А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Тогда в неравенствах (2) имеем с,=1, с,=1+0,5с. Меняя параметр с, будем получать коэффициенты а„(х) с различными экстремальными свойствами. Таблица 10 дл (,Я~(х)Д )= — 'Р(х) х66, д Г дик а=! ди — и-а(х) и Ы-и(х)~ ди — =к, (х) и — д„(х), х„=О, (3! ) хи — (из На прямоугольной сетке в = (хы — — (!й„(Ьа) ~ б, 0 ( ! < У„ 0(1(й(„Ь„Л!„=1„, а=1, 2) задаче (31) соответствует разностная задача Лу= — 1(х), хЕ в, (32) Л= Л, + Л„ 1(х) = !р (х) + — ср,(х) + †, !р,(х), 418 В табл. 1О приведено число итераций для указанных вариантов в зависимости от числа узлов Л! по одному направлению и от отношения с„!с! для е =-10 4.
Видно, что для случая больших значений с,/с! модифицированный попеременно-треугольный метод требует меньшего числа итераций, причем число итераций слабо зависит от этого отношения. 4. Третья краевая задача. Рассмотрим попеременно-треугольный метод решения третьей краевой задачи для эллиптического уравнения в прямоугольнике 6 = (О ( х„( 1„, а = 1, 2): где — (аау»а — х ау), х = О, а ~~ ~/| « ~ а х ~ а ~ ~ » ~ ~ ! г 2» аа Лау = 1 (аау» )» Ьа ~~ха ~~(а Ьа» а ~~ ~ ~ « ~ а х ~ ~ ~ ~ ~ ~ о а ! а ~ ~ ~ а) 1 2 — ( — аау- — х„ау), ха =1, а "а д а(ха), ха=О, 1ра (Х) = О, Ь„(Х ( 1„— Ь, йоа (Ха) Ха — 1а ° р(ха)Ьах а(ха), ха=О, аа (Х) = Р (Ха) аа (Х) Ьа ~~ Ха ~ ~1а» Р (ха) Ьах+а(ха) х»=1а+Ьа О ~~ха ~ ~1з» ) (х) = р (х,) р (х,) 1(х), х Е м, ( 0,5, ха = О, 1а, Р (ха) | 1, Ь ( х ( 1 — Ьа, р = 3 — а, а = 1, 2, то задача (32) может быть записана в виде Лу= ~'., (аау-„)„= — 1(х), у (х) = О, х б у*.
(33) Напомним, что для разностной задачи вида (33) в п. 2 был построен модифицированный попеременно-треугольный метод (9) — (10). Следовательно, в формулах и. 2 необходимо лишь заменить аа(х) на аа(х), и мы получим метод решения третьей краевой задачи для эллиптического уравнения в прямоугольнике. 14» 419 Будем предполагать, что коэффициенты аа(х) удовлетворяют условиям (2) и имеют конечное число точек, в которых а „= — О (Ь„-'). Также будем считать, что х а(ха) и х,а(ха) для каждого фиксированного ха одновременно в нуль не обращаются (х „) О, х+а)~0, х а+х„, ) 0).
Разностную задачу (32) удобно предварительно свести к задаче Дирихле в расширенной области со» = (х;, = (1Ь„)Ь,), — ! (1<У,+1, — 1(1(У,+1), для которой сетка в является внутренней. Обозначим через у* границу сетки со' и доопределим сеточную функцию у(х) нулем на у*. Если обозна- чить Для рассматриваемого случая трехточечная краевая задача (19) записывается в виде +1 съ~ (а„о- )„ = — †„, 0 х„ ( 1, "а ."а Ь~ о" (х) = О, х, = — — Ь, ( + Ь„. Используя введенные выше обозначения для а, получим, (34) можно придать другой вид +1 („") "кГ "а а„— н „о = — — „, х„==О, +~к а са Я (у — а„о — х,„о = — ке„, х„=1„.
х, что (35) В силу сделанных предположений относительно а„(х), я „и и „, разностная задача разрешима. При этом Ь„(хз) = шах о" (х) = 0 ~ —., ), /1Х о « «„« ~„~ 1ь ) 0:. тз(1з. Аналогично задача (21), которая в данном случае имеет вид — ) сях (а„в- ),„= — — ", 0(х,(1„, в (х) =О, х„= — Ь„, 1„+Ь„, в силу обозначений сводится к третьей краевой задаче Ь„( „(1„— Ь„, 26 а х =0 (36) 2Ьа )аа — Ьах~.а! 2ьа з ха = (а а (а„в- )„=— аа в и-ав .н а й «а — а„в — хе„в =— а а ~а Отсюда получим, что с„(хз) = шах в" (х) =0 ( — „ /1~ о <х «г„ и следовательно, 6=4 п1ах ( шах (с„(ха)+Р'~ (.))а' =О( ).
— / 1 а=к 2 З «ха< !З а з ) (!ь! Поэтому для модифицированного попеременно-треугольного ме- тода, примененного к нахождению решения третьей краевой за- 420 Будем требовать выполнения условий й (х) с)0, А';г(х)(Ргйи(х)ягг(х), хай, 0<р<1. Отметим, что условия (38) обеспечивают равномерную эллиптич- ность уравнения (37). В самом деле, рассмотрим для фиксированного хб 6 задачу на собственные значения для пучка матриц ~,'","~~ — Лф~ „' !/=0.
Для Х имеем квадратное уравнение (1 — Х)г й„й„— яггг = О. Отсюда найдем )1 — Л~=-4Й <,, 1 — р<Л<1+р. )/А,г хгг Следовательно, имеет место неравенство г г г с,,~ ~л„„(х)ц< ~ йаз(х)$„$а<сг ~ л„„(х)$г„, с,=1 — р, с,=1+р„ (39) где $ = ($„$,) — произвольный вектор. Отсюда в силу условия йаа(х))с ) 0 следует равномерная эллиптичность оператора 1..
На прямоугольной сетке о = (хы — — (И„1лг) Е 6, 0 <1 < У„ 0<1<У„Ь„Ж„=1а, а= 1, 2) задаче (37), (38) поставим в соответствие разностную задачу Дирихле 1 Лу= 2 Ла [(ЛаЗУ2 )х + (яаЗУх )х ~= Ч(Х)' а а ~ а а а ха у(х) =д(х), хну. 421 дачи (32), число итераций зависит от числа узлов так же, как и в случае первой краевой задачи. Очевидно, что описанный выше прием сведения к задаче Дирихле можно использовать и в том случае, когда на каждой стороне прямоугольника задано одно нз краевых условий первого, второго или третьего рода.
5. Разностная задача Дирихле для уравнения со смешанными производными. Пусть в прямоугольнике 6=(0<х <1а, гг=1,2) с границей Г требуется найти решение задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа со смешанными производными г 7.и =- ~~~ а„— (Й,в (х) ~у„) = — ф (х), х Е 6, и(х) =-п(х), х б Г, йаз(х) =йза(х). В пространстве Н сеточных функций, заданных на со, со скалярным произведением (и, о) = ч~~ и (х) о (х) й,й, определим оператор А следующим образом: Ау= — Лу, УЕН и у(х)=у(х) для хааа!, У(х)=0 для хну, а также оператор Гт!й»у= — Му, где Му=,'.".(и.у„-)к, хбв, и.(х)аа ""2 а=! с»)т ~(А ~(сккт, с! = 1 — р, с« =1+р» (41) где р задано в (38). Действительно, из разностных формул Грина получим 2 ч (АУ У) (ЛУ У) ~~ ° 2 г!(йазука Ука)а + аЬааука» Ука)1, а, а=! где скалярное произведение (и, о) определено в и. 1 3 2, а !а оа !З оа а(и, о) = ~ч~ ~«чу и (х) о (х) й,й„ р = 3 — а!»х = 1,2.
«а=о «вала Заметим, что если одна из функций и(х) или о(х) обращается в нуль при хз — — 0 (или при ха=(а), то !» о !»-о» а(и, о)=1и, о)= ~ ~ и(х)о(х)й,й„ !» !» (и, о)а = (и, о) = ~2.", ~ и (х) о (х) й,й„ со = 1,2. к,=о, к»= а» Это сразу дает (АУ, У)= ~~~ — ((~ "Зуй Ук 1+[йааУ«, Ук )) (42) а.
а=! Далее, так как Му можно записать в виде 2 ~а (( аарк. )ка ( ~ау«а)ка) а =- ! "а Тогда задачу (40) можно записать в виде уравнения (3), где )(х) ОтЛИЧаЕтея От Ч! (Х) ЛИШЬ В ПрнтраНИЧНЫХ уЗЛаХ. ТаК КаК йаа(Х) = =йоа(х), то операторы А и Я самосопряжены. Покажем, что имеют место неравенства то ! ()!Ус У) (АУ У),~.к! 1ЯааУУ Уха)а + сс()сааУка Ука) ~ = а=! 2 2 1( а!!Ухи 1+1 а!!Уха )) и=! Из (42), (43) и неравенств (39) получим (х с-сс, !)а( х с.хи хс, !)а .(е 1-11.
с~ и аналогично Х йааук 1 ~~ Х йааух ух, 1 ~~ сс Х йааух с 1 с и следовательно, оценки (41) доказаны. Таким образом, оператор Я, определенный выше, можно использовать в качестве регуляризатора в попеременно-треугольном методе В"~+' ""+АУ„=1, й=О, 1, ..., тк+! В = (Я+ сайсс) йб ' (Я+ си)с,), )тс = )сс, К, + Гтс =- )т, где операторы Я„Я, и Я определены в п. 2 3 2. Там же были , найдены постоянные 6 и сх для неравенств 6Ю ( сх, Я!222 %,( 4 )с, 6 > О.
Применение теоремы 2 завершает построение попеременно-треугольного метода для разностной задачи (40). $ 3. Попеременно-треугольный метод для эллиптических уравнений в произвольной области 1. Постановка разностной задачи. Построим модифицированный попеременно-треугольный метод для решения задачи Дирихле в произвольной ограниченной области 6 с границей Г в случае эллиптического уравнения с переменными коэффициентами г (!2а (Х) х ) = ссхс (Х)с Х Е с*'с сс= ! и(х) =д(х), хЕ Г, Фа(х)~)с, > О, ос=1, 2. Предположим, что граница Г достаточно гладкая.
Кроме того, для простоты изложения будем считать, что пересечение облас. ти с прямой, проходящей через любую точку х Е О параллельно оси координат Ох„, ааа 1, 2, состоит из одного интервала. 423 Лу=,Е (а,у„-)х = — ~р(х), хна, у(х) =у(х), х~ у. (2) Здесь использованы следующие обозначения: а у,а = — ', (у(х("а)) — у(х)), у-„= — '(у(х) — у(х( ' )). «а а Коэффициенты аа(х) и ~р(х) выбраны так, чтобы схема (2) на равномерной сетке имела локальный второй порядок аппроксимации. Введем теперь Н вЂ” пространство сеточных функций, заданных на ы, со скалярным произведением (и, о)= ~ и(х)о(х) х «Еи х Й, (х,) Й, (х,).
Оператор А определим обычным образом: Ау — Лу, 424 В области 6 построим неравномерную сетку в следующим образом. Проведем семейство прямых ха=ха(га), 1„— — 0, ~1, ~2, ..., и=1, 2. Тогда точки х,=(х,(11), х,((а)), 1=(1„1,) образуют основную решетку на плоскости. Точку х; решеткй, принадлежащую 6, назовем внутренним узлом сетки а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
