А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Замечание 1. Изложенный здесь способ построения попеременно-треугольного метода можно, очевидно, использовать и для случая, когда требуется решить эллиптическое уравнение в прямоугольнике, но на неравномерной сетке. Замечание 2. Построение метода для случая уравнения со смешанными производными можно осуществить при помощи выбора регуляризатора Я, подобно тому, как это было сделано в п. 5 2 2. ГЛАВА Х! МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ В главе рассматриваются специальные итерационные методы решения сеточных эллиптических уравнений Ам=А оператор А в которых обладает определенной структурой.
В 1 1 научен метод переменных направлений для коммутативного случая; построен оптимальный набор параметров. В й 2 метод иллюстрируется на примерах решения краевых задач для эллиптических уравнений с раэделяющимися переменными. 4 3 посвящен методу переменных направлений в некоммутативном случае. В 1. Метод переменных направлений в коммутативном случае 1. Итерационная схема метода. В главе Х был изучен универсальный попеременно-треугольный итерационный метод, оператор В в котортпз выбирался с учетом разложения оператора А иа сумму двух сопряженных друг другу операторов.
Наиболее часто используется разложение А на сумму треугольных операторов, прн этом В есть произведение треугольных операторов, зависящих от дополнительного итерационного параметра. Учет структуры оператора В позволяет оптимально выбрать итерационные параметры и построить метод, который сходится существенно быстрее явного метода. В применении к решению сеточных эллиптических уравнений этот метод является и экономичным, так как на реализацию одного итерациояного шага требуется число арифметических действий, пропорциональное числу неизвестных в задаче.
Как мы знаем, операторы А, соответствующие сеточным эллиптическим уравнениям, имеют специфическую структуру. Поэтому при выборе операторов В в неявных итерационных схемах естественно попытаться использовать эту особенность оператора А. Очевидно, что такие итерационные методы не будут универсальными, однако сужение класса исходных задач требованием определенной структуры оператора А позволяет построить быстросходящиеся итерационные методы, ориентированные на решение именно сеточных уравнений. В настоящей главе будет изучен специальный метод — итерационнвгй метод переменных направлений. Сначала дается описание этого метода в операторном виде, а затем на примерах будет продемонстрировано применение этого метода к нахожде- 432 нию приближенного решения различных сеточных эллиптических уравнений.
Описание метода начнем с итерационной схемы. Пусть требуется найти решение линейного операторного уравнения Аи=~ с невырожденным оператором А, заданным в гильбертовом пространстве Н. Пусть оператор А представлен в виде суммы двух операторов А, и А„т. е. А = А, + А,. Для приближенного решения уравнения (1) рассмотрим неявную двухслойную итерационную схему В«,,««+' «~+Ау» — — ~, й=О, 1, ..., у ЕВ, (2) т«+1 В, = (со«<'> Е+ А,) (со<»'> Е+ 41) г» = со<,'>+ со<'>, (З) в которой оператор В»+с на верхнем слое зависит от номера итерации й. Здесь со<'> и со<»> — итерационные параметры, также зависящие от номера итерации й и подлежащие определению. Остановимся сначала на способах нахождения у»+, при заданном у„.
Одним нз возможных алгоритмов реализации схемы (2) является следующий: (о>«<1>, Е + А,) у«н = (о>),'>,Š— А,) у» + ~, (4) где у««п — промежуточное итерационное приближение. Покажем, что система (4) алгебраически эквивалентна схеме(2). Для этого исключим у«., н из (4). Учитывая, что А=А,+А„ перепишем (4) в следующем виде: (о>«<1>,е+ А,) (у«. и — у») + Ау„=), (со<»'>,Е+ 41) (У»+.— У») — (о><«',>>Š— А1) (У«.ч,— У«)+ 4У»=1 (5) н из первого равенства вычтем второе.
Получим у«~ >,— у„=(о><1> Е+А,) "»+' "» =(со<'> Е+А,)""+' »><1> ' о><1> «+' т»+1 »«1 > «+1 Подставляя это выражение в (5), получим схему (2). Обратный переход очевиден. Для нахождения у,, можно использовать и другой алгоритм, трактуя (2) как схему с поправкой ш», (со„'',>,Е+ А,) э = г«, 㻠— — Ау» — ~, у»+1 = у» т»+ >ш» Этот алгоритм более экономичен по сравнению с (4), однако требует запоминать больше промежуточной информации, т.
е. требует дополнительной памяти ЭВМ, что не всегда удобно. Отметим, что как при построении итерационной схемы (3), так и при конструировании алгоритмов никакие условия, кроме естественного предположения о невырожденности операторов и(")Е+А„, а= 1, 2, на операторы А, и А, не накладывались.
Все дополнительные требования на операторы А, и А, связаны с задачей об оптимальном выборе параметров ы<'> и н)м. 2. Постановка задачи о выборе параметров. В методе переменных направлений мы имеем дело с двумя последовательностями параметров (в)'~) и (гэ),,"), которые будем выбирать из условия минимума нормы разрешающего оператора в исходном пространстве Н. Для решения задачи о выборе итерационных параметров необходимо сделать определенные предположения относительно операторов А, и А„, которые имеют функциональный характер, а также задать некоторую априорную информацию.
Сформулируем эти предположения. Будем предполагать, что оператор А можно представить в виде суммы двух самосопряженных и перестановочных операторов А, и А,: А=А,+А„А,=А„, А,=А.;, А,А,=А,А,. (6) Пусть априорная информация задана в виде границ 6„ и Л„ оператора А„, и= 1, 2, т. е. 6,Е < А, < Л,Е, 6,Е <А, < Ь,Е, (7) причем выполнено условие 6,+6, > О. (8) Заметим, что из (6) — (8) следует самосопряженность и положительная определенность оператора А.
Если предположение о перестановочности операторов А, и А, выполнено, то будем говорить, что рассматривается коммутатианый случай, иначе — общий случай. Условия (6) обеспечивают самосопряженность операторов Вк для любого й. Действительно, в силу (6) операторы а)ОЕ+А, и Аз+о<'>Е самосопряжены и перестановочны, а произведение самосопряженных и перестановочных операторов есть самосопряженный оператор.
Переходим к изучению сходимости итерационной схемы (2), Подставляя у„= г + и, где гь — погрешность, а и — решение уравнения (1), в (2), получим для гь однородное уравнение й=О 1 зе=уо — и, (9) гь+ =Вк+ гы 434 где Ва=Š— тлВд'А=(а~,'~Е+А,)-Це~,'~Е+А,) '(а~'!Е Аь)(ы'мŠ— Аз) (10) Используя (9), выразим г„через г,.
Получим л х„= Т„,х„т„, = ЦЯ7 =Я„Я„,...В„(11) г=~ где Т„,— разрешающий оператор. Так как операторы А, и А, перестановочны, то порядок сомножителей в (10) безразличен, все операторы Я„самосопряжены и попарно перестановочны и, следовательно, оператор Т„, самосопряжен в Н: Т„, =)с„(А„ А,), где !с„(х, у) есть произведение дробно-рациональных функций от х и у: (12) Из (!1) получим (13) '1г„'!('!Т„,!"!г,'!. В силу самосопряженности оператора Т„, имеем !'Т„,1= = шах!Лэ(Т„,,)/, где Лэ(Т„,,) — собственные™ значения оператора Т„,.
Далее, в силу условий (6) (см. и. 5 % 1 гл. Ч) операторы А„А, и Т„, имеют общую систему собственных функций. Поэтому Л„(Т„,) =г„(Л~» Л!», где Л<' и Л<ю †собственн значения операторов А, и А, соот- ветственно, причем в силу (7) имеем 6,< У'! ~(6„6,< Л~м~(Ь,. Следовательно, '!Т„,'1~= шах ()с„(Л<'>, Л)'>))( шах (Я„(х, у)(. ь», ' * а,=кмь, з,<р<а, Подставляя эту оценку в (13), получим '!г„!~~>( гпах ()с„(х, д)(~,'г,'!о, . (14) б,мхчь, за<у<А, где !с„(х, у) определено в (12), а Р— Е.
Заметим, что в силу перестановочности операторов А, и А, оператор Т„, будет самосопряжен и в энергетическом пространстве Нр для Р = А, А'. Поэтому в силу леммы 5 З 1 гл. Ч будем иметь 1Т„,'1= =((Т„,,)д — — !Т„,,!ю, и, следовательно, оценка (14) верна для Р=А, Р= А'. Итак, задача оценки погрешности итерационной схемы (2) сведена к задаче об оценке максимума модуля функции двух 435 З. дробно-линейное преобразование. Изучим функцию /7 (х, у). При помощи дробно-линейного преобразования неизвестных отобразим прямоугольник 0 на квадрат (я~и~!, Ч -по !.
Ч > О), причем преобразование выберем таким образом, чтобы оно ие меняло вида функции /7«(х, у). Искомое преобразование имеет вид ги — з го-!-з к=, у= —, я~и, о~1, ! — /и' 1+/«' (15) где постоянные г, з, / и Ч подлежат определению. Подставляя (15) в (12) и вводя новые параметры х!.'> и х!з>, ! / ю(' — 3 м("+ 3 хо>=, х(з>=,, /=1, 2... и, (!6) г — /ю!г> ! г+ иао> / получим х/з> и хц> /7„(х, у)=Р„(и, о) П вЂ” ' / >х!'>+и и!з>+о '! ! Из (16) найдем соотношения, при помощи которых параметры ы!'> / ы)з> выражаются через введенные параметры х!'> и х">: гх" '+ з, гх(" — з ы!.'>= —, ю)з>= —, !=1, 2, ..., и, / 1+,хн> ' 1 /х(з> / / (! 7) Итак, если будут найдеим параметры х!" и х//'>, то по формулам (17) определятся параметры ы(з> н ы!'!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
