А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Для метода Зейделя из (16) получим (т=2) ту, = 26!(1+ 46) (20) и в частном случае, когда Л', = й!, = 61, 1, = 1, = 1, будем иметь из (17), (19) и (20) 6 = 2 з!и —, ту 4 зйп — ж -"-~ я я 3 а и' 2!Ч ' 2У Л! Лэ ! ~ ! ~~(~)Ж ~з Ы Ж Ю~ Ые В п. 1 2 5 гл. Ч1 для явного метода простой итерации, примененного для рассматриваемого частного случая, была получена следующая оценка числа итераций: л, (е) = 0,2М'1п —.
Сравнивая эти оценки, находим, что для метода Зейделя требуется примерно в два раза меньше итераций, чем для метода простой итерации. Характер зависимости числа итераций от числа узлов й! по одному направлению для этих методов одинаков †чис итераций пропорционально М'. Рассмотрим теперь метод верхней релаксации. Подставляя в (16) 6 = 2 э1п'-'-г, Л = 2 и т = и 2 2 "" Л~ получим 2!ив я 2Л! Я Д 1= ж1п — ж —. я я 2Ф 2а! ' 2+2!к— 2У ' 2У Иэ (19) найдем следующую оценку числа итераций для метода верхней релаксации: и, (з) ж — ' 1п — ж 0,646! 1и —, 2Ж ! ! (21) т.
е. число итераций для метода верхней релаксации пропор- ционально числу узлов й! по одному направлению. ззз В заключение приведем оценку для числа итераций, которая следует из теоремы 6. При значении параметра т 2 1 мп— 2У для числа итераций будет справедлива оценка п)~по (е) — !и — !81п — О,Б4У!п — ° 1~. я 1 Заметим, что оценка (21) несколько завышена. Для того чтобы убедиться в этом, нужно сравнить значения а,(е), вычисляемые по формуле (21), с числом итераций, приведенным в и. 4 Ч 2. Это связано с тем, что здесь число итераций оценивалось из неравенства ()Я((А ~ е, а в п. 4 й 2 итерации проводились до выполнения условия 1'Я"1А(е. ГЛЛВЛХ ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД В главе изучается попеременно-треугольный итерационный метод е) решения операторного уравнения с самосопряженным оператором.
В 1 1 излагается общая теория метода, описана конструкция итерационной схемы и указан набор итерационных параметров. Иллюстрируется метод на примере разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. В 12 этот метод применяется к решению разностных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами и смешаннымн производными в прямоугольнике. Для решения эллиптического уравнения с переменными коэффициентами на неравномерной сетке в произвольной области в 4 3 построен вариант попеременно-треугольного метода.
й 1. Общая теория метода 1. Итерационная схема. В 9 3 гл. 1Х был изучен треугольный итерационный метод решения уравнения Аи =). Итерационная схема этого метода имеет внд В а+' "а+Ауа=у, й=О 1, ..., уебН, (2) где т„= т, а оператор В = В, = гк) + т)с, определяется следующим разложением оператора А на сумму операторов; А=Я,+))ю й,=В;, А=Аз >О. (3) Относительно оператора бб предполагается, что он самосопряжен и положительно определен в Н, т. е. .'я) =Ж)е > О.
(4) Треугольный итерационный метод относится к классу методов, итерационные параметры для которых выбираются с учетом априорной информации об операторах итерационной схемы. Для *) Метод предложен Л. Л. Самарским в 1964 г, (см. ЖВМ н МФ, 4, № 3, 1964) и усовершенствован в [81. 395 треугольного метода первичная информация состоит в задании постоянных 6 и Л нз неравенств бйя А, Р,й %'(4А, 6>0. (5) Найденный в и. 3 з 3 гл. 1Х параметр т позволяет получить точность з за и,=О()п(1/з))' т1) итераций, где т1 =6)6.
Отметим, что несамосопряженность оператора В не позволяет использовать в итерационной схеме (2) набор параметров ть и увеличить тем самым скорость сходимости метода. Однако простота конструкции оператора В и возможность разложения (3) для операторов А любой структуры стимулировали изучение возможных видоизменений треугольного метода. В результате был построен попеременно-треугольный метод, сочетающий универсальность построения оператора В с возможностью выбора в схеме (2) набора параметров тм Приступаем к изучению попеременно-треугольного метода. Итерационная схема метода имеет вид (2)„ где оператор В определяется следующим образом: В=.(йр+оЖ,)Ю '(Ю+аР,), в>0.
(6) Здесь а — итерационный параметр, подлежащий определению. Будем далее предполагать, что для схемы (2), (6) выполнены условия (3), (4) и заданы 6 и Ь в неравенствах (5). Отмез им некоторые свойства оператора В, определяемого соотношением (6). Если оператору Ю+еА', соответствует треугольная матрица, а Ж) †диагональн, то В соответствует произведение двух треугольных и диагональной матриц. В этом случае сбращеине оператора В не является сложной задачей. Покажем, что оператор В самосопряжен в Н, и если оператор Ю ограничен, то В положительно определен. Действительно, в силу (3) имеем равенства (Аи, и) = 2 Я,и, и) = 2 Я,и, и) ) О. Отсюда и из (4) следует, что операторы В,=Ю+ыЯ, и В,= = Ю+нЯ, являются сопряженными и положительно определенными: В; = (Ю 1- ы А',) * = Вр + ыЯ, = „„> .'9 > О, а = 1, 2, цозтому В* = (В,йй 'В,)* = В;Я-'В,* = В,!В 'В, = В.
Далее, так как Ю есть самосопряженный ограниченный и положительно определенный оператор, то обратный оператор Ю ~ будет положительно определен в Н. Следовательно, используя неравенство (1з1 'х, х) б (х, х), й ) О, выражающее положительную определенность оператора Ю ', имеем (Ви, и) =(Ю 'В,и, В,и))г("1В,и()'> О. Из (2), (6) видно, что для определения у»+, при заданному» надо решать уравнение (Ы+ыЯ„)Ю '(Ы+вВ,)у»„=ф», й=О, 1, ..., где ф» = Ву„— т»», (Ау» — )). Оно сводится к решению двух уравнений (йр+ыН~) о = ф» (12!+ыН~) у»»» =йро Возможен второй алгоритм реализации схемы (2), (6), основан- ный на записи ее в виде схемы с поправкой у»», = у» — т»,.,~и», В1р» =- г», где г = — Ау» — ) — невязка.
Поправка 1р» находится решением двух уравнений (В!+ вЯ,) 1р» =-г», (19+аЯ,) 1р» = Ю1р». В этом алгоритме мы избавлены от необходимости вычислять Ву, но обязаны хранить одновременно и у, н промежуточные вели- ЧИНЫ Г», 1Р», Н!». 2. Выбор итерационных параметров. Займемся теперь исследованием сходимости итерационной схемы (2), (6). Так как операторы А и В самосопряжены и положительно определены в Н, то можно изучать сходимость в Нр, где в качестве Р взят один из операторов А, В или АВ 'А (в последнем случае В должен быть ограниченным оператором).
Для указанного оператора Р оператор РВ 'А будет, очевидно, самосопряжен в Н и, следовательно, согласно классификации главы Ч1, мы имеем итерационную схему в самосопряженном случае. Используя результаты 2 2 гл. т'1, мы можем сразу указать для схемы (2), (6) оптимальный набор итерационных параметров т». Пусть у, и у, взяты из неравенств уВ<А<у В, у, >О. (у) Тогда чебышевский набор параметров (т») определяется формулами 2 1 — 5 !и (О,Ь») т» ра ~ а~~по(а) т»+та ' 1+5 ' !пр» ' т,' и для погрешности г„=у„— и итерационного метода (2), (6), (8) имеет место оценка 2р" Зал)О Чв1з»Ь> Чл ! ! м ~~з Р»=,: (й) Это результат общей теории итерационных двухслойных ме- тодов.
Для схемы (2), (6) априорной информацией являются зчт постоянные 6 и Л в неравенствах (5). Поэтому одной из задач является получение выражений для у, и у, через 6 и б. Далее, поскольку оператор В зависит от итерационного параметра а, то у, и у, являются функциями в: т,=у,(в), у,=у,(в). Так как из оценки (9) следует, что максимальная скорость сходи- мости будет тогда, когда отношение в=у,(у, максимально, то мы приходим к задаче о выборе параметра в из условия максимума $. Сформулированные задачи решает Лемма 1.
Пусть выполнены условия (3), (4), оператор В определен по формуле (6) и в неравенствах (5) заданы постоянные 6 и б. Тогда в неравенствах (7) имеем уе — — 6/(1 + аб + 4 аебб), у~ — — 1!(2в). (10) Отношение 5=у,(у, максимально, если в=а,=2Д~бб, (1 1) при этом 6 2 (!+ г' 1!) Действительно, запишем оператор В в виде В = (Ю + вВ,) йб ' (!х! + вЯ,) = !х1+ в (В, + Я,) + аЯ,.'2! Ч,. (13) Учитывая, что А=В,+В,)6Ю или !х!<6 А, получаем для В ! оценку сверху В< ( — +а+ — в'б) А = — А /1 ! 2 т 1 4 У Отсюда следует (Ву, у) =2в(Ау, у)+(!2> '(!2> — вК,)у, (!2! — вК,)у).
Используя положительную определенность оператора Ю ', по- лучаем (Ву, у)) 2а(Ау, у), т. е. А <у,В. Итак, у, и у, найдены. Рассмотрим далее отношение 9 = 4(а) = у,/уа — — 2вб )' (1+ вб+ 4 ) ' Э98 т. е. А)Т,В, где у, определено в (10). Преобразуем теперь формулу (13): В=!я! — а(В,+й,)+в'Р.,И %,+2в(В,+Я,) = = (Я вЂ” ай,) Ю ' (йй — ай,) + 2вА. Приравнивая производную 26 (1 — со~ба(4) ( 4 ) нулю, находим в = а, = 2Д/6Л. В этой точке достигается максимум $(а), так как $" (в,) ( О. Подставляя найденное ы в (10), получаем (12).
Покажем, что 6(Л, т)(1. Действительно, используя равенство (Ах, х) =2(Я,х, х) и неравенство Коши — Буняковского, из (5) получим 8(Юх, )((Ах, )= ((' ) 4 (4 ' ) —— =4 ' (лх х)' (В)х, х)~(6Ф)х, х), что и требовалось доказать. Лемма доказана. Т е о р е м а 1. Пусть выполнены условия леммьь 1. Тогда для попеременно-треугольного метода (2), (6), (11) с чебышевсними параметрами ть, определяемыми формулами (8) и (12), справедлива оценка (9). Для выполнения неравенства (~ г„)~( г1г, )о достаточно и итераций, где и) п,(е), п,(г) =1п — /(2У2у'т)), Ч=6!6. Здесь О=А, В или АВ 'А. Для доказательства теоремы следует использовать лемму 1 и формулы (8) для итерационных параметров и числа итераций.
Рассмотрим теперь один прием, который используется при построении неявных итерационных схем. Пусть в Н задан само- сопряженный и положительно определенный оператор В, энергетически эквивалентный оператору А с постоянными с, и с,: с,В(А(с,В, с,>0, (14) н оператору В с постоянными у, и у,: (15) Предположим, что операторы А и В самосопряжены. Из (!4) и (15) для них получим следующие неравенства: у,В(А(у,В, у,=с,у„у,=с,у,. Изложенный прием позволяет при построении оператора В исходить не из разложения (3) оператора А, а нз разложения оператора В, который может быть выбран для большого класса различных операторов А одним и тем же. При этом постоянные у, и у, в (15) могут быть найдены один раз, и вся задача получения априорной информации для метода сводится к нахождению с, и с, в (14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
