А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Х„и Х близки к б, то у,=О(1), а у,=(б — т')'=О ( —,) . В этом случае наилучшее — — ~~~и ) = О(Цй ~4). Если Х~ и Л„близки к б, то снова получим 3 =О (Ц й ~'). Лишь для случая, когда Х, и Х„близки к 0,5(1+6), получим 7,=0 ( —,1 и р,=О ( —— ,„,4), $ = О (Ц й Ц'). так что $ 2. Уравнения с комплексным оператором 1. Метод простой итерации. Пусть в комплексном гильбертовом пространстве Н дано уравнение Аи+ ди =1, (1) где А — эрмитов оператор, а д=д,+~д,— комплексное число. Для приближенного решения уравйення (1) рассмотрим явную двухслойную схему ~~+(А+ рЕ) уь =1 .1=0 1 ° ° ' до Е Н. (2) где т=т,+(т,— комплексный итерационный параметр.
Будем предполагать, что д, Ф О, а у, и у,— постоянные в неравенствах т,Е(А(у,Е. (3) Исследуем сходимость итерационной схемы (2) в энергетическом пространстве Н(Р=Е) и найдем оптимальное значение для итерационного параметра т. Используя (1) и (2), запишем уравнение для погрешности хь —— у„— и в виде: ха+,— — Яхы Й=О, 1, ..., Я=Š— тС, (4) где С=А+дЕ. Из (4) найдем х„=Я"х„Цх„Ц(~ЦЯ" ЦЦх, Ц. (5) ап Заметим, что разностная задача (31) может быть решена одним из прямых методов, рассмотренных нами в главах П1, 1Ч: либо методом полной редукции, либо методом разделения переменных. Возникающие при этом трехточечные краевые задачи следует решать, в отличие от случая т=0, методом немонотонной прогонки.
Изучим оператор перехода от итерации к итерации. Так как оператор А эрмитов, то С* = А + аЕ, С*С = СС*, т. е. оператор С является нормальным оператором. Поэтому нормальным является и оператор 3. Известно (см. гл. Ч, й 1, п. 2), что для нормального оператора Я справедливы следующие соотношения: «Е«у «З«л «З«1(зх, х)1 «~*0 (» «) Поэтому из (5) следует, что задача выбора итерационного параметра т сводится к нахождению его иэ условия минимума нормы оператора 3. Решим эту задачу. Из (3) будет следовать, что г= — '~И, (Сх, х) (х, х) й=(г=г,+а(г,— г,), 0(а<1, г,=у,+д, г,=у,-(-д), где Й вЂ” отрезок в комплексной плоскости, соединяющий точки г, и г,. Поэтому ~ Я)) = зцр "' = вар)1 — тг ~ «~0 (™) «го и параметр т ищется, исходя из условия ш(п шах)1 — тг~.
«:- о Исследуем функцию щ(г)=)1 — тг(. Так как линии уровня ~1 — тг) =р, есть концентрические окружности с центром в точке 1/т и радиуса )с=р,()т), то для оптимального значения параметра т = т, точки г, и г, должны лежать на одной линии уровня. Следовательно, должны выполняться равенства 11 т«г«!=р«! 1 т«г«!=рв ° причем ~1 — т,г~(~р, для гЕЙ. Запишем эти равенства в эквивалентном виде — р= 1 — т,х«) ) х,— хд) ) т«»« 1 ' ) х« ( то»« ) 1»«) ~ — —— (г«! — т,х, ~ Так как в силу первого равенства при изменении т, комплекс- ное число ) — т«х« г т«хг пробегает единичную окружность в комплексной плоскости с центром в начале координат, то р, будет минимально, если выполняется равенство 1 1-тггг г, ! г, 1 ! 1 — тггг гг ! !гг ! ' Это условие дает следующее значение т,: ! гг !/гг+ ! гг !/гг о = ! г, 1-1-! гг ! (6) При этом значении т=т, для нормы оператора Я верна оценка (7) используя которую, получим для погрешности к„итерационной схемы (2) оценку !х.!!з< рв!!хо!!а (8) Найдем теперь условия, прн выполнении которых р, < 1, Так как справедливо неравенство ! гг —, ! = ! г, ! ! !," ! — 1," ! ~ ~ ! г, ! (1+ !!," ! ) = ! г, !+ ! г, (, сходится в Н, и для погрешности имеет место оценка (8), еде !тг — тг! Рг= !т,ц 1+!т,ц ч! ° Замечание.
Выше была решена задача о нахождении оптимального параметра т из условия ш(яшах(1 — тг!, где ьг— гео отрезок комплексной плоскости, соединяющий две точки г, и г,. Легко найти решение этой задачи и в случае, когда Я есть 473 причем здесь достигается равенство лишь при выполнении условия гг гг ! г ! гг (9) !г,! !гг! !гг! !гг! ' то р, < 1, если (9) не имеет места. В рассматриваемом нами случае г =у,+д и г,=у, ! д. Из (9) легко находим, что в двух случаях р, < 1: либо д . ьО и у, и у, любые, либо д,=О, но у, и у, подчинены условию (у,+д,)(у,+д,) ) О. Будем считать далее эти условия выпал. пенными. Тогда итерационный процесс (2) будет сходящимся.
Те о рема 3. Пусть А — ермитов оператор и выполнены нера. венства (3). Итерационный процесс (2) с параметром (!тг+в! ! !та+в!~ !1ч+г! 1~~+ ! ~ 1ч+ 1ч+ ! круг с центром в точке г, радиуса г, < ~ г,~, т. е. не включающий в себя начало координат. Решение поставленной задачи имеет вид ! го т, = —, р! ! — тег 1 = ре = — < 1. ге' „о ' ' !го! Рассмотрим теперь использование построенного метода для нахождения решения следующей разностной задачи: Ли — !)и = — <р (х), х Е «1, и (х) = д (х), х Е у, д = !7! + ! д„ (10) Л= Л, + Л„Л„и = (ааи-„)„, а = 1„2, где а! = (х17 — — (1Ь„1Ь,) б 6, О < 1 < 81„0 < 1 < У„Ь„1т'„= 1„, а=1, 2) — сетка в прямоугольнике О =(0<х„<1а, а=1, 2), а коэффициенты аа(х) вещественны и удовлетворяют условиям 0 < с, < аа (х) < с„х Е е!.
(11) В рассматриваемом случае Н вЂ” пространство комплекснознач- ных сеточных функций, заданных на е!, со скалярным произве- дением (и, о)= ~ и(х) о(х) Ь,Ь,. Задача (!0) записывается в виде уравнения (1), где оператор А определяется обычным образом: Ау= — Лу, где уЕН, у(х) =у(х) для хна, у(х) =О, хну. Для решения построенного уравнения (1) рассмотрим явную итерационную схему (2). Используя разностные формулы Грина для комплекснозначных функций, а также неравенства (11), убедимся в том, что оператор А является эрмитовым в Н, а в неравенствах (3) 2 а=! а 2!а 2 а=! Если выбрать итерационный параметр т согласно теореме 3, то для погрешности х„ = у„ — и будет иметь место оценка (8), где р, определено в теореме 3. В частном случае, когда 1,=1,=1, У! = Л', = Ь7 и !7!=О(!), !7, = 0(1), получим р, = 1 — 0(Ь7 ').
Следовательно, для достижения заданной точности е потребуется выполнить а,(е)= ! т =0 (№ 1п — / итераций. е/ 474 2. Метод переменных направлений. Рассмотрим снова уравнение (1) н предположим, что оператор А можно представить в виде суммы двух эрмитовых перестановочных операторов А, и А,: А=А,+А„А,А,=А,А,, А„=А"„, и=1, 2. (12) Пусть б и Л вЂ” границы операторов А, и А„т. е. бЕ(А„(ЬЕ, сс=1, 2. (13) Для решения уравнения (1) рассмотрим неявную двухслойную итерационную схему (2), в которой оператор В задан следующим образом: В = (мЕ+ А, + г(0Е) (ыЕ+ Аа+ г)оЕ) да = 0.5~) (14) а параметры т и а связаны соотношением т = 2в.
Аналогичную итерационную схему мы получили в главе Х1 при построении метода переменных направлений. Заметим, что для нахождения уз+, в схеме (2), (14) можно воспользоваться следующим алгорйтмом: (вЕ + С,) уь~ б = (вŠ— С,) у„+ ~, (вЕ+С,)уз+,— — (в — С,)уь,п,+~, й=О, 1, ..., гь+; — — Яф,г„, А=О, 1, ..., 5„=(аЕ+С„) '(аŠ— С„), сс=1, 2, (15) (16) причем операторы Я, и Я, перестановочны. Из (15) найдем .=Е"Е~ ~~ «И ПЕ~ИЕ1~ПМ (17) Оценим норму оператора Я"„, а=1, 2. Поскольку ф— нормальный оператор (С„'С„=фф', м=1, 2), то нормальным будет и оператор 5„.
Поэтому !ЯЦ=(5„(~* н достаточно оценить норму самого оператора Е„. Так как норма нормального оператора равна его спектральному радиусу (см. гл. Ч, з 1, п. 2), то из (16) получим ха ()Я„!)= шах ~ —" (18) где Х„ †собственн значения оператора С„.
В силу сделанных где для сокращения обозначений С„=А„+у,Е, а=1, 2. Переходим к исследованию сходнмости схемы (2), (14) в норме Н. Воспользовавшись перестановочностью операторов А, н А„ получим уравнение для погрешности г„ предположений (12) и (13) относительно операторов А„получим, что Х„Е11=(г=г,+а(г,— г,), 0(а(1, г,=8+гав г, = Л+д,) для а=1, 2. Следовательно, из (18) получим, что !)8„!)(п1ах! — 1, в=1, 2. гав 1 + 1 Поставим теперь задачу выбрать параметр в из условия минимума правой части неравенства (19). Рассмотрим дробно-линейное отображение в = (в — г)1'(в + г), в ~ О, (20) и, используя это соотношение, вычислим Так как ! +!ю!'1=! + 1=! )! — 1+1Р1= !в!!1+в!, то окончательно получим 1-' 1+!вй ! 2!и!!в! Т вЂ” ! !з ! !1 — !вр! Отсюда следует, что окружностям !в!=Р,(1 соответствуют окружности в г-плоскости с центром в точке г, радиуса Я, где го я вю )~ в 1+ро 2Р0!в! (21) 1 — Ра 1 — Ро Заметим, кроме того, что в силу взаимной однозначности отображения (20)„равенства — ~=р,(1, !г,— а!=Я (22) эквивалентны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
