А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Сеточная функция с((х) играет в (9) роль дополнительного итерационного параметра и позволяет учесть особенности оператора А в каждом узле х сетки со. Определим теперь операторы Я„следующим образом: Я„у= = — М„у, уЕН и уЕН, где а а ЯХ„ .4м(, и са 26 7)' а=1 (Гб) и а~'(х) =а,(х, ~ Ь„хе), аее'(х) =а,(х„х, ~ 6,).
Покажем, что операторы )Р, и Р, сопряжены в Н. Для этого достаточно показать, что имеет место равенство (М,у, о) = (у, 7),о), уЕ Н, о Е Н. Из разиостных формул Грина для функций, обращающихся в нуль на у, и формулы разностного дифференци- *) См. А. Б.
Кучеров и Е. С. Никочаев (ЖВМ и МФ, 16, № 5, !976! 17, № 3, !977). 4!1 Отсюда следует, что число итераций пропорционально )сс,(с, и методом (5), (7) целесообразно пользоваться, когда это отйошенне не слишком велико. 2. Модифицированный попеременно-треугольный метод"). Продолжим.изучение попеременно-треугольного метода для разностной задачи (!) в случае, когда коэффициенты аа(х) сильно меняются, т. е. отношение с,)с, велико. Рассмотрим теперь для уравнения (3) модифицированный вариант попеременно-треугольного метода рования произведения сеточных функций (уо),„=у+'о„„+у„о следует, что (д(,у, о)= — ~, — „(а у-„„, о) — ~ ' (а„„У, о)= 1 а а г 1 = г, ~ — „(у, (а о)„„) — — „(а „у, о)~ Г 1 ° 1 — сны~ ~ ь (у а охи) +ьь (у~ ~ах!Р) ~ (у~ ®ьо) Утверждение доказано.
Так как Я!+Р,= А, то в силу теоремы 1 асрнорная инфор. мация для попеременно-треугольного метода (9) имеет вид постоянных д и Л из неравенств д 2 < А Л В д ~ 4 А б > О (11) | Х1(рви +д о) ( а 1 ~ (1+ г) (| р, ) + х, | д, |) | ! р, ) и', + — ' о!) + + — +'()р,/+х,/д,|) (|р,)и$+ ~~' о3), (12) где е(х), х,(х) и х,(х) — произвольные положительные на го сеточные функции. Действительно, используя г — неравенство 2аЬ(гаь+Ыг, а ) О, получим | 2 1! ,Я (р„и„+д„о„)~ ью! = (р,и, + д!о,)'+ 2 (р,и, + д,о,) (р,и, + дьо,) + (р,и, + д,о,)' ( е.. (1+ г) (р,и, + др,)'+ — (р,и, + дьоь)'.
(13) 412 Так как отношение !) = 6/а определяет число итераций, то сеточная функция г((х) должна быть выбрана нз условия максимальности этого отношения. Займемся теперь выбором функции д(х) и оценками 6 и а. Докажем сначала одно неравенство. Лемма 2. Пусть р„(х), д„(х), и„(х) и о„(х), а=1, 2— сеточные функции, заданные на ы. Тогда для любого хЕго имеет место неравенство Снова пользуясь указанным неравенством, найдем (Рина+ ивина) = Рйвва+ 2раакапиоа + Чаой»а » ~Рйнй+! Ра ( ! Чи ! (какй+ Ой) + Чйой ~ аи =()р„)+гг„)д ))()р„(нг„+ — "о'„'), гг„)0, а 1, 2.
Подставляя полученное неравенство в (13), будем иметь (12). Лемма доказана. Воспользуемся неравенством (12), а также определением операторов Р, и Р, и найдем, что (РвЮ 'Р,у, у) =(в9 гР,у, Р,у) = г (в г'( — к" в- вв" к) в)а (( — +, (а,"г+0,5йгх!)аг„))(а,"у', + ' ', "' уг), 1)+ +(~ ', (а!к!+0,5йгкг~а!„'1) (аЯ, +, ' уг), 1). Отметим, что в (12) вместо ра, д, иа н о мы подставили да= й в У»=0,5пака, па =Ук па= ~ Ув а= 1, 2. БУдем тРеа а бовать„чтобы в полученном неравенстве и! была функцией только х„а хг — только х„т. е. положим хи=на(ха), р=3 — а, а=1, 2. (14) Положим а,'"+О,Ьв,н,)аг»,1 аф,(х!) е=е(х) а!'-~-е,йагхв! ад„,1 ага!(х,) (15) и определим й(х) следующим образом: д(х) = ~ (а+!+0,5й„к )аа„!) +, а=! ьй (16) !кФ 'кв к!~Д(в,в*'в)вЕ~ав,,к' ) 413 где 0а=йа(ха), !1=3 — и, и=1, 2,— положительные на в сеточные функции, подлежащие определению. Подставляя (15) и (16) в полученное ранее неравенство, будем иметь Так как й„не зависит от х„, то, используя введенное ранее скалярное произведение (, )„, получим, что (е У' 1)~(В У-„' ') Следовательно, з / а (»Я '((»»(~» (»»-, ) .»» ~ „»"„И', ().
((7) Выберем теперь 0 и я„. Обозначим (»„= (х, = (Й„1 ( ( < Л', — 1, Й,Л(, = Ц, и определим (и, о)„, = ~ и(х)о(х)й;, Х»»»»» (и, о)».= ~~'., и(х)о(х)л». »»» О»» Аналогично вводятся а(» и о,+, а также (и, о), и (и, о)». Тогда »»» легко видеть, что имеют место соотношения (и, о) = ((и, о) „1), = ((и, о)'„„1)„„ (и, о)„= ((и „о)- „1)„, (3 = 3 — (х, а = 1, 2.
»1 (иао„)х»»= »» Лай~ха~~(а йа о" (х)=0, х„=О, 1„', хаЕ(аа. (19) Тогда в силу леммы !3 из п, 4 $ 2 гл. Ъ" получим —, ).. *:-...„, »1 — „", у', 1) (К„(хв)(а у„- 1)»(+ а=1 2. »» »»»а Умножим это неравенство на 0„(хв) и просуммируем скалярно по (аа. Тогда в силу (18) будем иметь е — У, ()ч(Ь~,»,»'--, 3(, — (,2. (20( Пусть с„(ха) = шах ш'"(х), с(= 1, 2, ха ~(оа, где и('"(х) для фик- К» Е И»» сированного ха есть решение следующей трехточечной краевой 414 Пусть теперь о„(ха) = тахо" (х), а=1, 2, ха Е(аа, где о" (х) для »<» Е»»»» фиксированного ха есть решение следующей трехточечной краевой задачи: задачи: ~ аак а ю (х) =О, ха=О, 1„, хз 6соз.
(21) и учитывая (4), найдем отсюда, что (Юу, у)»(АУ, у). Следовательно, в (1!) можно положить 6=1. Оценим теперь Л. Для этого подставим (23) в (17) и учтем выбор 0 по формуле (24). В результате получим следующую оценку: Я~Я )эку> У) » ~Х ((1+Са7ка) (Ьа+си"а) паука~ 1)а ° Выберем теперь оптимальное иа из условия минимума выраже(1+с„! а)(Ь„+с„иа) „. П у м иа(ха)=~'Ь„( в), р=З вЂ” а, а=1, 2, и при этом Я,йр ')т,у, у)» ~ ((с„+)к Ь„)' а,у'-, !). Сравнивая эту оценку с (4), найдем, что в неравенствах (11) можно положить 6 =4гпах !' гпах (с„(ха)+1~ Ь (ха)) ), 6=3 — а. (26) а= ь к ~ ка к аа Подставляя в (!6) найденные выражения для ха и 0а, получим для функции Ы(х) представление вида 2 ы ~с "(х)=~~~'-~ ~,и'), ь +за ) с +)к —, хсы.
(26) а=! 4!5 Аналогично тому, как были получены неравенства (20), в силу (14) будем иметь следующие неравенства: с у~, 1 е-(х„а~с„аау„-, 1)а, а=1, 2, (22) а с Сложим теперь неравенства (20) и (22) и просуммируем их по а. Тогда в силу (16) получим Фу ~ 1) = (злу~ У) ~» ((каса+Ьа) ОаоаУк ю 1)а ° ' Выбирая 0„ по формуле ! Оа(хз =ь (к )+ (к ) ! ) ~ Р=З вЂ” сс, сс=1, 2, (24) Итак, функция юу(х) и постоянные 6 и Л найдены. Теперь осталось применить теорему 1. Отметим, что так как 6=1, то в, = 2у)/ Л, н для числа итераций верна оценка и ав лю (е) ю лю (е) = ~/ а |и (»ую) 2 р'2 Далее, в силу условий (2) из (!9) и (21) получим, что Ь„= == О(1УУюю) и с„=О(1УЬа), если число точек, в которых а =О(Ую„-'), конечно. Отсюда следует, что пю(е)=О()~У1п(2Уе)). Остановимся теперь на реализации построенного варианта попеременно-треугольного метода (9).
Сначала для фиксированного хз, у»а < хв < уа — Йв решаются методом прогонки трехточечные краевые задачи (!9) и (21) и находятся значения Ь„(хз) и с (хв), с»=1, 2. Эти четыре одномерные сеточные функции запоминаются и используются в процессе итераций для вычисления Ы(х) по формуле (26). Простота формулы (26) позволяет не хранить двумерную сеточную функцию юу(х), а вычислять ее по мере необходимости заново. Далее по формуле (25) находится Л и полагается 6 =1.
Значения итерационных параметров в и т для схемы (9) определяются согласно теореме 1. Для нахождения у а, по заданному у» используется первый из алгоритмов, описанных для попеременно-треугольного метода в п. 1 9 1: (8!У+в,УУ,) о = юр», (йЕУ+в,УЕ,) у», =Ей)о, ~р» — — (Жу+вюР ) ау! (121+ в»У»ю) у» — т»+ (АЬ» — ю»). (27) Не останавливаясь на деталях, приведем разностный вид алгоритма (27): где вюаю х вюаю х +1 +1 сю ю»ю ' ю'ю»ю ю 1 вюаюх вюаюх »,' ' ' »,' ~~1 2»юз о (Е, у) = сю, (ю, у) о (Š— 1, у) + рю (ю, у) о (Е, у — 1) + х (ю', у) юр» (Е, у), ю=1, 2, ..., ЬУ» — 1, У=1, 2, ..., У)У» — 1, (28) о (О, у) = О, 1 < у < йУ» — 1, о (ю, О) = О, 1 ~~ Е ( ЬУ» — 1. Еу»»»(Е, у) =*а»(Е, у)у»+,(ю'+1, у)+рю(Е, у) у»+; (ю', у+1)+ +И(Е, у')ЕЕ(Е, у) О(Е, у), 1 = ЕЧ» — 1, ..., 1, у =дую — 1, ..., 1, (29) где а3а,"а," г а т а'„' е »1 е »1 саек 1.4» 6',Й с причем Р (О, !) = О, 1 < 1 ( Л~с — 1, Я (1, 0) = О, 1 (~ Е ~ (Л', — 1.
Заметим, что в силу (25) и (26) верны оценки а„ са+)/Ь„( ~~ = —, с(> ~, ~ —;-„— "~-. Отсюда получим аа +аа ~~+ 'ае ~Х,~ а ! 2ьа ), к- (~~*. „~.) =са,(шах( — ",, ~,')+шах~»',, ~~)) или шах(ат, ае)+шах(()„~е)(1. Отсюда следует, что а,+~,(1 и ае+(3,(1. Поэтому счет по формулам (28), (30) устойчив. 3. Сравнение вариантов метода. Выше для решения'разностной задачи (1) были построены два варианта попеременно-треугольного метода. Вариант (5), (7) построен на основе регуляризатора Я, а вариант (9), (!0) использует оператор йб, который выбирается специальным образом. Эти варианты характеризуются одной и той же асимптотической зависимостью числа итераций от числа узлов сетки. Однако оценка числа итераций для первого варианта зависит от экстремальных характеристик коэффициентов аа(х), а= 1, 2, разностного уравнения (1), тогда как для второго варианта она определяется их интегральными характеристиками.
Сравним эти варианты метода на следующем традиционном модельном примере. Пусть на квадратной сетке с Л', = Л(е = Л1, 14 А. А. сасерскка, а. с. нкксаеее 417 Правая часть ср (1, 1) вычисляется по формулам Ч (1 !)=У(' — 1, !)+()(1 ! — 1)+8(1 (Ну (1, !)+ + Я, (с, !) у„ (1 + 1, 1) + К, (с' — 1, !) у„ (1 — 1, !) + + Р. (' 1) у (1, ! + 1) + Р (1 ! — 1 ) у (1 ! — 1) + + б (1 — 1, 1) уа (1 — 1, ! + 1) + б (1, 1 — 1) у„ (1 + 1, ! — 1) + +терс! (1 !)в 1(1(М,— 1, 1~)<Л~,— 1, (ЗО) введенной в единичном квадрате (1, = 1,=1), задано разностное уравнение (1), в котором а!(х) =1+с ((х! — 0,5)'+(х,— 0,5)а1, аа (х) = 1+с[05 — (х,— 0,5)' — (х,— 05)а], х Е в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
