А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 83
Текст из файла (страница 83)
В силу (2) оператор 0 самосопряжен в Н, а из указанного выше предпо- ложения следует, что О положительно определен в Н. Для погрешности го = у„— и получим из (3) однородное уравнение оо> о = ' ~ = Уо (4) Я = (в"'Е -+ А,) '(в'"Е + А,)-'(в'"Š— А,)(в"'Š— А,). Перейдем в (4) к задаче для эквивалентной погрешности хо -— — (вооЕ+ А,) гы (5) 453 Получим х„+» — 5х„й=б,1, ..., 5=5»5„ 5„= (е»<"Е+ А,) ' (оР>Š— А,), (6) 5, =(в<"Е+А,)»(»е"'Š— А,) Так как в силу сделанной замены (б) имеет место равенство 1ха1=1г„(ш то достаточно исследовать поведение ноРмы эквивалентной погрешности хь в пространстве Н.
Из (б) найдем 1х„,!) <) 5 )) (( х„) < (5»115»11х„1, л = О, 1, ... и, следовательно, » а«! о = 1х~!1 ~~ $5 ) " 1 х» 1 е=- (1 5» ) ( 5» () " ) а»!! о (7) Оценим норму операторов 5, и 5,. Предположим, что операторы а'"»Е+А„, а=1, 2, неотрицательны. Тогда из п. 4 й 1 гл. Ч в силу (2) получим '15»~~ шах ~ „> ~» 15»((~ шах и, следовательно, »» < ~ < а» Учитывая оценку (7), поставим задачу выбрать параметры г»"' и в»»' из условия ппп гпах ~ Я» (х, у) ) . „~»»„»»> е» <к<а» е» < а ~ ь» Эта задача является частным случаем задачи, решенной в й 1 настоящей главы.
При помощи дробно-линейного преобразования переменных х и у (см. (!б), (21) — (24) в э 1) поставленная задача сводится к задаче нахождения параметра х» из условия При этом параметры а<»» и а»»' выражаются через я» по формулам гя'+ сч 11»я»»»»»»»» а для погрешности г„имеет место оценка 1г„'1 р ( Р»" !) г»1о. Кроме того, в п. 4 Э 1 было показано, что при оптимальном выборе к' операторы е»'"'Е+А„положительно определены, если б, + б, ) О. Следовательно, в силу (2) наши предположения 454 о неотрицательности операторов а' 'Е +А„, а= 1, 2, будут заведомо выполнены.
Приведем решение задачи (8) независимо от результатов п. 49 1. Рассмотрим функцию <р(и) =(х — и)!(к+и) на отрезке 0 < Ч<и(1 при я > О. Эта функция монотонно убывает по и и, следовательно, ! р(и)!=шах(~~ ~ ~! ~).
Отсюда легко получить, что минимум по и этого выражения достигается для и*, которое определяется из равенства х' — д 1 — я' я'+Ч 1+к*' Отсюда найдем 1" — "1 1 — )~ч и'=) Ч, пп(п шах ! — ~=р ==. п Ччич~!Я1-и! 1+РЧ Итак, доказана Теорема 2. Пусть выполнены условия (2), а параметры сьи' и ь1"' выбраны по формулам )сч+г „, г уч— 1+1)'Ч 1 — 1 Уч где г, в, 1 и Ч определены в (2!) — (24) Э !. Метод переменных направлений (3) сходится в Но, и для погрешности г„имеет место оценка 1,„!!,<р" (,,!!., р='-)'Л, 1+ )'ч ' где 0=(ыо'Е+А,)*.
Длл числа итераций и справедлива оценка и = и, (г) = 1п г1(2 1п р) ж 1и — !'(4)~ Ч) . 2. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами. Рассмотрим пример применения метода переменных направлений в некоммутатнвном случае. Пусть на прямоугольной сетке в = (х;; = (1Ь„)й,) Е 6, 0 (1( У„ О(!(1Ч„й„=1„ай!„, а=1, 2), введенной в прямоугольнике 6=(0<х„(1„, сь=1, 2), требуется найти решение следующей разностной задачи: Лу= Х (а (х) у, -), — Ч(х) у= — Ч (х), х6 го, (9) у(х) =д(х), хну, где коэффициенты разностной схемы удовлетворяют условиям 0 < с, < а„(х) < с„О ( й, < д (х) < й,. (10) 4бб В пространстве Н сеточных функций, заданных на е, со скалярным произведением (и, о)= ~ч'., и(х)о(х)й,й„операторы Х»Я А, п А, определим следующим образом: А„у = — Л„у = = — (а,у; )„+О,буу, а=1,2, у~Н, у~Н, где, как обычно, у(х) =0 на у.
Введенные операторы А являются самосопряженными в Н, н если а„(х) зависит только от переменной х„н д(х) есть постоянная, то операторы А, и А, будут перестановочны. В общем же 'случае перестановочность не будет иметь место. и для решения уравнения (1), соответствующего разностной задаче (9), можно применить рассмотренный в и.
1 3 3 метод переменных направлений (3). Алгоритм метода имеет простой вид во~у»» й — Л у»+ч,=во~у»+Л у»+<р, й (х (1 — Ь, у», н(х)=у(х), х,=О, 1„Ь,(х,(1,— й„ «»">у»,— Л«у»»,— — а"'у»,. л+Л,у»+ й+<р, Ь,(х (1,— Ь„ у»»,(х)=д(х), х,=О, 1„Ь,(х,(1„— Ь,. Осталось найти границы б„и Л„операторов А„, а=1, 2. Так как условня (10) выполнены, то нз леммы 14 ~ 2 гл. Ч получим (у«, 1)„(х„(хз)(А„у, у)„„, ~=3 — а, а=1, 2, (11) Скалярное произведение по «»и определяется следующим образом: г„-«„ (иэ о)аи с ф и (х) о (х) Ьа — ~х~~ и (х) о (х)й», »а=«ч »ч е Ф<» Умножая (11) на Ь«и суммируя по ха, получим ( — у', 1) ( (А у, у), а = 1, 2. Следовательно, в качестве б„можно взять 1 б„= пйп «а<»а<»а-«» "~("а) р=3 — а, а=1,2.
где н„(ха)= гпах о" (х), а оч(х) есть решение следующей трех»<,»а<, точечной краевой задачн: (-.—;;— (х)=0 х =О, Е Ьв(хв(1« — йа. где Л 1„— постоянная нз операторного неравенства Л 1„Ю(А„, Найдем Л 1„. Из леммы 14 ~ 2 гл. Ч получим (г(ау', 1) а(ра (хр) (Аау, у)„а, (12) где ра(хр) = шах ва(х), а ш" (х) есть решение следующей х( Еаа трехточечной краевой задачи: (.") —, а„1а" '1 — О,бум"= — д (х), Ьа(ха(1а — Ьа, "а / "а ца(х)= О, ха=О, 1а, Ьр ( хр < 1р — Ьр. Умножая (12) на Ьр н суммируя по ар, получим ( — ауа, 1)~((Аау, у), а=1,2. Следовательно, в качестве Л;„можно взять 1 Л„,м —— п1 |и "р~ р~1р "р поэтому Ла есть А = 2 — 1тахй„(х), таХ Ра (Хр)) „~а р а=1, 2.
Итак, априорная информация, требуемая для применения метода переменных направлений, найдена. Используя условия (10), можно показать, что величина т1, определяющая скорость сходимости метода, для рассматриваемого примера есть 0(~ Ь 1'), где 1Ь)'=Ь',+Ь,'. Поэтому в силу теоремы 2 для числа итераций будет справедлива оценка о=О( — 1п — ) . Рассмотрим модельную задачу. Пусть разностная схема (9) задана на квадратной сетке в единичном квадрате (М,=Ь1,=1т', 457 Найдем теперь о„. Будем поступать по аналогии с п.
2 9 2. Обозначим через 21 диагональную часть матрицы А, соответствующей оператору А„: МУ=1( (х)У О,бд(х)+ —,(аа(х, хр)+па(ха+Ьа, хр)), Ьа Ьа(х,(1а — Ь, Ьр (хр (1р — Ьр. Тогда имеет место неравенство (Аау, у) ((2 — Л ы) (Яу, у)((2 — Л;„) фахд„(х) (у, у), 1,=1,=1). Коэффициенты а,(х), а,(х) и а(х) выберем следую- щим образом: а, (х) = 1+с [(х,— 0,5)'+ (х,— 0,5)а), а, (х) = 1+с [0,5 — (х,— 0,5)' — (х,— 0,5)а), д(х)=0, с)0.
В этом случае в неравенствах (10) с,=1, с,=1+0,5с, Н,=И,=О, меняя параметр с, будем получать коэффициенты разностной схемы (9) с различнымн экстремальными характеристиками. Приведем число итераций для рассмотренного метода пере- менных направлений в зависимости от отношения с,/с, и от числа узлов У по одному направлению для з= 10 '. Таблица 12 Сравним этот метод с методом верхней релаксации (см. э" 2 гл. 1Х), попеременно-треугольным методом (см. 2 2 гл. Х) и неявным чебышевским методом (см. п.
3 2 2 гл. Ч!). По числу итераций рассмотренный метод переменных направлений уступает методу верхней релаксации и попеременно-треугольному методу, но превосходит неявный чебышевский метод в 1,5 — 2 раза. Однако по объему вычислительной работы метод переменных направлений будет уступать и неявному чебышевскому методу. ГЛАВА ХП МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С НЕЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫМИ И ВЫРОЖДЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ В главе изучаются прямые и итерационные методы решения уравнений с невырожденным и незиакоопределенным оператором, с комплексным оператором, а также с вырожденным оперзтором. В 4 1 для уравнения с незнакоопределенным оператором рассмотрены метод с чебышевскими параметрами и метод вариационного типа.
В 4 з для уравнения с комплексным оператором специального вида построены методы простой итерации и переменных направлений с комплексными итерационными параметрами. В 4 3 изучены общие итерационные методы решения уравнений с вырожденным оператором, когда оператор на верхнем слое невырожден. Параграф 4 посвящен построению специальных прямых и итерационных методов для уравнений с вырожденным оператором.
$1. Уравнения с действительным незнакоопределенным оператором 1. Итерационная схема. Задача выбора итерационных параметров. Пусть в гильбертовом пространстве Н дано уравнение Ам =1 (1) с линейным невырожденным оператором А. Для решения уравнения (1) рассмотрим неявную двухслойную итерационную схему В""' "а+Ау,=1, А=О,1, ..., (2) таях с невырожденным оператором В и произвольным уз ЕН.
Итерационные схемы вида (2) изучались в главах Ч1, Ч111, где были предложены некоторые способы выбора итерационных параметров та в зависимости от свойств операторов А, В и О. Напомним, что хг есть самосопряженный положительно определенный оператор, который порождает энергетическое пространство Нп. Было показано, что для сходимости в Но рассмотренных итерационных методов требуется положительная определенность оператора С вЂ” О-Ма(ОВ- А) 0-зйь (3) Для конкретных операторов 0 это требование приводит к следующим условиям на операторы А и В: 459 1) оператор А должен быть положительно определен в Н, если Р= А, В или А*В »А; 2) оператор В*А должен быть положительно определен в Н, если Р = А"А или В"В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
