А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 74
Текст из файла (страница 74)
399 Итак, пусть оператор )с представлен в виде суммы сопряженных операторов )7» и )т»е: В=)7*>0, )7=Я,+ли Р,=Л:, (16) и вместо (5) имеют место неравенства 6'6(тс, Ат,Ю Щ,( — )7, 6>0. (17) Оператор В для схемы (2) построим по формуле (6). Тогда в силу леммы 1 при от=от»=2()'6««в неравенствах (15) имеем 7»= Ь 6 ' тт 21/т) Ь 7«==» 1= ° = — » Ч= ° (18) 2 (1+ 1» т)) 4 )т ч т«1+ рсч Отсюда следует Теорема 2. Пусть А=А*>0, (в=й()*>0, выполнены условия (16) и заданы с, и с, в (!4) и 6, Л в (17).
Тогда для попеременно-треугольного метода (2), (6), (8), (11) с чебышевскими параметрами т», где 7«=с»у» и у«=с»у„а у, и уе определены в (18), справедлива оценка (9). Для выполнения неравенства )(г„~~~( (е))г,)о достаточно и итераций, где 1п(2!е) / с, 6 и -: п, (е), п, (е) = — 4 — ь' Ч вЂ” а 2 )».2 4/.Ч с„ 3. Метод нахождения исходных величин Ь и Ь.
Из теорем 1 и 2 следует, что для применения попеременно-треугольного метода требуется задать два числа 6 и А в неравенствах (5) или (17). В рассмотренных ниже примерах сеточных эллиптических уравнений эти постоянные будут найдены в явном виде или будут указаны алгоритмы для их вычисления. При этом, естественно, используется структура операторов А, Р„Ят и Ю. Для общей теории итерационных методов, которая не учитывает конкретную структуру операторов, необходимо предложить общий способ нахождения априорной информации, требуемой для реализации метода.
Этот способ может быть основан на использовании асимптотического свойства итерационных методов варнационного типа (см. п. 5 2 1 гл. «тП1). Пусть операторы А и В самосопряжены и положительно определены в Н. Если в итерационной схеме В "'+' "«+Ао» вЂ” — О, й=О, 1, ..., о«~0 (19) т»+1 выбрать параметры т»„, по формуле метода скорейшего спуска (ятс««) ' и для достаточно большого номера итераций и найти корни х, ~ х, уравнения (1 — т„х) (1 — т„,х) = р„р„„р„= „"" ', (21) где 1 (~„— норма в Нз, то х, и х, будут приближениями к у, и у, в неравенствах (7) соответственно сверху и снизу. Воспользуемся описанным способом. Рассмотрим итерационную схему (2), (3), (6). Заметим, что в силу леммы 1 для неравенства (7) у, = 1((2в), а от априорных данных зависит лишь у,.
Мы попытаемся, не находя отдельно 6 и Л для неравенств (5), сразу найти выражение для у, как функции итерационного параметра а. Этому выражению мы придадим вид (10), указав соответствуюшие 6 и Л значения. Тогда из леммы 1 найдем в, по формуле (11) и т, и т„соответствующие вв по формуле (12). Для набора параметров ть используем (8). Найдем искомое выражение для у,. Возьмем в=О и по методу (19) — (21) найдем х,. Считая, что в (19), (20) проделано достаточное количество итераций, и учитывая, что при в О оператор В = !21, получим приближенное неравенство х1Ю < А, х, > О. (22) Далее, возьмем в =-в, > 0 и по методу (19) †(2!) найдем х„ так что х, > О и х1В(А или х,(Я+а,А+вЯ,йб %,)~А, (23) причем видно, что х,в,(!. Запишем (23) в виде х169+х1вЯ,йб-Ч~, ((1 — х,в,) А и сложим с (22), которое предварительно умножим на некоторый неопределенный пока коэффициент и > О.
Получим (ах, +х,)!2!+х1вЯ,йб 'й,((! — х,в, +а) А. (24) Разделим это неравенство на ах,+хм добавим к правой и левой частям слагаемое вА и выберем и из условия х1в',=аз(их,+ х,); (26) тогда преобразованное неравенство будет иметь вид Я+аА+а'В,Ю 1)~, =В( — А, 71 где (26) ! ! 1 — ха+а =в+ т1 т| !а) чх1+х~ Из (25) найдем ои а = х, (в',— в')ЯоРх ). 401 Так как а должно быть положительным, то выражение (26) будет иметь место для 0 < в < в,. Подставляя найденное а в (26), получим 1 1,, х~ — х~ — х~х~в1 +в+ в.
т~ х~ х,х,в~ Сравнивая это выражение с (10), получим, что в качестве 6 и Ь можно взять х~ — х~ — х~х~в! хИхвь Отметим, что в„найденное по указанным 6 и Л согласно (11), будет принадлежать интервалу (О, в,), если выполнено нера- венство 2х, <х, (1 — х,в,).
Если это неравенство не выполняется, то следует увеличить в, и провести указанные расчеты заново (рекомендуется брать в, = 2/х,). 4. Ревностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в пря- моугольнике. Проиллюстрируем попеременно-треугольный метод на примере разностной задачи Днрихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике 0=(0<х„<1„, а=1, 2): Лу=у„-, +у;.„= — <~(х), хЕв, у(х)=у(х), хЕу на сетке в = (х„. = (1Ь„)Ь,) б 6, 0 < 1 < У„0 < 1 < й(„Ь„= 1„1у„, а= 1, 2) с границей у, Для данного примера Н вЂ” пространство сеточных функций, заданных на в, со скалярным произведением (и, о) = ~~.', и(х)о(х) Ь,Ь,. ~ба Оператор А определяется равенством Ау = — Лу, где у Е Н, у Е Й и у (х) = у (х), х Е в, а у (х) = 0 для х Е у.
Правую часть 7' 1 ! определим обычным образом: 7(х) = <р (х) + — „, ф,(х)+ —,~р,(х), где д (О, х,), х, = Ь„ 1р (х)= 0 2Ь<х,<1,— 2Ь„, д(1„х,), х,=1,— Ь„ п(х„0), х, =Ь„ ф,(х) = 0 2Ь~<х,<1,— 2Ь„ а (х„1,), х, = 1,— Ь,. Тогда задача (27) записывается в виде уравнения (1). Оператор А самосопряжен н положительно определен в Н, так как он соответствует разностному оператору Лапласа при краевых условиях Дирихле.
402 (28) Определим теперь разностные операторы Я, и Я„которые действуют на сеточные функции, заданные на в, следующим образом: ! Я.у= — Х, аа у;., а=! 2 Я,у= ~~~, аа у,, х~ в. а=! Очевидно, что Я, +Я,=Л. Используя разностные формулы Грина, легко получим, что для сеточных функций у(х) ЕЙ, й(х) ЕН, т.
е. заданных на в и обращающихся в нуль на у, имеет место равенство (Я,у, й) =(у, Я,й). (29) Определим на Н операторы Р! и К, следующим образом: Р„у= — М,„у, а=1, 2, где уЕН, убЙ и у(х) =у(х), хЕв. Тогда в силу определения разностных операторов Я„и равенства (29) выполнены условия (3), т. е. А=И!+Р„Р,=Р;. Учитывая (28)„из (6) получим следующий вид оператора В: В = (Е + вН!) (Е + вН,).
Найдем теперь необходимую для реализации попеременно-треугольного метода априорную информацию. В данном случае она имеет вид постоянных 6 и Л в неравенствах 6Е ( А, Н!Р,((Ь14)А. Очевидно, что в качестве 6 можно взять минимальное собственное значение разностного оператора Лапласа 6 = — з!и — + — з!и — . 4 .
иа! 4 . ий!! 21~ ь1 2!~ Оценка для Л найдена в п. 4 9 3 гл. 1Х (операторы Н! и Н, определенные здесь и там, совпадают). Имеем Л=4!й',+4/Ь,. Итак, необходимая информация о 6 и Л получена. Из леммы 1 найдем оптимальное значение для параметра в„а также у, и у,. Итерационные параметры ть вычисляются по формулам (8). В частном случае, когда У! = Н, = У, 1, = 1, =1, получим 8 . и 8 й . и 6= — „з1п' —, Л = — .,= — = з!а'— й! 2!у' а! ' ' а 2а!' 2 г'ч а- . л !! а! ж2 г' т! = 2 айп зу -- у, в, = !+ г ч 4в!и— з! Займемся теперь конструированием еператора В. Будем рассматривать классический вариант попеременно-треугольного метода, для которого в (6) положим Ю=Е.
Из теоремы 1 для числа итераций и в этом случае будем иметь п ~ я, (е), где а э)/в ~~'ч э. ~/з з з ' т. е. число итераций пропорционально корню четвертой степени от числа неизвестных в задаче. В п. 4 3 3 гл. 1Х для метода верхней релаксации, примененного к решению разностной задачи (27), была получена следующая оценка числа итераций: п )~ и, (е) ж0,64У 1п (1!е), (У = 1~Ь).
Сравнение метода релаксации с попеременно-треугольным методом показывает явное преимущество последнего. Хотя на реализацию одного итерационного шага в попеременно-треугольном методе нужно затратить вдвое больше арифметических действий, чем в методе релаксации, он имеет существенный выигрыш в числе итераций, что и обеспечивает общую эффективность этого метода. Приведем теперь число итераций для попеременно-треугольного метода с чебышевскими параметрами, рассмотренного здесь для разностной задачи (27), в зависимости от числа узлов У по одному направлению квадратной сетки в для а=10 '. У= 32 а=16 У= 64 я=23 У=128 я=32 Сравнение с числом итераций метода верхней релаксации, которое приведено в п. 4 Э 2 гл. 1Х, показывает, что метод релаксации требует примерно в 3,5 — 7,5 раза больше итераций, чем попеременно-треугольный метод. Замечание !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
