А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 94
Текст из файла (страница 94)
2 Разностный оператор Л определяется формулами: Лу, = — ([Ь, (х, у, у„)! +[Ь, (х, у, у )1„— — ЬО(х, д, у„) — ЬО(х, у, у„-))о 1(1(Н вЂ” 1, Лд,= — „'[Ь,(О, д„д„,)+Ь,(Ь, д„у )!— — Ь~(0 у у.,о) — — „х.(у). 1=~ 2 1 Лу~= — — [Ь,(! — Ь, у„„у„, ~,)+Ь,(1, у~, у „))— 2 — Ь,(1, у „у-„, ) — — х,(ум), ~=У. Если в пространстве Н = Н (а) определить нелинейный оператор А соотношением А = — Л, то разностная схема (4) запишется в виде операторного уравнения Аи = !. Исследуем свойства нелинейного оператора А, действующего из Н в Н. Напомним, что скалярное произведение в Н (а) определяется по формуле и-1 (и, о) = ~ и,о,Ь+О,БЬ(иоо,+изгои), К=1 а через (и, о)„+ и (и, о)„- обозначаются суммы и Ф-1 (и, о) + = ~ ир;Ь, (и, о)„- = ~я~ ~ир~Ь, в=1 г=в 1т" 515 так что (и, о) = — [(и, о) е+(и, о)а-1. 1 Покажем, что при выполнении условий (2), (3) оператор А является сильно монотонным в Н(е!), т.
е. выполнено неравенство (Аи — Ао, и — о) ) с! !! и — о !! ', ' с, ) О, (5) где с, определено в (2). Обозначим Р,=Р,= ив Ч,=Ч,=оо, Р,=и„о Р,=и-,,;, Ч,= = о„1, Ч,=о„-,ь Используя определение оператора А, формулы суммирования по частям (см. (7), (9) 3 2 гл. Ч) и условия (2), (3), получим (Аи — Ао, и — о) = (Ло — Ли, и — о) = и ( ! = о ~к„а~ й ~ ~Х~~ [йа(х~ Ро~ Р!) йа(х Чо ЧоП (Ра Ча) ~ + !=! а=о ! и-! ( ! + —,' ~"„й ~ ~~ [йа(х, Р„р ) — йа(х, Ч„Ч,Я(Є— Ча)1 + +[но(ро) ~о(ЧоИ(ро Чо)! 1=и+[о!о (Ро) ио (ЧоН (Ро Чо) ! 1=о ~~ и ! и-! ! й,~~~! (Ра Ча);+ 2 ~.а й с~~ (Ра Ча)!. о=! а=о с=о а=о Учитывая равенство и,=и„-, „запишем полученную оценку в виде (Аи — Ао, и — о) о — '[(и — о, и — о)„++(и — о, и — о) -+ !о о!-! + ~ й(и — о);,+ ~ 6(и — о)„',1 = о=! о=о =с, [!!и — о!!'+((и — о), 1)„+))с,!!и — о!!*.
Из замечания 2 к лемме 12 главы У следует, что эта оценка не может быть улучшена. Итак, установлена сильная монотонность оператора А. В силу непрерывности функций йа(х, р„р,) и ха(р,), оператор А непрерывен в Н. Поэтому из теоремы 11 главы Ч следует существование н единственность в шаре !!и!!( — !!АΠ— (!! решения урав- 1 с! кения Аи=(' и, следовательно, разностной задачи (4). Если йа(х, р„р,) и ха(р,), а=О, 1 — непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, то вместо (2), (3) можно б16 использовать другие достаточные условия, обеспечивающие сильную монотонность оператора А.
Будем предполагать, что выполняются условия 1 1 1 С! .Е $'( ~."~ ааа(Х, р„р,) 5„$В(Со ХЦ, Со)0, (6) 0(оа(р,)(с„а=!, 2, (7) где $=($„$!) — произвольный вектор и два (» Ро РО дха (Ро) В(Х Ро Р!)= др Оа(Ро)= д > а Н вЂ” 0 1 Ро Покажем, что из условий (6), (7) следуют (2), (3). Действительно, имеют место равенства ~а (Х> Ро Р!) ~а (х с)о > Ч!) ! Гд =(д!рй (х (ро+(1 — 1) !) (рс+(1 — 1) !) ) !(1= о 1 ! ) ( два(» оо о!) (1+ ( ) Гдаа (» оо »1) (1 = Ро Чо) д,, ,) д»1 о о 1 1 Х (Рв Вв) ~ и в (х, зо, з ) !(1, а=О, 1 в=о о где з, = (р, -1- (1 — 1) !)„з, = (р! + (1 — 1) с)!.
Умножая это равенство на р„— с)„и суммируя его по а от 0 до 1, получим с учетом (6) 1 Х ~йа (х, Ро Р!) йсс (х> с(о> >7!)1 (Ра !1а) = а=о Х -в(,Ь )(Р— ).)(Рв — )в)(1) ,в-о " 1 ! ) с, ) Х (Ра — )„) й( = св 2", (Ра — д„) . Итак, неравенство (2) получено. Аналогично из (7) получим неравенство (3) 1 ~о!а (Ро) оса (Чо)] (Ро Чо) ~ д !(1 (Ро !)о) о Таким образом, условия (6), (7) гарантируют существование и единственность решения разностной задачи,(4). Найдем теперь производную Гато оператора А, предполагая, что функции 11„(х,р„ р,) и ха(р,),а=0,1, имеют ограниченные производные по р, и р, нужного порядка. 517 Из определения производной Гата нелинейного оператора , будем иметь А' (и) у, = — — ((аи (х, и, и„) У„1;, + ~ам (х, и, и„-) у„-1„,, + + ~ам (х, и, и,) у)-„, + [а„(х, и, и„-) У1,, ) + + — (а„(х, и, и„) у„1+ а„(х, и, и;) у-,, + 1 + (аоо (х, и, и„)+ а„(х, и, и„-)) УД, 1 ~1(Н вЂ” 1.
При 1=0 получим А'(и) у,= — — ~аи(0, и, и„,)+а„(й, и„и-„,)— — йа„(0, и„и„,) + йа„(й, и„и-,,)~ у„, + фа, (и,)— ! 1 Ь з аи (0~ ио и», о) 2 аи(й~ из. и„1)+ з ам (О иы и~, )1у~, а при 1=й( будем иметь 1 А (и)ул — — — ~аи(1 — й,ил, „и„л, „)+а„(1,ил„и„-, )+ + йа„(1,и~,и„- „) — йа„(1 — й, ин „и„,д,))у-„,+ — „~о, (и ) + 1 1 + — ам(1,ил, и- )+ — ам(1 — й,ин,,и и )+ л + —,а-(1. ил и.-, )1ул. Отметим, что прн вычислении А' (и) у, и А' (и) ун были использованы соотношения (8) У|=уо+йУ,о. Ул-1=ул — "У-, н. Исследуем свойства производной Гата А'(и) оператора А.
Лемма 4. Если выполнены условия дь1 (», Р, р|) две (х, ро рд дре др1 то А'(и) — салосопряженный в Н оператор. При выполнении условий (б), (7) он положительно определен в Н. 518 Сравнивая это выражение с выражением для (у, А'(и) г), получим, что прн условии а„(х, р„р,) = а„(х, р„р,), которое является другой формой записи для (9), оператор А'(и) для любого иЕН самосопряжен в Н. Пусть теперь выполнены условия (6), (7). Полагая в (10) г! =— Уо, получим Ги-! о! (А' (и) у, у) > + ~ ~ Й (у!+ у', ) +,~, й (у! + Уо !) с=о к=! = с, [(у, у) + (у„-', 1)„+1) с, (у, у), (11) т. е. оператор А' (и) положительно определен в Н.
Лемма доказана. Заметим, что в силу теоремы 2 главы Ч из положительной определенности производной Гато непрерывного оператора А следует, что он является сильно монотонным. Таким образом, при выполнении условий (6),(7) оператор А сильно монотонный. Полагая в (10) г;=у;, получим в силу условий (6), (7) оценку сверху Гм ! М <А'! )и.и!~+[г. !и~!а, !+Ха!о~-и.)1!- с=о !=! +со(у~+у)о) =со[(у, у)+(у„'-, 1) .1+со(у:+ух). Из неравенства (36) леммы 15 главы Ч при а=1 найдем, что уо+ум <с4 [(у~ у)+(ур 1)е+ 11 со = ° (12) Следовательно, имеем (А'(и) у, у) ~(у,[(у, у)+(у-, !) ], у! =с,+с,с,. (13) 519 В самом деле, используя формулы суммирования по частям, а также соотношения (8), получим и — 1 (А' (и) у, г) = — ~~' Ь [а„(х, и, и„) у„г„+а„(х, и, и„) уг„+ !=о + а„(х, и, и„) у,г+а„(х, и, и„) уг1!+ + — я [а! (х, и, и-„) У-„г-„+а!о (х, и, и-„) Уг-„+ !=1 +а„(х, и, и,-) у-„г+а„(х, и, и„) уг1!+оо (ио) у!го+о! (и,д у!оги.
(10) Определим в пространстве Н=Н(оо) линейный оператор )с, отображающий Н на Н, по формулам 2 а Уа о+Уо — у;„,, +уо 1(1(У вЂ” 1, 2 уа л + уу, ! = )Ч. Из первой разностной формулы Грина найдем ()7У, у) =(у, у)+(у-„', 1)„, (14) з,=г... 520 Тогда из (11), (13), (14) легко следует, что при выполнении условий (6), (7) для производной Гато А'(и) оператора А справедливы неравенства уо Яу, у) ((А'у.
у) (уо Фу. у), (15) где у,=с, > О, ?о=со+сос„т. е. опеРатоРы Я и А' энеРгетически эквивалентны с постоянными, не зависящими от шага сетки й. Напомним, что выше было получено неравенство (Аи — Ао, и — о)) с, [!и — о'1'+((и — о)-„'1)„+1, если выполнены условия (2), (3). Отсюда и из (14) следует, что при выполнении условий (2), (3) имеет место оценка (Аи — Ао, и — о) ) у, (К (и — о), и — о), 7, =с, ) О.
(16) Покажем теперь, что для любых и, оЕН верна оценка (К '(Аи — Ао), Аи — Ао)(у,(Аи — Ао, и — о), (17) где у,=со(!+со), если выполнены условия 1 Х [Иа (го Роо Ро) )оа (г ° Чо~ Чо)1 1 (со,о,) [ьа (х Ро Ро) — Йа (х, Чо, Чо)1 (Ра Ча)о (!8) а=о [иа (Ро) ооа (ЧоН «(со [иа (Ро) иа (ЧойРо Чо). Действительно, для доказательства (!7) достаточно получить для любых и, о, г Е Н оценку (Аи — Ао, г)'(7,(Аи — Ао, и — о)()7г, г). (19) Тогда, полагая здесь г=Я-'(Аи — Ао), будем иметь (1?). Обозначим: Ро=Ро=";. Чо=Чо=оо го=то=го Используя определение оператора А и формулы суммирования по частям, получим (Аи — Ао, г)о=(Лг — Ли, г)'= 1 ~Ч',([)о (х, Р„ Р,) )о„ (х, Ч„ Ч,)1, га) + а=о 1 + 2 ~о~ы Ра (Х Ро Ро) йа (х Чо Чо)1 га)а+ + а=о + ["о(Ро) ооо (ЧоЯзо !о и + ["о (Ро) ио (Чо)1ао !с=о) ° Используя неравенство Коши — Буняковского, последовательно найдем (Аи — Ао, г)о( 1 ~[~г.го.ао..оо — о.а.о...Л,1г-~~..одет о а=о 1 + 2 С'ю([й (Х Ро Ро) — йа(Х, Чо, Ч,Н', ))аД(4.!)ам++ а=о +[ооо(Ро) — ооо(ЧоПао)о=о+[ко(Ро) — "о(Чо)]ао(о=о '~( 1 а ! -,' г.
Оо. а, о„о о — о. а, о„о,п', 1); -~ а=о ! + 2 Х ([)оа(х Р Ро) ла(х Ч, Чо)1 1)а++ а=о + [ооо (Ро) — "о (ЧоНо-и+ ['оо (Ро) — мо (ЧоНо-. 1 х[~~ва, О,-оа', о ~+4о. а=о Учитывая, что верно равенство (Аи — Ао, и — о) = 1 с,а~ ([Йа (хо Роо Рд) )оа (х Чо~ ЧоН(Ра Ча) 1)а + а=о 1 + 2 ~~ ([)Оа (Х Ро Ро) йа (Х Чо Чо)1(Ра Ча) 1)а+ + а=о +[ко (Ро) Ио (ЧоМ(Ро Чо)[ь=м+[ооо (Ро) Яо (Чо)((Ро Чо) !с=о 521 а также что в силу (12), (14) и введенных обозначений ! — [(за 1)а- + (за 1)а+1+ зО !1= ч + зО !!=О = ааО = 2 ~(г', 1)а++(г', 1)а-+ (»-', 1) +(гс, 1)а-1+ »И+ге= =(г', 1)+(г', 1) +гь+»3<(1+с,)Я», г), получим оценку (19), если выполнены условия (18).
Утверждение доказано. 2. Метод простой итерации. Рассмотрим теперь итерационные методы решения построенной нелинейной разностной схемы (4). Предположим сначала, что выполнены условия (2), (3) и (18). Для решения уравнения (4) воспользуемся неявным методом простой итерации В" +' " +Ауг=!' й=0, 1... уОЕН (20) где А= — Л, В=В и оператор В определен выше. Из (20) следует, что для нахождения у„+, при заданном уа требуется решить линейное уравнение Ву„,, = 1р, 1р = Вуа — т (Ау„— 7) или в развернутом виде — у„„(! — 1)+су, 1(1) — у „(О+!)=й'1р(!), 1<1<У вЂ” 1, су О, (О) — 2у„+„(!) = й'1р (О), ! = О, 2уь 1(й! 1) +суг+1()Ч) = й11р (у), ! = Л1, где с=2+й'.
Так как с) 2, то разностная краевая задача может быть решена методом монотонной прогонки с затратой О (1У) арифметических операций. Осталось указать значение итерационного параметра т и дать оценку для числа требуемых итераций. Так как выполнены условия (2), (3) н (18), то имеют место оценки (16) и (17), которые можно записать в виде (Аи — Ао, и — о) ) у, (В(и — о), и — о), у,=с,)0, (В '(Аи — Ао), Аи — Ао) <ТО(Аи — Ао, и — о), у,=с,(1+с,), (21) где с, задано в (2), с, — в (18) и с, — в (12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
