А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 96
Текст из файла (страница 96)
рль1 4 . лад 8 а Ь = —, з!и' ~-'-+-е. а!и' -7'- ~~ —, + —,, !1 а 2р а оператср !с соответствует раэностному оператору Лапласа Яу= — Яу, у(х)=у(х) для хам и у(х)=0 для хну, Ми= =и„-, +и-, Для решения уравнения (26) воспользуемся методом простой итерации (20) с В=Я и т= !/у„. В силу теоремы 1 будем иметь оценку Ь.— и!!з<р"Ь.— иЬ р=Л:6. К=у,(у, Как и раньше, для решения уравнения Яуь„— Яу„— т(Ау — 1) можно использовать прямые методы полной редукции или разделения переменных, предложенные в главах 111 и 1Ч. 4. Итерационные методы для слабонелннейных уравнений. В прямоугольнике 6=(О~х ~1, а=1, 2) рассмотрим слабо- нелинейное эллиптическое уравнение второго порядка дРо д~и l ди ди З Си = —,+ —,— й, ~х, и, —, — ) =О, хай (36) дх, 'дхь ь ~ ' ' дх1' дхр) с краевыми условиями первого рода и(х)=0, хЕГ. (36) Слабонелинейность уравнения (36) означает, что функция й,(х, р„ р„ р,) определена при х Е б и (р,!, !р,!, !р,! ( ао и непрерывна по х при фиксированных р„р„р„а также существуют 18 а.
А. санарскхй, в. с. Нхколаав вхв Если в уравнения схемы (34) подставить у!,=О, то получим разностную схему Лу= — ). Определяя оператор А= — Л, запишем полученную схему в виде операторного уравнения (26) в пространстве Н. Испольауя условия (ЗЗ), получим для всех трех аппроксимаций, что соответствующий оператор А удовлетворяет неравенствам (!6), (!7): (Аи — Ао, и — о)>у,(Д(и — о), и — о), у,=с,>0, производные от функции й,(х, р„р„р,) по р„р, и р„которые удовлетворяют условиям На прямоугольной равномерной сетке оз=оз()у, введенной ранее, разностная схема, соответствующая задаче (35), (36), имеет вид (37) Лу=О, х~оо, у(х)=О, хну, 1 (38) Лу=Яу — — [йо(х, у, уа, у„-)+й,(х, у, у,.„у,,)), где Яу=у-„+у, -„— разностный оператор Лапласа.
Определим теперь разностный оператор Л' (о), зависящий от оч Л'(о) у=Яу — — [а„(х, о, о„-, о„-) у„-+ +а„(Х, О, О,;, О,,)У„+а„(Х, О, О„-Р Оа)Уа+ +а„(х, о, о,„о„)у,,+(а„(х, о, о-,, о„-)+а„(х, о, о,,> о„,))у), где а, (х, ЄЄРо)= ' ', =О, ), 2. дао(Х. Ро РЬ Ро) Ра В пространстве Н сеточных функций, заданных на в, определим операторы: Ау= — Лу, Ру= — Яу, А'(о)у= — Л'(о)у, где у(х)=у(х), о(х) =о(х) для хЕв у (х) = О, о (х) = О для х Е у. й. (х, р., р„ р.) = й.
(х. ро), а„(х, р)=а„(х, р) =О. то В этом случае оператор А'(о) самосопряжен в Н. Используя, оценку снизу для разностного оператора ( — Я) ( — Яу у) = — (у-„„,+у-„,. у))8(у у) Оператор А'(о) — производная Гато оператора А. Используя зти обозначения, разностную схему запишем в виде операторного уравнения (26). Если й,(х, р„ р„ р,) не зависит от р, и р„ т. е. где 4 . »за< 4 . яа» 8 8 б = — 81п' — + — 81п' — ') — + —, а» 21 «| в~» 4 4 ' условия (37) при М=О и равенства — (л'(о)у, у) = — (му, у)+(а»»(х,о)у, у), получим у, фу, у) ((А'(о) у, у) (7, Яу, у), где 71= 1, 7» = 1+с»/б.
Следовательно, если для рассматриваемого <самосопряженного» случая использовать итерационный метод (20) с В=Р =Я и т=т»=21(у,+2»), то в силу теоремы 2 для погрешности будет верна оценка !!у.— Ь(р2Ь.— п)а, р.=(1 — ВИ1+В), 5=2,(т,. Оператор )т в схеме (20) можно обращать одним из прямых методов. Г Л А В А Х1Ч ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В 5 ! рассмотрены некоторые способы построения неявных итерационных схем, в частности, основанных на выделении регуляризатора. Методам решения систем эллиптических уравяений посвящен б 2.
Здесь рассмотрено применение общей теории для решения некоторых задач теории упругости. 5 1. Способы построения неявных итерационных схем 1. Принцип регуляризации методов. В главах Ъ'1 — ЧП1, теория итерационных методов, раторного уравнения в общей теории итерационных ХП, ХП1 была изложена общая используемых для решения опе- удовлетворяют условиям В=В*)0, А=А*)0, ТгВ(А(~Т»В, У, ) О, то набор чебышевских итерационных параметров т„: 1+реп»' " " 1 2п (3) (4) где 1 — $ У1 2 с 71+ тэ является наилучшим. 532 В общей теории итерационных методов мы не используем конкретную структуру операторов итерапионной схемы †теор использует минимум информации общего функционального характера относительно операторов.
Это позволяет указать (при фиксированных операторах схемы) общие принципы конструирования оптимальных итерационных методов. Например, если операторы А и В двухслойной итерационной схемы В ~ +Ау»=~ А=О 1 узЕО (2) 'с»+1 Какими требованиями следует руководствоваться при выборе оператора В? В й 3 главы Ч отмечалось, что выбор В должен быть подчинен двум требованиям: 1) обеспечению наиболее быстрой сходимости метода; 2) экономичности обращения этого оператора. Для приведенного выше примера первое требование выполнено, если энергия оператора В будет близка к энергии оператора А, т. е.
в неравенствах (4) близки у, и у,. Чтобы удовлетворить второму требованию, нужно из класса операторов В, близких по энергии к оператору А, выбрать наиболее легко обратимый. Как конструировать легко обратимые операторы? Очевидно, что если В', В', ..., Вг — легко обратимые операторы, то оператор В В'В'... ВР, являющийся их произведением, также легко обратим.
Отметим, что, в отличие от множителей, сам оператор В может иметь сложную структуру. Например, пусть В"-Е+гэ/?,а 1, 2, где /? — оператор, соответствующий разностному оператору ( — М„): Я„у=у„- „, а=!, 2. Оператору В" соответствует трехточечный разностный оператор, который обращается методом прогонки с затратой числа арифметических действий, пропорционального числу неизвестных в задаче, Оператор В = В'В* имеет девятиточечный шаблон и ему соответствует разностный оператор Я: Усложнение структуры оператора В позволяет увеличить отношение $ у,/у„ что приводит к увеличению скорости сходимости итерационного метода. При построении оператора В можно исходить из некоторого оператора Р Я* > 0 (регуляризатора), энергетически эквива* лентного А и В: с/?е А~с)?, с,>с,>0, у,В~)? «=уВ, у, > у, > О.
(5) (5) Тогда справедливы неравенства (4) с постоянными у, =с,у„ у, = с,у„причем $ = у,/у, = (с,/с,) 3, в = у,/у,. В чем состоит смысл введения регуляризатора /?? Для сеточных эллиптических краевых задач оператор /? обычно выбирается так, чтобы постоянные с; и с, в неравенствах (5) не зависели от параметров сетки (от числа узлов сетки). Например, РЗ если оператор А соответствует разностному оператору с переменными коэффициентами Лу=(а,у„-), +(а,у;)„, 0<с,<а„<с„ заданному на равномерной сетке а=(х;,=(16„11г»), 0<1<У„ 0<1(У„Ь„М„=1„, а=1, 2), введенной в прямоугольнике 6=(0<х„<1„, а=1, 21, так что Ау= — Лу, где у(х)=у(х) для хетаг и у(х)=0 для хну, то в качестве )т можно взять оператор, соответствующий разностному оператору Лапласа Яу=(Я,+Я,)у=у;„+у„-,, )ту= — Яу, гдеоператоры Я„определены выше.
Пользуясь разностными формулами Грина, легко показать (см. п. 8 2 2 гл. 7), что операторы А и В самосопряжены в Н и выполнены неравенства (5). Здесь Н вЂ” пространство сеточных функций, заданных на в, скалярное произведение в котором определяется формулой (и, о) = ~ и (х) с(х) Й»Ь,. Х Е»» Пусть теперь оператор А соответствует разностному эллиптическому оператору, содержащему смешаняые производные г Лу Х 0»5 [()г»»ау,» ) + (йааух ) »» »»1 и выполнены условия сильной эллиптичности: г г г с, ~~~~ $'„< Х й а(х) $„ив<с» ~ $»„, с,) О. Возьмем в качестве регуляризатора определенный выше оператор Н. В п. 8 $ 2 гл. Ч было показано, что для рассматриваемых операторов А и 11» выполнены неравенства (5), Приведем еще один пример. Пусть оператор А соответствует разностному оператору Лапласа повышенного порядка точности а~»+ ь~а Покажем, что если в качестве оператора Р выбрать указанный выше оператор, то верны неравенства (5) с постоянными с»=213, с,=1.
Действительно, используя первую разностную формулу Грина и равенство у;„„-„=у-„„-„„, справедливое для сеточных функций, заданных на прямоугольной сетке в, получим 2. Итерационные схемы с факторизованным оператором. В п. 1 принцип регуляризации был проиллюстрирован на примере само- сопряженного оператора А. В этом случае неравенства (4) являются следствием неравенств (5) и (6).
В главе Ч1 было показано, что если оператор А несамосопряжен в Н, а энергетическое пространство Нр порождается самосопряженным положительно определенным оператором О, где О есть либо В, либо А"В гА, то неравенства (4) следует заменить неравенствами у,(Вх, х)<(Ах, х), (В 'Ах, Ах)<у,(Ах, х), у, >0 (10) или неравенствами Т,В<А<у,В, (В 'А,х, А,х)<у',(Вх, х), у,) О, (11) где А, = 0,5 (А — А*) — несамосоцряженная часть оператора А. Пусть оператор В=В* ) 0 построен, исходя из регуляризатора й, и выполнены неравенства (6). Тогда, если оператор й удовлетворяет условиям с,(йх, х) =(Ах, х), (й 'Ах, Ах)~с,(Ах, х), с,>0, (10') то имеют место неравенства (10) с постоянными у,=с17о у,=с,у,. Действительно, из леммы 9 главы Ч и неравенства (6) следует, что верны неравенства у1й '<В '<у, й '.
Отсюда получим (В 'Ах, Ах) <у,(й ~Ах, Ах) <с,т,(Ах, х). Аналогично доказывается, что если оператор й удовлетворяет условиям с,й<А~с,й, (й 'А,х, А,х)<с,'(йх, х), с,>0, (11') то верны неравенства (11) с постоянными у,=с,у„у,=с,у„ уч сз72' Таким образом, и в случае иесамосопряженного оператора А необходимо уметь получать оценки для у, н у„входящих в неравенства (6). Займемся теперь получением неравенств (6) длн самосопряженных операторов й и В.
Рассмотрим два случая: 1) Оператор й представлен в виде суммы й = й,+й, сопряженных друг другу операторов й, и й,: й, й;, так что (й,х, х)=(й,х, х)=0,5(йх, х), х~Н, а оператор В имеет вид В = (Е+ ый,) (Е+ ый,), (13) где гз > 0 †параме. %36 2) Оператор Я представим в виде суммы Я=Я,+Я,+...+Я, р>2, самосопряженных попарно перестановочйых операторов й„, и 1,2,...,р,так что Р„=Р', Р Ра=йвй„, а,() 1, 2...р, (14) а оператор В факторизован и имеет вид Р В = Д (Е+со)'( ), (15) где со ) Π— параметр. В каждом из случаев оператор В является самосопряженным в Н.
Особо подчеркнем универсальность выбора оператора В в виде (13), где операторы )т, и Я, удовлетворяют условию (12). Наша задача состоит в получении оценок для у, и у„содержащихся в (6), и выборе итерационного параметра сь из условия максимума отношения $ = ууу,. Каждый случай исследуем отдельно. Первый случай был подробно изучен в главе Х, посвященной попеременно-треугольному методу. Поэтому ограничимся здесь лишь формулировкой результатов. Теорема 1. Пусть выполнены условия (12) и в неравенствах Я 6Е, (й,х, Р,х)(-(йх, х), 6 > О (16) заданы постоянные 6 и Ь. Тогда при оптимальном значении параметра а=а,=2ДI 6Л оператор В, определенный равен- ством (13), удовлетворяет неравенствам (6) с постоянными 6 б б 2 (1+ Р' ч)' 4 3/ ч ' Отметим, что можно рассмотреть более общий, нежели (13), вид оператора В, а именно: В=(Я+а)с,)Ю '(Ю+сой,), где Ю=Ю') О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
