А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Отметим, что для аппроксимации дифференциального оператора 1, можно также использовать и другие, отличные от Л- разностные операторы, например Л+у = ~~Л ~О,о(й у-„)„„+(й у„„)„- 1+ . р + Х 0,5[(йиау„а),„+(й„ау-„)-, 1 или лу=б,б(л-+л )у= е 1.а = ~ О,б((й у,- )„„+(й,у,„)„-1+ Х (й.ау, )„.. Введем пространство Н векторных сеточных функций, задан. ных на в, и определим в нем скалярное произведение си (и,о)= ~ (и', о'), (й, о')= ~ и'(х)о'(х) 6,/г,...й, 8=1 хне и (и', и*, ..., и"е), е*=(о', о', ..., о ), и, о~Н.
Определим разностный оператор Лапласа: а У= Х у-,„... (У(у)'= Х а-,' В пространстве Н обычным образом определим операторы А и )с: Ау= — Л у, Ру= — Му, уЕН, где у(х)=у(х) для хна ну(х) =О, если хЕу. Используя введенные обозначения и подправляя очевидным образом правую часть ~р уравнения (4) в приграничных узлах, запишем разностную задачу (4) в виде операторного уравнения Аа=у, (5) заданного в гильбертовом пространстве Н.
Пользуясь разностной формулой Грина для скалярных сеточных функций, условнямн (3) н предполагая, что выполнены условия симметрии йЯ=йф, и,0=1,2, ...,р, з,т 1,2, ...,т„(6) получим, что операторы Я и А самосопряжены в Н н энергетически эквивалентны с постоянными с, и с„т, е. имеют место операторные неравенства с,Я(А~оф, с,) О. (7) где р Е9Р„= ( — саз — „, 1((а.=,л~, (21' — 0 я й=!,2, ...,л, 1 — $1- 1/7 т ~+$' ' 1+)~Т ' т.' л ) и, (е) = !п (О,бе)! 1п р„ 'г» г» э 1+ Рор» 2 т т~+ т2 а у, и у,— постоянные энергетической эквивалентности самосопряженных операторов А и В: у,В~А<уВ, у,>0, А-А*, В=В*. (0) Если в качестве оператора В выбрать определенный выше оператор Я, то из (7) получим, что в неравенствах (9) Т, =с, и у,=с,.
Следовательно, число итераций метода (8) не зависит в рассматриваемом случае от числа узлов сетки: а=О(1п(2/е)). Йз определения операторов А и В следует, что для нахождения у „по известному предыдущему приближению у» необходимо решить следующую разностную задачу: б1у„,= — Г», хны, Р»=т»+,(А-у»+ р) — Яу», у»+г=й; хну. В скалярном виде эта задача записывается в виде системы Р ~ (04+,)„-, = — Г»(х), х~а, а=! а*а у~„,(х)=д'(х), хну, з=1, 2, ..., т,. (10) Так как наждое уравнение системы (10) может быть решено независимо от других уравнений, то нахождение приближения у»ь, сводится к решению т, разностных задач Дирихле в р-мерном параллелепипеде на равномерной прямоугольной сетке о.
Если для решения р-мерной разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона использовать метод разделения переменных с алгоритмом быстрого дискретного преобразования Фурье, то можно показать, что потребуется г(ж4р ИР 1ои, У (У, = У, =... = М„У = 2") арифметических действий. Следовательно, для решения системы (10) потребуется Я,=т,д действий, а всего для нахождения решения разностной задачи (4) с точностью е 54$ Для нахождения приближенного решения уравнения (5» воспользуемся неявным двухслойным итерационным методом с чебышевскими параметрами В" * »+Ау»=У, й=о, 1,, у,ЕН, (й) я б= ~ —,з)п —, ч~ 4 ° ~ ~йа Лм у 4 л= ~ч а=! а Из общей теории попеременно-треугольного метода (см.
2 1 главы Х) следует, что при оптимальном значении параметра в=а, = 2Д/ 8Л имеют место операторные неравенства уВ<г<у,В, 7',>9, где у,= — ~ У~== Ч= 2(!+ $~Ч) 4 Ф~Ч (11) Сравнивая (7)„(9) и (11), находим, что операторы А и В удовлетворяют неравенствам (9) с у,=с 7, и у,=с,у,. Используя для схемы (8) чебышевский набор параметров тм получим, что построенный попеременно-треугольный итерациой- ( 1 /сз 2Х ный метод требует в=О(= у — 1и — у! итераций, где ! у(ь1 У ст е) 1Ь('=Ь',+6,*+...
+Ь'. Так как переход от у„к у +! осуществляется по явным формулам с затратой 0(т,Л',У,...Ур) арифметических действий, то общее число действий, требуемое для нахождения решения задачи (4) с точностью а, оценивается величиной если 1; = 1, =... = 1, Л!, = Л!, = „., = Л! = Л!, В заключение отметим, что рассмотренные выше итерационные методы сходятся в энергетическом пространстве Нр, где в качестве оператора .0 можно взять один из операторов А, В или АВ !А. необходимо затратить 9 = п9,= ят,!7 = 0 (гл,рУ" 1и — 1од, Л!) 2 арифметических операций. Рассмотрим теперь попеременно-треугольный итерационный метод. Итерационная схема имеет вид (8), где В есть факторизованный оператор В = (Е+ мй,) (Е+ аЕ,), Е~ = В~> Р, + Ез = Й.
Операторы Я, и 1с, определяются при помощи разностиых операторов М, и Я, следующим образом: Я у= — Я„у, а=1, 2, у (х) = у (х) для х Е а и у (х) = 0 для х Е у, где Р ! т.ч ! а=! а=1 Так же, как и в скалярном случае„доказывается, что выполнены неравенства Н) 6Е, тс,!с,( 4 !с, где а" 2. Система уравнений теории упругости. Рассмотрим систему уравнений стационарной теории упругости (уравнений Лама) 1. и = !!Ли+ (Х + 1!) ага б б!т и = — ~ (х), (12) где и =(и', и', ..., цг), ~= (1!, )', ..., я, х=(х„х,,, хр), Л ) О н !) ) Π— постоянные Лама. Напишем уравнение (12) в виде системы Р Р (Еи)'=)! 1' —,+(Х+!!) ~ ц = — ~', э=1, 2, ..., р.
(13) а=! а В= дхВ~"' При р=2 систему (13) можно записать в виде д!ц! д!ц! дйцз (1+ 2(!) —,+)! —,+(Х+р) — = — ~'(х„х,), '! ~! д!ц! д!ц! дац! (1+1!) д д +)! д ! +(!!+ 2!!) — *= 1 (х!~ х!). "! ~~2 Эта система описывает равновесие однородного изотропного упругого твердого тела в случае плоской деформации. Неизвестные функции и'(х„х,) и и'(х„х,) имеют смысл перемещений точки по направлениям осей Ох, и Ох, соответственно. Для системы (12) может быть поставлена задача отыскания вектора и(х), удовлетворяющего уравнению (12) в области 6 н принимающего на границе Г заданные значения и(х)=й(х), хЕГ.
(14) Сравнивая (13) с (2), находим, что система (12), (14) может быть записана в виде (1), где т,=р, й,"й=рб.вб,.+() +р)!Еб б,„+(! — О)б бв,), (13) а Π— произвольная постоянная, 6!т — — 1 О' '. Действительно, (1, !=1, 1, 'м1. подставляя (15) в (2), будем иметь ц ~~~Г'= Е Е д (я'в д,в)=и Х Е~ ~ д„, + дхц дха дхадха Р Р вы д~~дха ц, в=! ц!=! Р г ц ц=! а=! д'ц! ц дх дх а=! в-! Утверждение доказано. Найдем теперь постоянные с, и с, в неравенствах (3).
Покажем, что се=1!. Имеем Р Х, Х,й5$ЙГ=)! Й (ы)'+ с с +()+р) 0 ч„'ЦЫ+(1 0) ч; Ойй; =' и Г /с Р =0 ~ (Щ)е+(Х+р) ~0~ ~ Ц) +(1 — 0),", Щ; . (16) а, з=! а ! а,~ ! Полагая здесь 0=1, найдем Р с Х,(йети Ы-02",1~ Г+Р+0)Я 52) = р Х!1 ~' Нетрудно показать также, что с,= Х+2р. Полагая в (16) 0=0 н используя неравенство Коши — Буняковского, получим и Р « ~ (й в5 Ы р Х!$.~'+()!+р) Х $И." = Р Р а!К~!.г-~«";е!(Е !!!г!- Е !!!г~- а=! а, $ ! а,в ! и Р =р Х|$а)е+(Х+р) Х Я)е=() +20) Х !Вам Построим теперь разностную схему, аппроксимирующую задачу (12), (14). Подставляя (15) в разностную схему (4), будем иметь Р (Л-у)'=р ~~.", у' +0,5(Х+р) Х ~уЕ +уз .~= — !р«, хЕ!», а„! «а«„ а !~ «а«! «а«~ (17) у'(х) =у'(х), х~у, а 1, 2, ..., р, где сс=е!() у — сетка, введенная в и.
1. Остается определять операторы А н Я, как зто было сделано в и. 1. Условие симметрии (6) выполнено, поэтому, пользуясь первой разностной формулой Грина, находим, что операторы А н Н самосопряжены в Н н нмеют место неравенства с!Н~А~Щ где с,=р, се=Х+2р. Здесь дальнейшие рассуждения совпадают с теми, которые проводнлнсь в и. 1.
Так, итерационный метод (8) с В=Я н чебышевскнмн параметрами т„ характеризуется следующей оценкой для числа итераций: 1п О,де 1 — г«е с! я п~)п,(а) = — ', Р,= ь= —,=— о !д!! ° ! !)уй ' с 1!+20 ' а попеременно-треугольный метод, построенный на основе регуляризатора )с, характеризуется этой же оценкой, где Р Ч 2г' б л+2Н 1+1 ч д Р и з~п ~~ ~=Х а а=1 В 21а а=1 а Таким образом, для попеременно-треугольного метода число итераций пропорционально ь : = ~г 2 +-: л. И М и, (е) = р~ 2+ — и', (е), где и*,(е) — число итераций для реглення р-мерного разностного уравнения Пуассона попеременно-треугольным методом.
ГЛАВА ХЧ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ В этой главе рассматриваются примеры решения разностиых задач, аппроксимирующих краевые задачи для эллиптических уравнений в криволинейных системах координат, Для задач в цилиндрической и полярной системах координат выясняются условия применимости прямых и итерационных методов, в частности метода переменных направлений. В 5 ! приведена постановка краевых задач для дифференциальных уравнений.
Параграф 2 посвящен изложению прямых и итерационных методов решения разностных задач в (г, а) †геометр, а также задач на поверхности цилиндра. В й 3 рассмотрены методы решения разностных задач в круге, кольце и кольцевом секторе. $1. Постановка краевых задач для дифференциальных уравнений 1. Эллиптические уравнения в цилиндрической системе координат.
Пусть задано уравнение Пуассона дан даи даи Т.и= —,+ —,+ —,= — Г(х), х=(х„х„х,). (1) Если для этого уравнения ставится задача отыскания решения в конечном круговом цилиндре или в кольцевой трубе, то его естественно рассматривать в цилиндрических координатах. В этой системе координат уравнение Пуассона (1) имеет вид ! д Г ди ! ! дан даи д, ( ' В ) + д + д,, —— — 1 (Г, гР, г), (2) где г=3Гх,'+х,', 1д<р=ха!хы а=ха. Уравнение (1) описывает, например, стационарное распределение температуры и=и(х„х„ха) в однородной среде. Если среда неоднородна, но изотропна, то вместо (1) следует рассмотреть уравнение !.и = г)!ч (лага!) и) =,~~ дх ~й (х) дх ) = — !' (х), (3) д / д а=! которому в (г, ~р, г)-системе соответствует уравнение Б60 Если среда анизотропна, т.
е. коэффициент теплопроводности зависит не только от точки, но и от направления, то вместо (3) будем иметь уравнение со смешанными производными з 7.и= ~~~ — „(й„з — ) = — 7(х). (5) в„а= ! Уравнению (5) в цилиндрической системе координат соответствует уравнение ! д /- ди взз ди — ди '! + — — й — + —" — +й — + г дф~ '!дг г дф иди/ д /- ди 7зз ди — ди~ где коэффициенты й„з выражаются через й„з по формулам: йз! = й„соя' ф+ (й„+ й„) я)п ф соя ф+ й„ззп' ф, й„= й„соя'!р+(й„— й„) я1п !р соя!р — й„з!и'гр, й„= й„соя' !р + (й„— й„) я!и зр соя ф — й„з1п' ф, й„= й„я!н' ф — (й„+ й„) я 1п ф соя ф + й„соя' ф, йгз=йззсояф+йззя!Пф, йм=йззсояф — й з!Пф, й„= й„соя !р+ йз! я!и ф, й„= й„соя !р — й„я!и !р, йзз — йзз ° Уравнение (6) называется уравнением со смешанными производными в цилиндрической системе координат. Если й„а=О для гзчь(1, то (5) принимает вид г дг ( йз дг ) + гз дф ( з дф ) + дз ( з дг ) где й„= й„„, а=1, 2, 3, и называется уравнением без смешанных производных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
