А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 70
Текст из файла (страница 70)
> 0,5!оА при о! > О. Так как А= А" > О, то оператор Ю самосопряжен и положительно 375 определен в Н и У =А'. Поэтому, используя равенство (14) $ 1, получим ((йрг вй)х, х)=(1 — 0,5ы)(ййх, х)+0,5ы((Я-(-21) х, х) = = (1 — 0,5м) (Юх, х) + 0,5ы (Ах, х). При а(2 отсюда следует утверждение теоремы. 3 а м е ч а н и е. Теорема 4 справедлива как для точечного метода релаксации, когда в (3) гб — числа, так и для блочного или векторного метода релаксацйи, когда в (3) а; — матрицы . соответствующей размерности. 2. Постановка задачи о выборе итерационного параметра. Теорема 4 дает достаточные условия сходимости метода релаксации, оставляя открытым вопрос об оптимальном выборе параметра в. Особенность рассматриваемого итерационного процесса (1) состоит в том, что итерационный параметр в входит в оператор В= — Я+м1„который является несамосопряженным в Н оператором.
С несамосопряженным случаем мы уже имели дело в й 4 гл. И, где был рассмотрен метод простой итерации, итерационный параметр для которого выбирался из различных условий, например из условия минимума нормы оператора перехода от итерации к итерации. Здесь же необходимо учесть указанную выше особенность итерационной схемы.
Выбор параметра ю из условия минимума нормы в Нл оператора перехода от итерации к итерации будет сделан в 2 3 этой главы, где будет рассмотрена общая схема треугольных итерационных методов. В данном пункте параметр а для метода релаксации будет выбираться из условия минимума спектрального радиуса оператора перехода от итерации к итерации. Напомним определение спектрального радиуса оператора р(5) = !пп ~/)Ю*)(= шах) Хь(, (4) И-~Ф ь где Х вЂ” собственные значения оператора 5. Спектральный радиус обладает следующими свойствами: р(3")=р" (3), р(3)(Р1 (5) и р(5) =131, если 3 — самосопряженный в Н оператор. Из (5) для произвольного оператора Я получим р" (Я)=р(3")((3" (.
С другой стороны, из (4) при достаточно большом и будем иметь рп (Я) 13п) Переходим теперь к постановке задачи об оптимальном выборе параметра о для итерационной схемы (1). Получим сначала задачу для погрешности г„=-у„— и. Из (1) найдем (Жг <ой) "+' '~+Аз„=О, й=О, 1, ..., г,=д,— и или Зтв гь~,=3г„, й=О, 1, ..., Я=Š— а(!9+аЕ)-~А. (6) Используя (б), выразим хп через гь: ~!х.~~Я5" айза!! Оператор 5 является несамосопряженным в Н оператором, зависящим от параметра со. Задачу об оптимальном выборе параметра ш сформулируем следующим образом: найти ш из условия минимума спектрального радиуса оператора 5. Следует отметить, что мы не минимизируем норму разрешающего оператора 5", как это следовало бы делать в силу оценки (7), а минимизируем спектральный радиус р(5) оператора перехода 5, для которого имеет место оценка р" (5) ()5 !!.
Однако в силу приближенного равенства р" (5) ж()5п!! !можно ожидать, что для достаточно большого и указанный способ выбора в окажется удачным. Решение сформулированной выше задачи является сложной проблемой, однако при некоторых дополнительных предположениях относительно оператора А эта задача может быть успешно решена. Предположение 1. Оператор А самосопряжен и положительно определен в Н((7 =-Ь*, Я=.Жь ) 0). П р е д п о л о ж е н и е 2. Оператор А такой, что для любого комплексного гФО собственные значения )с обобщенной задачи ! на собственные значения (г7.+ — У) х — )ьЮх=О не зависят от г. з Используя вти прелположения, докажем следующее утверждение, которое нам понадобится в дальнейшем.
Лемма !. Если оператор А удовлетворяет предположениям 1 и 2, то все собственные значения задачи Ах — Л!2)х = О (8) дедспмипмльны, положительны и, если Л вЂ” собственное значение, то 2 — Л— тоже собственное значение. В самом деле, положительность и вещественность собственных значений Л следует из самосопряженности и положительной определенности оператора А.
Далее, пусть Л вЂ собственн значение задачи (8), т. е. Ах — ЛЯх=(У.+ У) х — (Л вЂ” 1) !2)я=о, х т О. В силу предположения 2 будет иметь место равенство ( — Š— У) у — (Л вЂ” 1) Юу=о или Ау — (2 — Л) <2)у=О. Отсюда следует утверждение леммы. Переходим теперь к решению задачи об оптимальном выборе параметра ш.
Для этого необходимо оценить спектральный радиус оператора перехода 5=Š— ш(зсл+шЕ) 'А, т. е. оценить собственные значения р оператора 5: 5х — рх = О. (9) Будем считать, что предположения 1 и 2 выполнены. Следующая лемма устанавливает соотношение между собственными значениями )) задачи (9) и собственными значениями Л задачи (8). 377 Лемма 2. Для о>~1 собственные значения задач (8) и (9) связаны соотношением ()ь + ю —.
1)' = шз)ь (1 — Л)'. (10) Действительно, пусть и и Л вЂ” собственные значения задач (9) и (8). Из определения оператора о и разложения А.=-Я+1,-)-У следует, что (9) может быть записано в виде — >й) — (р8+(>) х=о, х~о. (11) Покажем сначала, что при ю ю 1 все р отличны от нуля. В самом деле, предположим, что )>=О. Тогда (11) принимает вид 1 — ю — 15 — (> =О. Так как У вЂ” верхняя треугольная матрица, а 15 — диагональная (блочнодиагональная) матрица, которая положительно определена в силу предположения 1, то последнее равевство может иметь место для х ~ О тогда и только тогда, когда в=1.
Следовательно, мы пришли к противоречию, предполо. >ннв, что при ю Ю 1 имеем и=О. Разделив левую и правую части (11) на у р, получим Ы вЂ” ( )Сй8+ — 'и) х=о. май ( Уй Отсюда в силу предположения 2 находим ":"1й)у — Р.+()) у=о ю )>й илн Ау — (1+ ~1 Жу=о. ю "гсй ) Сравнивая зто равенство с (8), получим соотношение р+ю — 1 =1 — Л. ю ~сй Этим доказательство леммы 2 заканчивается. Замечание. При доказательстве леммы 2 самосопряженность оператора А не использовалась. Соотношение (1О) имеет место и для случая любого несамосопряженного оператора А в предположении невырожденности оператора Ю. Из леммы ! следует, что собственные значения Л расположены на действительной оси симметрично относительно точки Л=1, причем ЛЕ[Л ы, 2 — Л щ]„Л >,)О.
Поэтому из леммы 2 получим, что при юФ1 каждому Л,=1 соответствует р>=1 — ш, каждой паре Л; и 2 — Лг соответствует пара ненулевых рн получаемых решением уравнения (1О) с Л= Ли Следовательно, все р, могут быть найдены как корни квадратного уравнения (1О), в котором в качестве Л берутся все Лн расположенные на отрезке [Л ы, 1]. 378 3. Оценка спектральногсэ радиуса. Найдем теперь оптимальное значение параметра в и оценим спектральный радиус оператора 5.
Для этого исследуем уравнение (!О): р'+ [2 (в — 1) — <о' (1 — Л)'1 р+ (<о — 1)' = О, (12) где Л~с„(Л(1 и 0 «о < 2. Решая уравнение (12), найдем два корня в (! — Л)+ ргвп (! — Л)о — 4 (в — 1) ~~ р,(Л, со)— -( рп (Л ') -( в (1 — Л) — Ргво (1 — Л)п — 4 (в — !) ) (13) Исследование дискрнминанта уравнения (12) дает, что при в > в > 1, где 2 во = Е(1, 2), (14) 1+ Р Лтсп(2 — Лщсп) и для Л !и < Л~ ! корни р< и р, снова будут комплексными и [ р,[=[ р [= = шо†1. Следовательно, в области в>иве оптимальным является значение со=в, которому соответствует р (5) =во в 1.
Пусть теперь 1 < в < во. Исследуем поведение корней р, и р„ опреде- ляемых формулой (13), как функций переменной Л при фиксированном в. Если Л принадлежит отрезку [Л сп, Ло), Лю<п~Л~Ло —— 1 — 2 < 1, р'о~ — ! оэ то дискриминант оэ'(1 — Л)п — 4(в в 1)' неотрицателен и, следовательно, корни р, и р, действительны, причем максимальным является корень р,. Покажем, что р, (Л, в) есть убывающая функция Л на отрезке [Л;в, Ло[.
Действительно, дифференцируя (!2) по Л и учитывая (!3), получим дрс 2врс дЛ у'вп (! — Л) — 4 (в — О Следовательно, корень рх(Л, в) при 1 < в < в, убывает при изменении Л от Л„,;и до Ло, принимая следующие значения: <Г в (1 — Лани) + )' рс (Лт!п в) ! 2 р< (Ло в)=в — !. Далее, если Л меняется от Ло до 1, то корни рс и ре комплексны и равны па модулю: ! рс[=[рп [=в — 1. Следовательно, если ! < в < во, то со (1 — Л~с~)+ Ргвп (1 — Лм!п)п — 4(в — 1) ! Р (о) = рс (Лассо <и) -( ' ' 7 2 у ' Если в < 1, то все корни уравнения (12) действительны, максимальным является корень рс, значения которого убывают ири изменении Л от Л,;и 372 корни рс и р, для любого ЛЕ[Лпссю Ц являются комплексными, причем [р,[=.[р,[=-в — !.
Поэтому спектральный радиус оператора 5 при в > во равен р (5) =в в ! и возРастает по в. Если в=во, то рс(Лппп во) = рп(Лю!и. во) =во в 1, до 1. Следовательно, при ю <! спектральный радиус оператора Я определяется формулой (15). Так как при ы=! ненулевые )оа удовлетворяют уравнению (12), то (!5) имеет место и при ю=1. Итак, если О < ю < ыо, то спектральный радиус оператора 3 определяется формулой (15). Покажем, что и, (Л;и, ю) убывает по ю в интервале О < ю < юо. Действительно, так как при ы < юо корень рн убывает по Л для Л~Ло, а р, (О, ю) =1, торы(Л„!и, ы) < 1.
Далее, из (15) получим био(Л !п ю) у — (1 Л ю(1 — Л !и)' — 2 5г ро ( юо (1 — Лм!п)о — 2 (ю — 1) ш (! — Люоп) ю Уюо (1 — Лю!п)о — 4 (ю — 1) — 21 ю о (! — Л;и) — 4( — П Подставляя сюда (!3), окончательно найдем дро 2 г' ро(и1 — 1) дю о1 Утверждение доказано. Следовательно, в области ы~юо оптимальным является значение ю=ы„ которому соответствует !+ УЛю!п(2 — Лю1п) ( 1+ УЧ,) Заметим, что из проведенных выше исследований вытекает, что если 6— оценка для Лю;и снизу, т.
е. 6~Л ью а ы выбрано по формуле (14) при замене ).;п на 6, то моею, р(З) ~ ' Ч, О=в + )' 2 — 6' Итак, доказана следующая Теорема 6. Пусть выполнены предположения 1 и 2 и Ь— постоянная из неравенства 6Ю<А, 6) О. (16) Тогда для спектрального радиуса оператора перехода Я итерационной схемы (1) при оптимальном значении параметра ю, 2 юо (17) 1+ У 6(2 — 6)' справедлива оценка (18) причем, если в (16) достигается равенство, то равенство имеет место и в формуле (18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
