неравенствах (РВ '(Аи — г(а), В '(Аи — Ао))<у,(РВ-'(Аи — Ао), и — о), (4) (РВ '(Аи — Аа), и — о) ву,(Р(и — о), и — о), (5) причем т,) О. Лемма 1. Пусть выполнены уелоеия (4), (5). Тогда ураенение (1) однозначно разрешимо при любой прагой части. В самом деле, запишем уравнение' (1) в эквивалентном виде и4 Ви, (6) где нелинейный оператор 5 определяется следующим образом: Зи и — тВ 'Аи+тВ '~ т>О, Покажем, что в Но оператор В при т< 2/у, является равномер- но сжимающим, т.
е. для любых и, о~Н справедлива оценка ()Юи — Зо~)о<р(т)1и — о'1и, р(т) <1, (7) причем р(т) не зависит от и и о. Тогда утверждение леммы будет следовать из теоремы 8 главы У вожатых отображениях, Имеем ) Ви — Яо 15 = (Р (Зи — Яа), (Зи — Зо)) =1 и — о 'и†— 2т(РВ"'(Аи — Ао), и — о)+та(РВ '(Аи — Ао), В' 1(Аи — Ао)), Из (4), (5) найдем прн т< 2~у, 18и — Юо(~р <1и — оф> — т(2 — ту,) (РВ '(Аи — Ао), и — о) < :4:. Р' ("Ф) 1и — о 1о, где р'(т) =1-т(2 — уь) Т,. (5) Так как т< 2!у.„то р(т) < 1. Лемма доказана. Исследуем теперь сходимость итерационной славны (2) в предположении, что условия (4), (5) выполнены. Из (2) найдем у„э, — — у„— тВ 'Ауь + тВ '( = Зу„, где нелинейный оператор Я определен выше.
Так как решение и уравнения (1) удовлетворяет соотношению (6), то из (6) — (9) получим у„„— и=Яуь — Яи, й=О, 1, ..., '1 уел,— и 16= ~$3уь — Яи)~о К- р'(т) (| у„— и )~~, где р'(т) определено в (8). Нетрудно видеть, что наилучшая оценка скорости сходимости достигается, когда р (т) минимально, т. е. при т=т,=11у,. При этом р,=р(т,) =)'1 — $, 3=у,/у,. Итак, доказана Теорема 1. Пусть выполнены условия (4), (5). Итерацион- ный метод (2) с т=т, =1(у, сходится в Нр, и для погрешности имеет место оценка 1у„— и1о(р01у,— и(р, р =У1 — $, 5=у,!у„ где и — решение уравнения (1).
Лля числа итераций верна оценка п~) и, (е) =1пе/1и р,. Заметим, что для линейного оператора А условия (4), (5) можно записать в виде (ОВ 'Ау, В 'Ау)(у,(ОВ 'Ау, у), (РВ 'Ау, у)) у,(Ру, у). Следовательно, в этом случае они совпадают с условиями, налагаемыми на операторы А, В и О, когда оператор РВ 'А является несамосопряженным в Н. При этом построенный здесь метод переходит в первый вариант метода простой итерации для несамосопряженного случая (см.
п. 2 ~ 4 гл. Ч1). Отметим, что вместо (4) можно потребовать выполнения условия '1В-' (Аи — Ао) 1о( р,'1и — о~$р, (! 0) которое при Р = В = Е является условием Лившица для опера- тора А. Из (10) и (5) следует неравенство (4) с у, = у,'1у,. Если оператор В самосопряжен и положительно определен в Н, то в качестве оператора Р можно взять В.
Тогда условия (4), (5) будут иметь вид (В '(Аи — Ао), Аи — Ао)(у,((Аи — Ао), и — о), (Аи — Ао, и — о)) )у,(В(и — о), и — о), у„> О. Если В несамосопряжен и невырожден, то при Р= В"В усло- вия (4), (5) имеют вид (Аи — Ао, Аи — Ао) ( у, (Аи — Ао, В (и — о)), (А и — Ао, В (и — о)) ) у, (В (и — о), В (и — о)), у, > О. При Р=В=Е условие (5) означает, что оператор А должен быть сильно монотонным в Н. 602 2. Итерационные методы для случая диффереицируемого оператора.
Улучшение оценки скорости сходимости метода простой итерации для уравнения (1) может быть достигнуто за счет более сильных ограничений на оператор А. Именно, будем считать, что оператор А имеет производную Гато. Напомним, что линейный оператор А'(и) называется производной Гата оператора А в точке и ЕН, если для любого о бН справедливо соотношение 1л(и+со) с)(и) — А'( о~=О Если оператор А имеет производную Гато в каждой точке пространства Н, то справедливо неравенство Лагранжа '1Аи — Ао))( знр 1А'(и+((о — и))11и — о~, и, оЕН, окса с и для любых и, о и исбН существует с Е[О, Ц такое, что (Аи — Ао, ис)=(А'(и+1(о — и)) г, ис), г=и — о.
(11) Вернемся к исследованию сходимости итерационной схемы (2). Имеет место Т е о р е м а 2. Пусть оператор А имеет в шаре о, (г) = (о:~и — о)р(~г) производную Гата А'(о), которая при лсобом о Е 11 (г) удовлетворяет неравенствам (0В 'А'(о)у, В сА'(о)у)(~у,(РВ-сА'(о)у, у), (0В-'А' (о) у, у) > у, (0у, у), у, > О для любого уЕН. Итерационный метод (2) с т=1)у, и у, аьг(г) сходится в Но, и для погрешности верна оценка '1ӄ— и)р(Р" ~У,— и)р, (!3) где и — решение уравнения (1), а р =)с'1 — К, 5 =уссу,. Если оператор 0В 'А'(о) самосопряжен в Н при оЕЯ(г) й выполненьь неравенства у,(0у, у)<(0В 'А'(о)у, у)<у,(0у, у) у,>О (14) для любого оЕЯ(г) и уЕН, то при т=т, 2)(ус+у,) для итерационного процесса (2) верна оценка (13) с р = р, = (1 х))(1 1 г) Действительно, из уравнения для погрешности у„.,— и= Буо — Би, Бо = о — тВ 'Ао+ тВ '( и неравенства Лагранжа получим '1 у „— 3о='1Бу — Би Ь< р Р'(о.НЫ! у — 1о, (13) окскс где о„=у„+с(и — у„)ЕЙ(г), если улей(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
