А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Существуют задачи, для которых зги требования не выполнены, т. е. либо оператор А не является знакоопределенным, либо трудно найти такой оператор В, чтобы В'"А был положительно определенным оператором. В качестве примера таких задач можно привести задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца в прямоугольнике у„- „+у-„+ги»у=О, у(х) =у(х), где т» ) О. Данный параграф посвящен построению неявных двухслойных итерационных методов для случая, когда оператор С является невырожденным незнакоопределенным в Н оператором. Здесь мы будем рассматривать только действительные операторы С, комплексный случай изучается в ~ 2. Переходим к построению итерационных методов.
В уравнении г „==(Š— т,В 'А)г„, й=О, 1, ...,2и — 1, для погрешности г»=у» — и итерационной схемы (2) сделаем замену г„ = Р-ч-х„ и перейдем к уравнению для зквивалентной погрешности х»'. х„»,=(Š— т +,С)х„, А=О, 1, ...,2и — 1, (4) где оператор С определен в (3). Так как оператор С незнакоопределен, то очевидно, что норма оператора Š— т»»,С будет больше либо равна единице для любого т„„.
Рассмотрим теперь уравнение, связывающее погрешности на четных итерациях. Из (4) получим х,»„=(Š— т,„+,С)(Š— т„»„С)х»„, й=О, 1, ..., п — 1. (5) Если обозначить в»+,= — т»»+»т»»»г, й=О, 1, ..., и — 1, (б) и потребовать, чтобы итерационные параметры т,»+, и т»»~, для любого Й удовлетворяли соотношению 1!т»»+»+1/т»»+,— 2я, й=О, 1, ..., и — 1, (7) где а — неопределенная пока постоянная, то (5) можно записать в виде х»»»»=(Š— со„»,С)х,», у=О, 1, ...,С=С' — 2аС.
(8) Если ох~, и а найдены, то параметры т,ь, и т,„„в силу (6) и (7) определятся по формулам ты+1= охах+1 )' и ыь~1+'эх+1 т~ь~-2= ~х~>а+1+~ й ыь~1+~>ь+м й=0,1, ...,п — 1. Из (8) получим х,„=П (Š— вуС) х„ ~=1 11~ 11((П(е ~с)~~)),1) (10) Так как оператор С зависит от и, то требование положительной определенности оператора С будет одним из условий, которым подчинен выбор параметра а. Кроме того, из (10) следует, что параметры ву, 1<1(и, и параметр и нужно выбрать из условия и минимума нормы разрешающего оператора П (Š— вгС).
/=1 Эта задача о наилучшем выборе итерационных параметров в и а, а следовательно, и параметров ть для схемы (2) будет решена ниже. Сначала установим связь предлагаемого способа построения итерационного метода со способом, основанным на трансформации Гаусса, для случая самосопряженного оператора С. Заметим, что замена и = Р-*'*х, 7 = ВР-ччр позволяет записать исходное уравнение (1) в следующем виде: Сх=<р, (11) где оператор С определен в (3). Используя (11), получим Сх = С'х — 2аСх = (С вЂ” 2аЕ) <р = ~р. (12) Далее, если обозначить иь=Рчу, где у„— итерационное приближение в схеме (2), то легко найдем хх — — Рпа = РП У вЂ” Рп*и=оь — х. Подставляя хь в (8) и учитывая (12), получим итерационную схему им+а — ~за 1 С, (13) Итак, схема (13) есть явная двухслойная схема для преобразованного уравнения (12).
Пусть С=С'. Напомним, что в этом случае первая трансформация Гаусса состоит в переходе от уравнения (11) к уравнению Сх=С'х=Сф=ф. Так как С вЂ” невырожденный оператор, 461 то оператор С' будет положительно определенным в Н. Поэтому указанное преобразование приводит нас к случаю знакоопределенного оператора. Для решения уравнения с таким оператором можно использовать двухслойную схему вида (13), заменив С на С и гр на ~р. Очевидно, что такой метод есть частный случай (при а =О) рассматриваемого нами метода.
2. Преобразование оператора в самосопряженном случае. Будем предполагать, что оператор С самосопряжен в Н. Тогда оператор С=С' — аС также самосопряжен в Н. Нашей ближайшей целью будет выбрать параметр а так, чтобы оператор С был положительно определен, и найти границы у, = у, (а) и у, = у,(х) этого оператора, т. е. величины из неравенств (14) т,Е<С(уЕ, у,>0. Если указанное значение для а существует, то в силу оценки т л Ц (Š— г» С) ( гпах П (1 — в,й) 1=! т~с~<тв 1=! задача нахождения параметров а, 1= 1, 2, ..., и, сведется к построению полинома Р„(1) степени и, нормированного условием Р„(0) =1 и наименее уклоняющегося от нуля на отрезке ~у„уД положительной полуоси.
Эта задача была изучена нами ранее в главе Ч1 при построении чебышевского метода. Решение имеет вид где й = 1, 2, ..., а, При этом в силу (10) для погрешности х,„будет справедлива оценка 11х,„~< д„) х,1, д„= 2р",Г(1+р,'"). Отсюда следует, что выбор параметра а должен быть подчинен условию максимума отношения у,/у,. Найдем оптимальное значение для параметра а. Пусть собственные значения р оператора С заключены на отрезках ~у„у,] и (у„у,). Так как оператор С незнакоопределен и невырожден, то (15) уг < уа < 0 < ув < Уа. 4В2 Найдем собственные значения Л оператора С=С' — 2«С. Легко видеть, что собственные значения операторов С и С связаны соотношением Л=р' — 2ар, рЕа1, (16) где зз состоит из двУх отРезков [7„ 7»1 и [7„ 7,).
Найдем сначала ограничения на й, которые обеспечивают положительность собственных значений Л, т. е. положительную определенность оператора С. Анализируя неравенство р' — 2«)з>О, находим, что оно имеет место для р, меняющегося вне интервала [О, 2«). Поэтому это неравенство будет выполнено для р~й, если и удовлетворяет условию 7, < 2« < 7,.
(17) Будем считать, что (17) выполнено. Из (16) получим, что преобразование Л = Л ()з) =)за — 2«р отображает отрезок [7„7Д на отРезок [Л„ Л,], а отРезок [7„ 7з) на отРезок [Л„ Лз), где Лз — Л(7,), 1(з <4. Таким образом, все собственные значения оператора С положительны и расположены на отрезках [Л„Л,) () 0[Л„Л41. Поэтому в неравенствах (14) следует положить 7, = ш!п(Л„Л,), 7, = шах (Л„Л,), (18) В ыберем теперь 2«Е (7„7,) из ния 7з»'7з. Из (18) получим Л, = 7, (7, — 2«), Л,=7,(7,— 2 ), Л, = 7, (7, — 2«), Л, = 7, (7, — 2а), условия максимума отноше- 7а < 2« < 7з + 7а» 7з+ 7з < 2«< 7а» 2а (7з+ 7„ 7,+7, (2«.
Введем следУющие обозначениЯ: Аз =7а — 7„А»=7з — 7„и Рассмотрим два случая. 1) Пусть сначала Аз<А„т. е. 7,+7, ~(7;+7з. В этом случае длЯ 5=7»/7, полУчим следУющее выРажение: тз(т — 2«) 7» (тз — 2«) 7 (т — 2«) 7. (74-2«) ' 7 в та 2«) т (т — 2«)' 7, < 2« ( 7, + 7„возрастает по сз, 7а+7а(2«(7в+74, Убывает по а, 7»+7»(2«, Убывает по зх. $ = $ (а) = Следовательно, в этом случае оптимальное значение сз есть «а (7а+ 7а)»'2» (191 463 причем условие (17) выполнено. При а=444 имеем 7,=Л,=Л, = — 7,7„ (20) 74=) =74(41 А ) 7174) 3 ° (21) 2) Пусть теперь 411) 41„т.
е. 7,+7,) 7,+74. В этом случае будем иметь 7(7 — 2) 74 (74 — 2и) 71 (74 — 2и) — 2 7, (7,— 11) 71 (74 — 2и) 71 (71 — 2и) 2а< 7,+7„, возрастает по и, 71+ 74 < 2а < 74+ у„возрастает по с4, 74+74 <244< 7„убывает по а й = $ (а) Итак, доказана Лемма 1. Пусть собственные значения оператора С заклюиены на отргзках [7„7,1 и [74, 741, 7, < 0 < 7,. Тогда для оператора С=С' — аС при и=а,=(7,+ 71))2 справедливы неравен- ства 7Е<С<7 Е, 71) О, 7,= 7,7„7,=шах[7,(Л,— й,), 7,(3,— й,)1 — 7,7,.
Для указанного значения а отношение 71)71 максимально. Утверждения леммы следуют из (19) — (22). Отметим, что а4=0 лишь в случае, когда 7,= — 7,. 3. Итерационный метод с чебышевскими параметрами. Выше мы рассмотрели двухслойную итерационную схему (2), параметРы т„, й = 1, 2, ..., 2п, котоРой выРажаютсЯ чеРез 4ом 1<й<й и а по формулам (9). При этом параметры 4оь являются итерационными параметрами чебышевского метода и определяются соответствующими формулами, а необходимая для этого априорная информация и оптимальное значение параметра с4 даны в лемме 1. Заметим, что мы предполагали принадлежность собственных значений р самосопряжениого оператора С отрезкам [7„ 711 и [7„741. Из определения (3) оператора С следует, что собственные значейия оператора С одновременно являются и собственными значениями следующей задачи: Аи — рЕи = О.
(23) Следовательно, и в этом случае оптимальное значение параметра а определяется формулой (19), значение 7, дано в (20), а 1'4 1 71( 1 1) 7174 4. (22) Чтобы убедиться в этом, достаточно умножить это уравнение слева на оператор Оп*В ' и сделать замену, полагая и=В-ч>о. Заметим, что оператор С будет самосопряжен в Н, если самосоп яжен оператор 0В 'А. формулируем полученные результаты в виде теоремы. Теорема 1, Пусть оператор 0В 'А самосопряжен в Н и собственные значения задачи (23) принадлежат отрезкам [7„7>1 и [7„74), 7, - 7, < О < 7, (7,.
Для итерационного процесса (2) с параметрами т,„, = — >х,>о* — ~',я~+ о!м т,„= — а,гьь+ у >х»ь!~ + ~ы >l 2 ! й=-1,2, ...,и, справедлива оценка 2 ! — $ ! — У $2Р! >' 7! !ьь= —,> ро= р>= 7+7>' ' !+$' " !+1~ 5 !+Ь 7' а, =0,5(7,+7,), 7,=- — 7,7„ 7,=шах[7, (Л,— Л,), 7,(7э> — 7э!)1 — 7>7„ а>=7! 7о с>ь= 7> 7> Итерационный метод (2) с указанными параметрами те будем называть чебышевским методом. Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть Л! =Л„ т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
