А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 90
Текст из файла (страница 90)
2. Прямой метод для задачи Неймана. Рассмотрим теперь прямой метод — комбинацию метода разделения переменных н метода редукции — для решения разностной задачи (3). Напомним, что такой метод был построен в и. 2 Э 3 гл. И для следующей краевой задачи: в области 6 задано уравнение (1), на сторонах х,=О и х,=1, заданы краевые условия (2), а на сторонах х,=О и х,=1, вместо условий второго рода (2) были заданы краевые условия третьего рода ди к —. = х,и — у, (г,), х, = О, 1 ди — — „=х„и — у„(х,), х, =1,, причем и ; н х„, неотрицательные константы, одновременно не равные нулю. Соответствующая разностная задача отличается от задачи (3) лишь определением оператора Л,.
Там мы имели дело с оператором Л,: 2 (у», — х,у), х, = О, 1 Л,у= ух,х,~ й,<хг<1,— й„, 2 а ( ух х+1у) "1 Требование иеобращения одновременно в нуль х , и х„ гарантировало разрешимость разностной задачи и единственность решения. В алгоритме же метода это требование использовалось лишь при решении трехточечных краевых задач для коэффициентов Фурье искомого решения.
Поэтому для решения задачи (3) формально можно воспользоваться алгоритмом, приведенным в п. 2 й 3 гл. 1Ъ', полагая в нем х г — -х+,— — О, и 493 и = у (у рао) Иоа роо (1> !) = 1/У1>1м (7) Приведем теперь алгоритм прямого метода решения задачи Неймана (3) для уравнения Пуассона в прямоугольнике. 1) Для 0<1<У; вычисляются значения функции <Р(1, 1) = 211(1, 0)+1(1, 1)) — ЩЛ,~(1, 0), 1=0, 1(Е, 21 — 1)+Я, 21+1)+2) (ю', 2() — Р4ЛД(1, 21), 1<1< М,— 1, 2~Я», М,)+1(1> М,— 1)1 — й>>Л>)(1> М,)> )=М„ и,=и~э=О. 2) По алгоритму быстрого преобразования Фурье вычисляются коэффициенты Фурье функции ~р(1, /): и> гм(1) =~~» Р >Р((> 1)сов+ > 0(й,(М» 0(1(Уг. »=о 3) Решаются трехточечные краевые задачи 4 з1п'+в„(1) — й,'Л,и>,(1) = й',г„(1)> 0< ( < Мг> 4 соз'+ у„, (1) — Ь4Л,у, (() = и>„, (») > (8) 0<Е<Л», для 0<й,<М„в результате находятся коэффициенты Фурье ум(1) функции у(1, 1).
4) По алгоритму быстрого преобразования Фурье находится решение задачи на четных строках сетки в у(1, 21) = ~, р„у„(() соз — ""~, 0<1<М„0<1<Ум 494 отдельно обсудить вопрос о решении возникающих трехточечных краевых задач.
Вернемся к задаче (3). Будем считать, что Г ( )гегА, т. е. есть (~, 1)=О. Тогда задача разрешима, нормальное решение й ортогонально (гегА, а одно из возможных решений можно выделить, фиксируя его значение в одном узле сетки в. В рассматриваемом алгоритме выделение одного из возможных решений удобно осуществить, фиксируя не само решение в узле, а один из коэффициентов Фурье. Пусть у (1, 1) — решение задачи (3).
Тогда нормальное решение и можно найти по формуле и решаются трехточечные краевые задачи 2У(Е, 21 — 1) — 6,'Л,У(Е, 21 — 1) = = Ь~ (Е, 2 Š— 1) + и (Е, 21 — 2) + и (Е, 21), О<Е<М„1<у<М, для нахождения решения на нечетных строках. Здесь использованы обозначения 1, 1<Е<М,— 1, 05, Е=О М„ оператор Л, определен в (4), и предполагается, что М, есть степень 2. Число действий описанного метода будет равно О (№ 1ой, М) для М, = М, = М. Выделение одного решения из совокупности решений задачи (3) в приведенном алгоритме, осуществляется следующим образом. Из всех трехточечных краевых задач, которые требуется решить, лишь одна задача (8) при А,=О имеет неединственное решение. Выделение здесь одного йз решений обеспечит решение поставленной задачи. Разностная задача (8) при А,=О имеет вид Л,ш, (Е) = — г, (Е), 0 < Е < М„ или 1<Е<М,— 1, Е=О, (9) 1 =М,.
Несложно показать, используя ортогональность Е(Е, Е) к р„(Е, Е), что сеточная функция г, (Е) ортогональна функции р,(Е)=1/)'Е, в смысле скалярного произведения с, (и, о),= ~ и(х,) о(х,)«л,(х,). «,=0 А так как р,(Е) является базисом в подпространстве кегЛ,, то задача (9) имеет решения. Выделим одно из решений, фиксируя значение ш,(Е) при каком-либо Е, 0<1< М,. Положим, например, ш,(М,) =0 и исключим нз (9) краевое условие при 1 =М,.
Полученная в результате такой замены разностная задача легко решается методом прогонки. После того как одно из решений у(Е, Е) задачи (3) будет найдено по описанному выше алгоритму, нормальное решешенне и, если в нем есть необходимость, определяется по формуле (7). В заключение отметим, что аналогичная процедура выделения одного из возможных решений может быть использована и в методе полной редукции, когда он используется для решения разностной задачи Неймана. 3. Итерационные схемы с вырожденным оператором В. Наличие прямых методов обращения оператора Лапласа в прямоугольнике в случае краевых условий Неймаиа позволяет использовать такие операторы в качестве оператора В в неявных итерационных схемах решения вырожденных уравнений. Так как в этом случае оператор В вырожден, то необходимо заново изучить проблему выбора итерационных параметров.
Рассмотрим итерационные методы решения уравнения (5) Ори следующих предположениях: 1) оператор А самосопряжен и вырожден; 2) известно ядро оператора А, т е. задан базис в нег А; 3) правая часть Г уравнения (5) принадлежит ппА, т. е. 1=Я(шА. Этому условию легко удовлетворить, так как известен базис в кегА. При этом нормальное ренские й уравнения (5) является классическим, оно удовлетворяет соотношению (10) Отметим, что в силу самосацряженности оператора А имеет место следующее ортогональное разложение пространства Н: И=нег А Я пяА. (1 1) Для решения уравнения (5) рассмотрим неявную двухслойную схему В~~" »~+Ау»=~ й=О 1 уобН, (12) с вырожденным оператором В.
Ставится задача найти при помощи (12) приближение к одному из решений уравнения (5). Сформулируем теперь дополнительные предположения относительно операторов А и В. Пусть  — самосопряженный в Н оператор и йег В = кег А. Кроме того, пусть для любого х9: пи А выполняются неравенства у,(Вх, х)((Ах, х)~у»(Вх, х), у,)0, Ах4*0, (13) (Вх, х) ) О. Заметим, что из условий В=В, кегВ='кегА и (11) следует совпадение пп А и пп В. Изучим схему (12), В соответствии с (11) представим у„ в виде суммы У»=у»+уы у»Е пи А, у»Е'нег А.
496 (15) используя у, и у, нз неравенств (13). Тогда для погрешности г„после и итераций будет верна оценка (~„)~~ 1э Ь. Смысл рассмотрения итерьцнонных методов с вырожденным опе- ратором В заключается в следующем. Если оператор В таков, 497 Из (12) получим следующее уравнение для у»+,. Ву»„= р„ (14) где ~р» = Ву» — т»+, (Ау„— р). Так как ~Е!шА и ппВ=)шА, то ~р»ЕппА при лю- бам у . Следавательна, <р» 1 нег В, и уравнение (14) имеет со- вокупность решений в обычном смысле, а нормальное его ре- шение у +, удовлетворяет уравнению Ву»+» = <р». Заметим, что в силу равенств ВУ„=АУ» 0 имеем ц» = Ву,— т,,г «Ау» — Д. (16) Поэтому компонента у» итерационного приближения у», у» б 'кег А, не оказывает никакого влияния на у»+,. Отсюда следует вы- вод — при решении уравнения (14) достаточно найти какое-либо его решение и лишь после окончания процесса итераций вычис- лить проекцию у„на ппА, т.
е. найти у„. Рассмотрим теперь вопрос о выборе итерационного парамет- ра т». В силу сказанного выше его следует выбрать так, чтобы последовательность у» стремилась к нормальному решению и уравнения (5). Из (10~, (15) и (1б) получим следующую задачу для погрешности г»=у» — ы: В»„=( — т„,А)з», й О, 1, ...Ф (17) где г» Е пп А для любого й) О.
Так как в подпространстве пп А операторы А и В в силу (13) положительно определены, то схему (17) можно обычным обра- зом исследовать на сходимость по норме энергетического про- странства Нр, где О=А, В или АВ 'А. Так как в этом случае оператор 0В»А самасопряжен, та параметры т» можно выбрать по формулам чебышевского итерационного метода (см. 4 2 гл. М) т = —, )» ~5)1„'= соз —, 1<1ч-.и~,1<й<и, 1 (з) — 1) и 1+э»в» ' » " ( Ра г 1 — 5 1 — Л т» т,= —, р,= —,, р,= —, $= —, (18) т+т2' ' '+$' ' »+р'Г ' тз' и.-э и, (е) =-1п (О,бз)~1пр, что нахождение решения уравнения (14) осуществляется значи- тельно проще, чем исходного уравнения (5), а отношение $ не слишком мало, то такой способ приближенного решения уравнения (5) может оказаться целесообразным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
