А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 87
Текст из файла (страница 87)
476 устанавливающее соотношение между точками г-плоскости и точками в-плоскости. Из свойств преобразования (20) следует, что окружностям !1Р! = р, в 1Р-плоскости при р Ф 1 соответствуют окружности в г-плоскости, а единичной окружности соответствует в г-плоскостн прямая, проходящая через начало координат. Точки указанной прямой имеют аргумент, отличающийся от аргумента в на ~ и!2.
Найдем в г-плоскости центр и радиус окружности, соответствующей окружности !в!=Р,чь1 в 1а.плоскости. Для этого выразим из (20) г через ал г = в(1 — 1Р)/(1+ в), ~ — '"!=Р.<), ~ — "' "!=Р,<!. при этом будет выполняться равенство (23) Параметр аоа должен быть выбран из условия минимума р,. Найдем оптимальное «оа и вычислим р,. Из (23) в силу (22 получим !го га! )~о ! -!-Ро го а оооо !го га! 2Ра !ма 1 Во=в ! — Ро или га го — га (24) Заметим, что р, минимально, когда минимально —,, а это 2Ро (+Ра ' имеет место, если потребовать выполнения равенства (25) го — г, га ~ г, ! ' Подставляя это выражение в (24), получим 2ро 1 га — га ! ! )) Ра а!г 1+! Отсюда легко найдем (1 Ро) !га(+1га( 1го гг! (1+Ро) (г,(+1г,!+(га — г,( В уа !'1 — Ро') )+Рог 1~а!+1~а) то (26) 477 Вернемся к поставленной задаче.
Рассмотрим функцию «Р (г) = ! аэ ! = ~ „+', ~ . Из сказанного выше следует, что линии уровня ар(г)=р, при ро <! есть окружности с центром в точке г, радиуса Я, где. г, и гс определены в (21). Лля разных р, этй окружности не пересекаются, причем окружность, соответствующая меньшему значению р„лежит внутри окружности, соответствующей большему значейию р,. Отсюда получим, что для оптимального значения оа =ага точки г, н г, должны лежать на одной линии уровня: Следовательно, с — У3 Ро = с+ )го- о с 1 о= г 7с7о и, кроме того, С+ Оо со, го о со о ° с Ро о' тото Подставляя это выражение в (25), найдем оптимальное значение параметра ьсо: 1гс1+ ! го! о !г уг -(-!г уг 7суо' (27) 1го!1<-Ро 1!го!! ро= —, Ц= — ~.
(28) с+Уз ' Рассуждая, как и в методе простой итерации, найдем, что неравенство 7, > О, а вместе с ним и неравенство р, < 1 будут иметь место в двух случаях: либо при доФО, либо при д,=О, но (б+0,5Ус) (6+0,бс)с) > О. Итак, доказана следующая Теорема 4. Пусть выполнены условия (12), заданы б и Л изнеравенств(13) илибоуоуьО,либоу,=О и(б+О бдс)(Л+Обд)>0. Для метода переменных направлений (2), (14), в которолс ите- рационньсй параметр со=соо выбран по формуле (27), а т 2ьсо, справедлива оценка (28), где 7, и 7, определены в (26), а г,=б -1-О,бу и го=А+О,бд.
се — г1 Замечание 1. Решение задачи сп)п шах! — ~, где й— в гоп со+ круг с центром в точке г, радиуса г, < 1г,! имеет вид соо=г, г 77„Р,=шах! — 1= — $= — ', „„! +.1,+,г-, где 7,=1 — гДго1~ 7о=1+го11го1. Замечание 2. Если вместо неравенств (13) заданы нера- веяства б„Е<А„<Л„Е, сх=1, 2, то в теореме 4 следует поло- жить б=ппп(б„б,), А=снах(Л„бо). 3 3. Общие итерационные методы для уравнений с вырожденным оператором 1. Итерационные схемы в случае невырожденного оператора В.
Пусть в конечномерном гильбертовом пространстве Н =Ни дано уравнение Аи=~ (1) 47В Итак, для оптимального со = соо получена оценка нормы оператора Я„: !!В !!<р„со=1, 2. Подставляя ее в (17), найдем оценку для погрешности г„: с линейным вырожденным оператором А. Последнее означает, что равенство Аи = О имеет место для некоторого и ~ О. Напомним (см. гл. У, ~ 2, и. 2) сведения, относящиеся к проблеме решения уравнения (1).
Пусть кег А †яд оператора А, т. е. множество элементов иЕН, для которых Аи=-О. Через пп А — образ оператора А— обозначим множество элементов вида у= Аи, где и Е Н. Известно, что имеют место следующие ортогональные разложения пространства Н в прямые суммы двух подпространств: Н='кегА®пи А', Н=*кегА'Я!шА. (2) Сначала изучим случай невырожденного в Н оператора В.
Общие требования к итерационному процессу таковы: а) итерации проводятся по схеме (3), приближение у„Е !гп А', в то время как промежуточные приближения у„могут принадлежать Н; б) конкретная структура подпространств кегА, кегА*, ппА и пи А* в процессе итераций не используется. Найдем условия на оператор В, начальное приближение у, и параметры ть, я=1, 2, ..., и, которые обеспечивают выполнение сформулированных выше требований.
Ус л о в и я 1. Пусть оператор В такой, что Ви Е кег А*, если и Е *кег А, Ви Е йп А, если и Е !гп А'. (4) (5) Имеет место Это означает, что любой элемент и Е Н можно представить в виде и=и+и, где иЕ!шА' и иЕ1сегА, причем (и, и)=О. Аналогично и = и + и, где и Е пп А и и Е кег А', (и, й) = О. Пусть в уравнении (1) !'=1+~, где ~Е !гпА, ) ЕкегА*. Обобщенным решением (!) называется элемент и ЕН, для которого Аи=1; оно доставляет минимум функционалу (~ Аи — Д.
Обобщенное решение не единственно и определяется с точностью до элемента из кег А. Нормальное решение — обобщенное решение, имеющее минимальную норму. Нормальное решение единственно и принадлежит пп А'. Нашей задачей является построение методов, позволяющих приближенно находить нормальное решение уравнения (1). При этом будем требовать, чтобы приближенное решение, так же как и точное нормальное решение, принадлежало подпространству !шА*. Для решения поставленной задачи будем использовать неявную двухслойную схему В "~"' "~+Ауь=~ й=О 1 уоЕН (3) (9) Лемма 2. Если для операторов А и В справедливы равенства А»В СА ВА» А0 (6) еде С и Е» — некоторые операторы, то условия (4) и (5) выпол- нены. Действительно, пусть выполнены равенства (6).
Если и в: 'кег А, то Аи=О и, следовательно, А*Ви=САи=О. Поэтому Ви ЕкегА», и (4) выполнено. Пусть теперь и 6 пи А*, т. е. и=А*о, где оиН, Тогда Ви=ВА*о=АРоЕ пи А. Следовательно, условие (5) вы- полнено. Лемма доказана. Следствие. Для случая А = А' условия леммы 2 будут вы- полнены, если операторы А и В перестановочны: АВ=ВА, Приведем еще ряд утверждений, вытекающих из (4) и (5).
Лемма 3. Пусть выполненьг условия (4) и (5). Тогда В 'и~йегА, если иЕ1сегА», (7) В-'и Е пп А', если и б пп А, (8) и оператор АВ ' не вырожден на 1гп А. Действительно, пусть ич'нег А» и и-,йО. Обозначим о=В 'и и предположим, что об(щА*. Тогда в силу (5) и=ВоЕцпА. Но так как и~О, а пространства ппА и кегА' ортогональны, то сделанное предположение неверно. Следовательно, о = =В-'ибкегА, и (7) доказано. Аналогично доказывается (8). Докажем теперь невырожденность АВ» на подпространстве 1щ А, Действительно, пусть и Е!га А. Тогда в силу (8) В-'и ~ цп А' и, следовательно, В 'и ) 1гег А. Отсюда получим, что АВ-»и~О, и поэтому (АВ-'и, АВ 'и) > О.
Лемма доказана. Вернемся теперь к схеме (3) и посмотрим, что дает условие 1. 8 соответствии с разложением Н в виде (2) представим 7 и у» для любого )г в виде 1=г+~ г'чпи А, ~~1сегА', У» = уа+ у» у» с 1гп А', у» б кег А. Используя (9), запишем схему 43) следующим образом: В У»+г — У»+В У»+г — У» +Ау» 7+7 й О 1 (10) т»+г ч»+ г Из (4) и (5) получим, что первое слагаемое левой части (10) принадлежит пи А, а второе — нег А*. Поэтому из (10) найдем уравнение В У»+г У* +Ау»=Г, й=О, 1, ..., у»чппА' (11) для компоненты у„ б пп А* и уравнение В У»+' У» =~, й=О, 1, ..., у,61сегА (12) для компоненты у» б 'кег А.
лао Найдем условия, пря выполнении нет!арык у„~зтА'. Из (9) следует, что если у„=О, то у„=у„Е пв А'. Найдем из (12) явное выражение для у, н приравняем его нулю. Тогда сформулированное требование а) будет выполнено. Из (12) получим е+! у + =ум+та+!В а1= ° ° ° =ус+ Х т,В 1 у='! Отсюда следуют Условия 2.
Пусть у,=Ась, где србН, а параметры те, й ° 1,2, ..., п, удовлетворяют требованию ~~'., т =О, ! ! (13) ВА+! + АУА = !Ра й = О 1 ° ° Уе — ААеуе та+! н потребовать выполнения условии 1, где В заменено иа Ва, й=1, 2, ..., то все уаЕ ппА н никаких дополнительных ограничений на т„ накладывать не нужно. 16 А.
А. Самарсмма. а. С. Навеааев 43! если 1ЕН. Если Г | 'нег А', то ограничение на параметры та не накладывается. Поясним выбор начального приближения у,. Так как для любого ч!ЕЛ имеем, что У,=А'суй(ш А', то в разложении (9) у,=О и у,=у,. В частности, выбирая !р =О, получим начальное 1ррнблнжейие У, = О. Итак, если выполнены условия 2, то у„=у„. Паэтому цтерационный процесс (3) будет сходиться н давать приближенное нормальное решение уравнения (1), еслн сходится итерационный процесс (11), т. е.
если прследовательность уе сходится к нормальному решению и. Замечание 1. Условия 2 позволяют выделить из итерационного приближения у„его цроекцню на ппА', т. е. найти у„без использования самих подпространств 1сегА, пи А, нег А' или пи А'. Далее, если известно, что ~ т,ЦВ Щ мала, т.
е. 1= ! мала Цу„Ц, то в силу равенства Цу„— иЦ=Цу„— иЦ+Цу„Ц в качестве йриблмженного решения можно взять у„н отказаться от ограниченна (13). В этом случае уЯмп А'. Замечание 2. Прн условии, что все элементы надпрост,ранства кег А* нзвестны, можно ограничиться рассмотрением случая 1 ( *нег А", вычитая при необхаднмостн нз 1' его проекцию ва йег А'.. Если рассмотреть несгацнонарный итерационный роцесс 2.
Итерационный метод минимальных невязок. Рассмотрим теперь задачу о выборе итерационных параметров т для схемы(3). Будем предполагать, что оператор В удовлетворяет условиям 1, а ограничения на выбор начального приближения у, н на параметры т„ задаются условиями 2. Выше было показано, что параметры т» следует выбирать из условия сходнмости итерационного процесса (11) к нормальному решению и уравнения (1). Изучим итерационную схему (11). Сначала заметим, что оператор Р=А*А является положительно определенным на ппА'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
