А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Так как Б'(оо)= = Š— тВ 'А'(оь), то задача сводится к оценке в Но нормы ли- 503 нейного оиератора Š— тВ"*А'(оь). Из гяаределеиия нррз(ы оператора имеем ))о ( )~ (8'(ьг у з'(вь)у)о в,*а ' у)п вг зир гФ.а (ЕЮ'(а К, $' (ьг) в (Š— тС (вь)) г, (Š— тб(вь)) г) ~. зпр я, к гсов (г, г) = "1 Е' — тС (ог) "1г, где С(ог)=Р-'l (РВ-'А'(ог))Р-'г ° и была сделана замена у= = Р-ч1г. Подставляя найденное соотногпение в (15), получим $~ у„,, — и(о<' знр )( Š— тС (оь) (( у„— и(о. окг<1 Из (12) найдем, что оператор С(оь) при любом олей(г(г) удовлетворяет неравенствам (С(ог)у, С( г)у)<7,(С(иь)у.
у), (С(о„)у, у) Ъ7,(у, у). Напомним, что требуемая оценки для нормы линейного оператора Š— тС(о,) при указанных яредцоложеших была получена в п. 2 з 4 гл. 'т1. Именно„при т= 1!Тг имеем ~~Š— тС(вг) ~( р, где р = р"Т вЂ” $„~ = — 7„!7,. Первое утверждение теоремы доказано. Аналогично доказьгвается и второе.
В этом случае оператор С(гг) самоеонряжеи в й, и оценка для нормы оператора Š— тС(о,) была ранее получена в и. 2 $ 3 гл. ч"1, Теорема 2 доказана. В главе т'1, помимо использованной здесь оценки для нормы оператора Š— тС(ог) в несамосопряжевном случае, была получена другая оценка в предположении, что заданы три числа 7„ 7 и 7, в неравенствах 7,Е<С(оь)<7,Е, ~!С,м<7„71>О, где С,=0,5(С вЂ” С*) — кососимметрическая часть оператора С.
В этом случае прн т=т,(1 — нр) верна оценка'1Š— тС(ок)'1 =р, где 717г+7з тг+тг +5 Теорема 3. Пусть операаюр А имеет в игарв И(г) нроизавднунг Гата А'(а), которая нри любом пЕЙ(г) удовлетворяет неравенствам уг(РУ, У) <(РВ 'А' (о) У, У) < 7 (РУ, У), 7 > О, ~0,5(РВ 'Я'(в) — А'*(е)(В')-' Р)уфг-~ <7'"(Ру, у). Тогда нрп 'т'=ъ '(1 —.хр) и у,1Т)(г) гатзтайивнвивй аввгвд (2) тмодится в Нр, и для аварвшносгли верна вцвнна (13), где р=р определено в '(16). .Покажем теперь, что если оператор А' (и) при ш ~ й(г) удовлетворяет условиям (17), то для любых 'и, о'~Й'(г) выполнены неравенства (»), (5) с постоянными у„= у, у, = (у, +у, )»12». Тогда из леммы 1 будет следовать однозначная .рззрепжыость уравнения (1).
В силу (11) имеем для и, о Е Я (г) и 1Е~О, 1) (0В-»Аи=-0В-'Ас, иг и) =()су, у~), Я . 0В-'А'(в), где у=и — о, со=и+1(о — и) Е»Й(г). Из '(17) получим ()су,у)~~. ~71(0у, у), т. е. выполнено неравенство (5) с у,=у . Далее имеем (0В 'Ая=ЮВ ьАо, г) (Ву, в), »1редставим оператор Я в виде суммы Я=В,+Я„где Ь',=0,5(Я+х*) симметрическая, а Я, = — 0„5 (я — яч) = О,бфВ" .А' (вв) — А"'(гв)'(й") "О) — кососймметрическаи чисти оператора,В„ В:силу неравенства Коп»и=Буняковского и уотипигя (17) 'получим (К,у, г) =(О н»й,у, 0"нг)((0 'Я,у, Р,,у)'~ '(0г, г)"I = = РА»о(0г, г)*н < ув(0у, у)'*(0г, г)н .
Из обобщенного неравенства Коши †Буняковско найдем (В»у г)~~(В»у у)"Фог г)"= =(Му, у)ч (Вг, г)н ~('у,(0у, у)'! (0г, г)'н Итак, мы получим неравенство (Ю в) ('(у,+Ъ)(0у; у)'*(0г, г)'н. Полагая г= В '(Аи — Ао) и используя (5), будем иметь (ЬВ-'(Аи — Аз), В '(Аи=Ао)) ( ~~<-~~'+т'1-(0В-'(Аи — А~ф, и о), те Утверждение доказано. 3.
-Метод Ньютона —. Канторовича. В теоремах 2 и 3 мы,предполагали, что производная Гата А'(о) существует и удовлетво(жетсоответстнующим неравенствам для о ц Й (г) = (о:1 и — о ~~~( г), где и-'решение уравнения (1). Из доказательства теорем следует, что достаточно потребовать на каждом итерации Й=О, 1, ... выполнения этих неравенств лишь длй оЕ Й(гл), гдв гл='1и — УЯ.
В этом слуяае у» и .у, (а так»не 'и у„у, и р,) могут зависеть от номера итераций й. Если выбирать итерационный пара'метр 'т 'по формулаи теорем 2 и 3, то получим иестациоиарньтй итерационный процесс (2) с т=тл+,. Более того, можно рассмотреть итерационный процесс В~+1 "+ +Ауь=~, й=О 1 ''' уоЕН (18) те+ г оператор В=Вь+„в котором также зависит от номера итераций. Как выбрать операторы Вау Если оператор А линеен, то А' (о) = А для любого о ЕН. Тогда из теорем 2 и 3 следует, что при В = А' (о) =- А скорость сходимости итерационного метода (2) максимальна.
Именно, при любом начальном приближении у, получим, что у, = и. Выберем теперь оператор Вь„, в случае нелинейного оператора А следующим образом: В„,=А'(у„). Получим итерационную схему А'(уь)""+' ~~+Ау„=~, й=О, 1, ..., у,~Н. (19) те+1 В соответствии с принятой терминологией итерационный процесс (19) является нелинейным. При т„= — 1 он называется методом Ньютона — Канторовича. Для оценки скорости сходимости итерационного процесса (19) можно воспользоваться теоремами 2 и 3, в которых В следует заменить на А'(уь). В частности, для случая 0=В при те~,=!(у, имеет место оценка )(Уь,.г — и))( Р '1Уь — и~, Р='гг1 — У,!У, ( 1, (20) где у, и у, взяты из неравенств (12) теоремы 2 ~ (А' (у,))-' А' (о) у //' ( у, ((А' (уь)) ' А' (о) у, у), ((А' (у )) ' А' (о) у, у) > у, (у, у), у, > 0 при уЕН, або(гь) и ге=/~!и — уД Из (20) следует, что г +1 —— = ~~~уа„.,— и!~ рг, ( гь и, следовательно, г„- 0 при й — со.
Поэтому, если производная А'(о) как функция от а со значениями в пространстве линейных операторов непрерывна в окрестности решения, то при й — со имеем, что у,— 1 и у,— 1. Это приведет к ускорению сходимости итерационйого метода (19) при увеличении номера итерации а. Приведенные рассуждения показывают, что методы вида (19) имеют при некоторых дополнительных предположениях о гладкости оператора А'(а) более высокую скорость сходимости, чем скорость сходимости геометрической прогрессии. Рассмотрим метод Ньютона — Канторовича (19) с тд — = 1. Исследуем сходимость этого метода при следующих предйоложениях: 1) выполнены неравенства ~А'(а) — А'(ш)//- а!/о — ш/!, а' О, (21) ! А ' (~) у! > р !! у !1, у Е Н, ~ > О (22) для а, шЯЙ(г); 2) начальное приближение у, принадлежит шару Й(г), где г=ппп (г, 1/(ар)).
566 Теорем а 4. Если выполнены предположения 1) и 2), то для погрешности итерационного метода (19) с т»= ! верна оценка Цу.— Ц( — „Р ( РЦу.— иЦ)'" (23) Действительно, из (!9) получим следующее соотношение: А' (у») (у»»,— и) = А' (у») (у,— и) — (Ау» — Аи) = Ту — Ти, Ти = А' (у») и — Аи, где и — решение уравнения (1).
Отсюда в силу неравенства Лаг- ранжа для нелинейного оператора Т получим ЦА'(у )(у»,— и)Ц=ЦТу — ТиЦ( знр ЦТ'(о»)(!Цу» — иЦ, акга» где о» вЂ” — у»+ с(и — у»). Из определения оператора Т будем иметь Т' (о») = А' (у») — А' (о»). Предположим, что у»Ей(г). Так как г (г, то у»Ей(с), и, еле довательно, о„Ей(г). Из неравенства (21) будем иметь Ц Т' (о») Ц =- Ц А' (у») — А' (о„) Ц ( и !! у» — о, Ц = а! ! у» — и Ц, зцр ЦТ' (о») Ц(а)у» — и Ц. окск» Таким образом, найдена оценка ЦА'(у»)(у,,— и)Ц =иЦу — иЦ'.
Используя неравенство (22), отсюда получим Ц у»+, — и Ц ( ир Ц у» — и Ц». (24) Заметим, что так как Цу» — иЦ< г н а(!г ( 1, то Цу»,,— иЦ(сфь 'Цу,— и Ц<Цу» — иЦ(г. Следовательно, из условия у»Ей(с) вытекает, что у»,ай(г). Так как у, Ей(г), то по индукции находим, что у»~ й(г) для любого й) О.
Поэтому оценка (24) верна для любого й)0. Решим неравенство (24). Умножим его на а(! и обозначим ໠— арЦу» — ий Для а» получимнеравенствод»»,<ц», й=0,1,... По индукции легко доказать, что его решение имеет вид а„(оЦ, п)0. Следовательно, имеем оценку, РЦу.— и Ц<( Му.— Ц)'" Отсюда и следует утверждение теоремы. 3 а м е ч а н и е !. Если начальное приближение у, выбрано так, чпю г (р)(сф), р < 1, то из (23) следует оценка Цу„— и ()(р'" 'Цу — иЦ 607 и оценка и ~ ~по (3) = 1оя» (1ц з/1п Р+1) для числа итераций. Замечание 2.
Если вместо условия (21) вьтолнено неравенство ~! А' (о) — А' (т) ) ( с» ~~ о — в~Р', р Е (О, 11, то для погрешности верна оценка ~1у„— и(,'~=ф ар(у,— и~,')о+и, с~~ (г =ш(п ~с, — )). Прн доказательстве теоремы 4 мы получили оценку для погрешности (23). Эта оценка бесполезна с тсчки зрения практического ее применения, но она важна для теории метода, поскольку показывает, как осуществляется сходимость вблизи решения и. Теорема 4 позволяет находить области несуществования решения. Действительно, теорема утверждает, что у» сходится к и, если 1у,— и(((7. Поэтому, если итерации не сходятся, то в шаре 1у,— о))~г с центром в точке у, решений уравнении (1) нет.
Отметим, что если оператор А,р4»еет в шаре»»(г) вторую производную Гато, то в неравенстве (21) а= зцр ()А" (о+1(в — о)))(. »<»<» При реализации итерационной схемы (19) для каждого й нужно решать линейное операторное уравнение А ' (у„) о = г" (у»), (25) где Р(у») =А'(у») у» — т»(Ау»-0. (26) Если о — точное решение уравнения (25), то в (19) у»+, и. Оператор А'(у,) необходимо вычислять на каждой итерации, и вто может потребовать больших вычислительных затрат.
Рассмотрим пример. Пусть оператор А соответствует системе нелинейных уравнений <р»(и)=-0, 1=1, 2, ..., т, и=(и„и„..., и„). Производная Гато А'(у) в точке у *(у„.„, ..., у ) есть квадратная матрица с элементами а, (у), где а" (у) = — ~, (, 1=1, 2, ..., т. дчч (и) У диу и=у 508 Следовательно, на каждой итерации нужно вычислять 1п' элементов матрицы А'(у), тогда как число неизвестных в задаче равно 1п. Чтобы избежать вычисления производной А'(д ) на каждой итерации, используют следующую модификацию схемы (19): А'(у„,„) «",1" «"'""1+Ау, „1=~, ~ЙФ ~- в~1 1=0,1, ...,т — 1, Й=О,!, Здесь производная А' вычисляется через каждые и итераций и используется для нахождения промежуточных приближений у,„+„ у„„+„..., у,«ео . При т= 1 получим итерационную схему (19).
4, Двухступенчатые итерационные методы. Итерационную схему (19) целесообразно использовать в случае, когда оператор А' (ул) легко обратим. При этом точное решение о уравнения (25) принимается за новое итерационное приближение уь„„которое удовлетворяет схеме (19). Таким образом, мы получаем итерационную схему, оператор Вл+, в которой задан в явном виде: В,„, = А' (д„). Если уравнение (25) решается приближенно, например при помощи вспомогательного (внутреннего) итерационного метода и в качестве уээ, берется и-е итерационное приближение о, то у~,„, удовлетворяет общей схеме (18) с некоторым В „,~А'(1у„). В этом случае явный вид оператора Вь~, не используется, а знание его структуры необходимо лишь для исследования сходимости итерационной схемы (18).
Построенные таким способом итерационные методы иногда называют двухступенчатыми, подразумевая под этим специальный алгоритм обращения оператора В„„. Опишем более подробно общую схему построения двухступенчатых методов. Пусть для решения линейного уравнения (25) используется какой-либо неявный двухслойный итерационный метод В„,, "+' "+А'(«До„=Р(дД, а=О, 1, ..., т — 1, (27) где Е(у„) определено в (26), (1з„) — набор итерационных параметров, В„„— операторы в Н, которые могут зависеть от ул, а "0 =д«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
