А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Для нахождения решения задач (2), (3) можно воспользоваться методом прогонки. Запишем уравнения (2), (3) в виде трехточечной системы и проверим выполнение достаточных условий устойчивости метода прогонки. Уравнения будут иметь вид — уь+ ! (!+1 !)+(2+Ф222Уу !2(! !) — у2+2, (! — 1 1)= =2р,(1, !'), 1(!<й!,— 1, (4) у„„,(О, !) =п(О, !), у„„,(М„!) =д(Л„!), 1'<!~(Л/2 — 1, " где Ь', 2р2(г, !) = — ', ~уь(1, !+ 1) — (2+Ь22а2Д,) уа(1, !)+ + у (1, ! — 1) + )2222р (1, !)); — уа22 (1, !+ 1)+(2+)22вЩ) у2„, (1, !) — у222 (1, ! — 1) =-Ч22(2, !), 1<!<У2 — 1, (5) у„+, (1, 0) = д (1, 0), у2„ (1, У,) =у (1, Ж2), 1 < ! < 5(2 — 1, где !2 р (', !) = а' Ь ° и ('+1 !)— Ь2 (2+62(0~~~2) у22 2(2 (22 !)+уь+ы2 (! 1 !) +)22|Р (! !)~ ° Так как для данного примера 6, > О, 6, ) О, то в силу неравенств (31) п.
4 3 1 параметры аьч' и 222и' положительны. Поэтому в трехточечных уравнениях (4) и (5! коэффициенты прн уь+2!2(1, !) и у2„(1, !) преобладают над остальными коэффициентами. Следовательно, метод прогонки, примененный к задачам (4), (5), будет устойчив по отношению к ошибкам округления. Подсчитаем число арифметических действий, которое нужно затратить на реализацию одного итерационного шага в методе (2), (3) для рассматриваемого примера. Достаточно подсчитать число действий для задачи (4), для задачи (5) подсчет проводится аналогично.
442 Формулы метода прогонки для задачи (4) имеют вид (1 фик- сировано): Уь+ ыз (1. 1) = <~;Уь+ мэ (1+ 1, 1) + 0ь 1 ~( ! < У, — 1> Уь+~м (У~ 1) =й'(У~ 1) а,,,=11(С вЂ” а;), 1=-1, 2, ..., Л',— 1, а,=О, С=2-)-Ь',в~'„ (), „, =а,„,(сР,(1, 1)+(3;), 1 = 1, 2, ..., Л', — 1, ~, = д (О, 1'). Заметим, что прогоночные коэффициенты я; не зависят от 1 и поэтому могут быть вычислены один раз с затратой 2(У,— 1) арифметических операций. Далее, на вычисление р, (1, 1) на сетке ы потребуется 6(У,— 1)(У,— 1) арифметических операций. Прогоночные коэффициенты 6; и решение уь„,, нужно считать заново при каждом 1.
Для этого потребуется 4(У,--1) (У,— 1) действий. Всего для нахождения у~„„, на сетке а при заданном у„потребуется Я, =! О (У,— ! ) (У,— 1) + 2 (У, — 1) арифметических действий. Для нахождения у... из (15) по вычисленному у~, м, потребуется 9,=10(У,— 1) (У,— 1)+2(У,— 1) действий. Йтак, для рассматриваемого примера реализация одного итерационного шага в методе переменных направлений осуществляется за 9=20(У,— !)(У,— 1)+2(У,— 1)+2(У,— 1) (б) арифметических действий. Оценим теперь число итераций п, достаточное для получения решения с заданной точностью е. В частном случае, когда область 6 есть квадрат со стороной 1(1,=1,=-1) и сетка а квадратная с У,=У,=У(Ь,=Ь,=11У), будем иметь 4 ., ла 4 ла 6,=6,=6= — з1п' —, Л =Л = 6= —,соз'— е у э! ь э ~,я Из (21) и (28) ~ 1 получим следующую оценку для числа итераций: и ) а, (е) = 0,1 1и — 1и —, т) = 6! Л = 1и'— 4 4 2 па Ч з' 21 или для малых Ь л, (з) = 0,2 !п (4У! и) 1п (41е), (7) т.
е. число итераций пропорционально логарифму от числа неизвестных У по одному направлению. Из (6), (7) получим следующую оценку для числа арифметических действий Я(е), затрачиваемых на нахождение решения разностной задачи (1) методом переменных направлений с точностью е: ~ (е) = аЯ = 4Л" 1п (4У,'п) !и (4!е).
(8) 443 Чтобы сравнить этот метод с прямым методом полной редукции (см. 8 3 гл. 111), перейдем в (8) от натуральных логарифмов к логарифмам по основанию 2. Получим Я (е) = 2,! 2 № 1опа (4!У!и) !она (4,'а). Так как погрешность аппроксимации разностной схемы (1) есть 0(й'), то е целесообразно выбирать равным 0(й'). Если взять а=4(Л!а, то получим 0 (е) = 4,24№ 1опа У 1опа (4!у!и). При У 64 получим еж10-а и !4 (е) = 27,6 Уа 1одаУ. Сравнение с оценкой числа действий для метода полной редукции показывает, что для указанной сетки метод переменных направлений требует примерно в 5,5 раза больше арифметических действий, чем метод полной редукции.
С увеличением У и уменьшением и это различие увеличивается. Для рассматриваемого частного случая приведем число итераций й в зависимости от числа узлов Л' по одному направлению для а=10 '. Для сравнения приведем и число итераций для других рассмотренных выше методов. Таблица !! Из таблицы следует, что наименьшее число итераций требуется для метода переменных направлений.
По числу итераций ему уступает попеременно-треугольный метод с чебышевскимн параметрами, который был рассмотрен в главе Х. Замечание. Если для рассматриваемой задачи (1) рассмотреть метод переменных направлений с постоянными параметрами, т. е. в)и=сои', со)и=а"', т =во'+а'а', то нз формулы I (25) й 1 получим в силу равенства бп ( — К'(л), л') ='г' й, что параметр х =)/Ч. В частном случае, когда б,=б,=б, Л, = 444 Будем предполагать, что выполнены следующие условия: 0(с, „(й„(х )(ск „, и„.„=сонэ(.:вО, а=1, 2, (10) 2 а=сопз1 О, ~ я~~ +дкчьО.
а=1 Краевая задача Неймана (ииа= О) для случая д =0 будет рассмотрена отдельно в главе Х!1. Условия (10) обеспечивают существование и единственность решения задачи (9). На врямоугольной сетке в =(х~,.=(й„(й,) ~6, 0 =1~)У„ 0(1(Ж„а„=-1„1М„, а=1, 2) задаче (9) соответствует разностная краевая задача Лу=(Л,+Л,)у= — <р(х), «Ев, (11) где разностные операторы Л, н Л, и правая часть «р определяются следующим образом: 2 / 2 — аа(йа)ука — ( О,бд+ — я „) у, х„=О, а Иа (аа (Ха) У„)к,„О буу~ Иа ~~ Ха ~ ~(а йа 2 Г 2 Иа а Иа Л.у = для 0(хв(1в, р=3 — а, в= 1, 2 и гр=-~+~р,+ср„ 2 — д „ (х), Иа О, и 2 Иа Ха=О, Ь„( х„(1а — Ьа, Ха 1а.
~ра (х) = 445 Л = Л, ранее в и. 3 9 1 было получено следующее соотноше- 2 и1 а> . а> ел ние между параметрами в)", в'и и к~. в)"=в';' =Лкх. Так как при этом т1=6~'Л, то отс~ода находим во'=во1='р' бЛ. 2. Третья краевая задача для эллиптического уравнения с разделяющимися переменными. Пусть в прямоугольнике 6=(Ои 'х„<1„, а=1, 2) требуется найти решение следующей краевой задачи: 1.а = ~~~ д (й (ха) д 1 — аи -1(х), хбб, д ~ ди к ди Йа (ха) З вЂ” — — и „и — ф' а(х), «а=О, (9) а — йа(х ) — „=и,„и — у,„(х), х„1а, а 1, 2.
ди а Обозначим через Н пространство сеточных функций, заданных на в, скалярное произведение в котором определено формулой (и, о) = ~~р и(х) о(х) Й,(х,)Ь«(х,), ««а Операторы А, А, и А, определим на Н соотношениями Ау= — Лу, А„д= — Л,у, а=-1, 2. В 2 2 гл. Ч было показано, что так определенные операторы А, и А, самосопряжены и перестано- вочны.
Кроме того; в силу условий (!0) оператор А положи- тельно определен в Н (т. е. 6,+6, ) 0). Осталось найти грани- цы операторов А, и А«„т. е. постоянные ба и Ь„в неравенст- вах 6„Е(А„(Ь„Е, а= 1, 2. Найдем сначала ба. Из определения операторов А„ и раз- ностных формул Грина получим 'а (Аад, у) = — ~ ~ "((а у-„)„а — О,бду)дй,̫— «а = 0 «а=за !а ~аа(йа) У«а (и-а+ 4 у~у~у((« =ай«+ 'а + «,' 1а„(1„)у; + <я „++у)у(~у<~, Д,,— 1а !а аау'- й,а«+ «6=0 «аааа св + Х (и-ау 1!« =а+я+ад 1!« -4 ) й«+О ~д (У 1). Отсюда найдем, что если у=к „=х,а=О, то ба=О. Если хотя бы одна из величин д, к а или х„а отлична от нуля, то ба можно найти следующим образом. В силу леммы 16 2 2 гл. Ч будем иметь (У', 1)-„( шах оа(ха)(АаУ, У)-, (12) ка«аа где оа(ха) есть решение трехточечной краевой задачи ( „-")„ аа(ха)о ) 0 бди 1~ йа ~~ха~~(а йав 2 l 2 — аа(йа)оа — ~0,5д+ — я „) за= — 1, ха=-О, (13) 2 а т 2 — аа(1а)о- — ~0,56+ — х~„)о = — 1, ха=!а, 446 а скалярное произведение определяется следующим образом: ~а (и, о)„- = ~~ ~и (х) о(х) Ф„(х„).
««--О Умножая (12) на Фа(ха) и суммируя по ха от 0 до 1а, получим (у«, 1) < пах о" (х„)(А„у, у) «а « '«а и, следовательно, 1 ба— а («а) "а ~ '«а а=1, 2. Найдем теперь Л„. Оператору А„соответствует трехдиагональная матрица а„. Обозначим через йй диагональную часть матрицы А„, т. е. Юу = д„(х„) у, ( ОЛЕЙ+ а и-а+ а па (йа)~ ха а а д„(х„)= 0,54+ —, (а„(х„)+а„(х„+Ь„)), й„<х„<1„— Ь„, аа 0 54+ «и«а+ ««псс ((а) ха=(а. Рассмотрим задачу на собственные значения Аау )'ййу= 0 х Е гэ' (14) Легко показать, что если 7 есть собственное значение задачи (14), то 2 — Х вЂ” тоже собственное значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
