А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Из леммы 1 главы Х следует, что теорема 1 остается справедливой, необходимо лишь заменить (16) следую- щими неравенствами: Л ) 6 (а Л х я х) < 4 () х х) 3десь оператор Ы играет роль дополнительного итерационного параметра. Оператор В легко обратим, например, в случае, когда оператору Я, соответствует нижняя треугольная матрица, Я,— верхняя треугольная матрица, Ю вЂ диагональн матрица, Если оператор В соответствует разностному эллиптическому оператору, то указанные треугольные матрицы в каждой строке будут иметь конечное, не зависящее от числа узлов сетки число нену- 537 Тогда при оптимальном значении параметра ! ! — ч'т ьзо д чзт — ч оператор В удовлетворяет неравенствам (6) с Рд с — ь (1 — ч) 71= (! 1 з» д)г» 72=71 зт постоянными 6 з) = — » зт б=ш)пб„, А=шах Л„, й= ~ —— а» ~! ! зт» '(а1 — целая часть числа а. Ввиду громоздкости доказательства мы его не приводим.
Отметим лишь, что в силу условий (14) оператор В перестановочен с операторами й„, а= 1, 2, ..., р, и поэтому х,+х,+ „. +хе х,+х, +... +хр Отметим частные случаи теоремы 2. Если р=2, то ! ' з6 ' 6 !+ч "=1» ьзз= „,— » 7з= ( + .-„)з» 7»= у — „( + 1;-)з Если р=б, то /~ ~й/з)з «зз= з - — з - — з - — 7»=бб), ! Для случая р=2 можно получить лучшие оценки для 7, и 7„вводя в оператор В = (Е+ ьзй,) (Е+ ьззйз) (17) два параметра ьз, и ьз„которые учитывают, что границы операторов й, и й, различны.
Имеет место Теорема 3. Пусть оператор В имеет вид (17), выполнены условия йа=й;» зз=1» 2, й,й,=й,й„ 538 левых элементов. Поэтому обращение каждого множителя, входящего в оператор В, может быть осуществлено с затратой числа действий, пропорционального числу неизвестных в задаче. Рассмотрим теперь второй случай. Теорема 2. Пусть оператор В имеет вид (15), выполнены условия (14) и заданы границы операторов й„: Ь,Е(й„~~Ь„Е» бз > 0» а=1, 2, ..., р. и заданы границы операторов й, и й;.
Ь,Е(й„(Л,Е, а=!, 2, 8,+8,) О. ' Тогда при оптимальных значениях параметров а, и в, !+1)Г Ч ! — 1»' Ч а,=, От,= г)гт!+5 гьгт! — з выполнены неравенства (6) с поотоянными 41/ Ч ' 2 (1+т!) (ад+аз) (!+ УЧ)' ' ' (ад+аз) (1+ У Ч)' ' Получим (Вх, х) =(1 — а,в)(1+а,з)(Ву, у), (йх, х)=(г — зг) (йу, у), где В = (Е+ ай,)(Е+ вй,), й = йд+ й„ (18) (19) а,г — 1 а,г+1 е= 1 — Оддз 1 + Оэзз (20) Из (20) найдем 2,.
едг — г взг+1 (г — 51) (ед+ ез) 1 — едз 1+ азз (1 — а,з) (1+ тззз) ' Отсюда и из (18), (19) получим (Ях, х) 2в (Яу, у) (тчх, х) ад+аз ф» (21) аз+ать Лз — Лдь 1 — Ь 1 — а г= ', в= ', 1= —, т)= —, = !+Ь = !+Ь =1+Ь' =!+а~ а= (' ')(' ') Ь= '+ 'а. (65+65) (аз+6,) ' Л~ — 65 Для доказательства теоремы выполним замену, полагая й,=(гй,— вЕ)(Š— Я,) ', й,=(гй,+вЕ)(Е+Я,) з с указанными значениями для г, з, 1.
Можно показать, что определяемые таким образом операторы й,=(йд+зЕ)(гЕ+Яд) ', й,=(й,— вЕ)(гŠ— Я,)-з удовлетворяют условиям Й„= й„', сз= 1, 2, й,й, =й,й, н имеют одинаковые границы т)Е ( й„=. Е, т) ) О, а = 1, 2. Далее, так как операторы Š— (йд и Е+Я, самосопряжены и поло, жительно определены, то существуют перестановочные операторы (Š— Я,)д(в и (Е+(й,)дгз.
Положим Х =(Š— гйд)515 (Е+(йз)д)з У. Используя теорему 2, получим, что при ы=ы,~ !11 г! (22) имеют место неравенства (23) где — 2ч У ч (!+ч) (!+Уч)" ~' (!+Уч)'' Следовательно, из (20) и (22) получим оптимальные значения для параметров в, и а,: г уч+я г рч — з а из (21) и (23) следуют неравенства (6) с постоянными у, и у„указанными в формулировке теоремы 3. Теорема 3 доказана.
3. Способ неявного обращения оператора В (двухступенчатый метод). В п. 2 мы изучили способ построения неявных итерационных схем, характеризующийся тем, что оператор В задается конструктивно в виде произведения легко обратимых операторов. Рассмотрим еще один способ, в котором итерационное приближение у„+, находится в результате вспомогательной процедуры, которую можно трактовать как неявное обращение некоторого опе атора В.
апоминм„ что общая идея такого способа рассмотрена в п. 4 $ 3 гл. Ч. В я. 4 3 1 гл. Х111 этот способ использовался при построении итерационного метода решения уравнения с нелинейным оператором А. Там же были сформулированы условия, позволяющие получить оценки для у, и у„входящих в неравенства (6). Изложим полученные результаты. Пусть итерационное при« ближение уз+, находится по формуле схемы с поправКой: Р„+, — — У„ †т,й», а поПРавка шг есть пРИбЛижеиное Решение ясйомогательного уравнения )ты=та га=Ауэ — ). (24) где 8„,+,— оператор перехода от гл-й к (и+1)-й итерации. 640 Здесь )т — регуляризатор, удовлетворяющий неравенствам (5) для случая самосопряжениого оператора А и удовлетворяющий неравенствам (10') или (1!') для несамосопряженного А.
Пусть уравнение (24) решается при помощи какой. либо двухслойной итерационной схемы, так что погрешность г' = = в" — ш удовлетворяет уравнению а"+'=5,„+,г", я=0, 1, ..., р — 1, г'=и~'-в, Выбирая >с>=О, из равенств ге=-ве — ю=Т (ю> — н>), Т = ф~ 5„> Р > Р »> и> = )т" >г», будем иметь те=В >г», где В=Я(Š— Т )-'. Подставляя найденное для юР выражение в (23), получим неявную итерационную схему (2) с указанным оператором В. Теорема 4. Пусть выполнены условия гт=)т*) О, Т"К=ВТ~, '1Т '1 <у<1. Тогда оператор В=К(Š— Т )-' самосопряжен и положительно определен в Н и верны неравенства (6) с постоянными у,= 1 — д, т>=1+о.
Для доказательства см. лемму 2 главы ХП1. Замечание. Если операторы В н Т самосопряжены и перестановочны и 1Т,!~<д < 1, то справедливы утверждения теоремы 4. Описанным выше способом мы построили неявную двухслойную итерационную схему. Если же исходить из формул у„+,—— а»+,у»+(1 — и»+>)у„„,— т»+,а»+,п$», й=1, 2...,> у> = у> т>нФ> а поправку п>л» для любого й = О, 1, .. находить как приближенное решение уравнения (24), то мы получим неявную трехслойную итерационную схему Ву +, — а»+>( — т»,А) у, +(1 — и»+,) Ву» +а»+,т»+>), (25) Ву, ( — т,А) у, +т>).
В заключение отметим, что итерационные параметры т» для схемы (2) и т, о» для схемы (25) выбираются согласно общей теории итерационных методов. Здесь возникает задача выбора оптимального числа итераций р для вспомогательного итерационного процесса. Поясним ситуацию. Пусть для простоты вспомогательный процесс является стационарным (Б„ — 3), опе. раторы Я и 5 самосопряжены и перестановочны и выполнено условие 15(( < р.
Тогда д = ре, т. е. р 1и 41!п р. (26) ' Операторы А и В удовлетворяют неравенствам (4) с постоянными у, = с, (1 — о), у, = с, (1 + а). Если итерационные параметры те в схеме (2) выбраны по формулам чебышевского метода, то для числа итераций верна оценка и ) и, (е), и, (е) =!п (О,бе)1!и р„ где р,=р,(д)==, $= — = — —. Тогда общеечисло ите- 1 — $г$ те се 1 — с ~/'~ ' т, св !+С ' раций й= ри оценивается величиной й ~ ~йв (е) йв (е) 1и О,зе 1и Ч 1и 1ве (с! Отсюда следует, что величина в), определяющая, согласно (2б), число внутренних итераций, должна быть выбрана из условия минимума функции ~р(д) =1пв!/1пр,(в1). Эта задача может быть решена численно.
5 2. Системы эллиптических уравнений А„'а Аеа " . Ааа' ЬМ Ьвв ... ЬвР Ьвв Ьвв ... Ьвг вваа = ьР1 ьсв ... ьРР ~ев еееве аеевввв В р-мерном параллелепипеде 6=(0(х (1„, а=1, 2, ..., р) с границей Г рассмотрим задачу Дирихле для системы эллиптических уравнений: г.и Е д (я"а д ) = —,у(х), хЕ0, д / дат ,,дх (," дха) и (х) = й (х), х Е Г. Если перейти от векторной к скалярной записи, то задача (1) запишется в виде системы (1,а)в = — 1' (х), х б О, ив(х)=йв(х), хЕГв а=1, 2, .
° в шев где Р Рее 1.вв 1~~ дХ ( ЕР ( ) дХ ) ' (2) 1. Задача Дирихле для системы эллиптических уравнений в р-мерном параллелепипеде. Пусть и=(и'(х), и'(х), ..., и""(х)) и Г"=ц'(х), 1в(х), ..., ~'" (х)) — векторы размерности т„х = = (х„х„..., хр) — точка р-мерного пространства, й=(й,„з)— клеточная матрица размера рхр, так что клетка а„а=(а-'й(х)) является матрицей размера твхте: Будем предполагать, что выполнено условие сильной эллип- тичности е я ., Ж ~ й„('( ~ (й„д„, Ьз) ~с. Х ~ й.Г, где с, ~0, с,) 0 — постоянные, не зависящие от х, $„=Д'„, $*„, ..., Ке), с«=1, 2, ..., р,— произвольные векторы, ) $а! = Х (5а) э (йааэ««ав Фа) = Х йаяац ° (3) Переходя к скалярной записи, получим систему (Л у)'= — «р'(х), х б «е, у' (х) = д«(х), х Е у, з = 1, 2, ..., и„ где (Л-у)т= ~ ~ 0,5((й«ар )„„+(й йр,-.,)-. 1. Оператор Л , как и в случае скалярного эллиптического урав- нения, допускает другую запись, именно: я Л-у = 2,'0,5~(й„„у-, )„„+(й,у„„)„-)+ «си +,~ Я0,51(А ау- )„+(л,ау„)-1.
ИЗ Отметим, что левое неравенство (3) означает положительную определенность матрицы й. Построим разностную схему, аппроксимирующую задачу (1). Для этого в области б введем прямоугольную равномерную сетку «э=(х;=((,й„..., 1,/~,.)Е6, 0~~1~(М~, Йа«~а (а с«1 2 ~ Р) с границей у, так что «э=«эцу. На сетке «э будем рассматри- вать векторные сеточные функции, компонентами которых явля- ются сеточные функции р дискретных переменных, например У=(Р', Р'...., ф"), причем Р'=Р'(х«) =Р'(«„1„..., 1г). Разностная задача Дирихле для системы (1) на сетке «э в векторной записи имеет вид я Л у = ~~'., 0,5[(Д ау„- )„ + (й„ау„ )-„ ) = — «р(х), х ~ «э, а,а-« ' ха ~«««з ««, у (х) = К(х), х Е 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
