А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Построение такого йолииома ггблиосгьй решает проблему выбора итерагдионных парамет!ров чд для схемы (3). Тгог!нее решение этой задачи нам неизвестно, и 'мы приведем иное решение проблемы. Как и в рассмотренном выше методе мииимальнььх -невязок, оставим произвол в выборе параметров '« т„т„..., т„„а условие Х ту=О удовлетворим аа счет вы)=1 бора т«ио грормуяе %« ть= — ~ ту /=! Из '(42) гголучйм 'следую)пуго ойей)гу! д«! !М!~Ф««г(С))!!)Е=т„С!!!!х«!! Р.= (С) = П (Š— т,С). (44) !=1 Выберем тейерь параметры т„т„..., т„„из условия минггггума нормы операторного полинома Р„(С).
Так как на Р'„,(С) !никаких дополнитеЛьных 'огранггчег!ий не йаМладывнется, то 'решение поставленной задачи имеет вид (см. гл. Ч1, ~ 2): то (3! — !) г! тд«« ., рдЕЙ„,=~сов ), 1(!(а.— 1), (45) й — — 1, 2, ..., а — "1, где припяяы обозначения "!г «!+5~ ь —, При этом ! «-д(г)=!)«-!Т«-г( „' ) в !)Р«г(С)!!~(!)„г, (46) где Т„,(х) — полипом Чебышева 1-го рода степени а — 1, 4 =2р~7(1-+р',"), р,=6 =-Я)й)+~'6.
Осталось найти явное выражение.для %„. Из (46) найдем « — ! т«= ~ т)=Р«-г(0)= —. 1)„гУ„, ( — ), (47) (« — !) гд ! /=! где У„,(х) — полипом Чебышева 2-го рода степени а — 2. Здесь было использовано соотнопгение Тщ!(х) =гаУ ! (х). Вычислим У„,(!)р«). Так как р,<1, то из явного вида для У„,(х) (см. гл. 1, ~ 4, п. 2): (х+)~х« — 1)«-! — (х+1 х« — Т) '" " получим в результате.
несложных выкладок Подставим это выражение в (47) и найдем (ь — !) т, 1 †и1 '" " т„=— )/1 р2 ! 1 еы-1> (48) Учитывая самосопряженность С и неравенства (41), формулу (48) н равенство тьу,=1+р„получим "1Š— т„С~~я. шах (1 —.т„!1=! —..т„у = т~<ь<тв г~ ! ь< -и ! — Оь 1+о',ль-о " Подставляя (49) и (46) в (44), получим следующую оценку для нормы эквивалентной погрешности х„: ~х„~~((1+(и — 1) ф~ ~ф'— ь) д„,1)х,~! (~у„— и~~рф+(и — 1) )/ ") д„Ду,— и4„ где и — нормальное решение уравнения (1), а Р определяется следующим образом; Р=А, В или АВ !Я, если выполнены условия леммы~ 4; Р= В*В, А*А или Е, если выполнены условия леммы 5. Априорной информацией для мел!ода с чебышевским и нарнмегнр!гми являютея постоянные у, и т, из неравенств (39).
й 4. Специальные методы 1. Рааностная задача Неймана для уравнении Нуасснна в прн. меугольннке. На примере указанной задачи проиллнюдрнруем применение итерационной екемы с переменным оператором 3, к решению уравнения с вь!рожденным оператором А. Пусть в прямоугольнике 6 = (О х„ ~ 1„,е!= 1, 2) требуется найти регнеине уравнения Пуассона д'и д'и —,, + — = — <р(х), хЕВ, дх) дх1 при условии, что параметры т „т„..., т„выбраны по формулам (45) и (48).
Теорема 5. Пусть итерационные параметры тю й=1, ...,и, для схемы (3) выбраны по формулам (45) и (48) и уь=А*ср. Тогда для погрешности верна оценка удовлетворяющее следующим краевым условиям: ди — = — к- (хв) дха ди й»ха (ха)» ха 1а м 1» дха ха=О, р=3 †, (2) На прямоугольной сетке е=(ху —— (1Ь„)Ь,) б6, 0(1(У„ 0(1(У„Ь„М„=1„, а=1, 2) задаче (1), (2) соответствуетсле- дующая разностная задача: Лу= — 1(х), ХЕБА, 2 2 (3) Л =Л,+Л„~(х)=ф(х)+~ ф,(х)+~ фх(х), где 2 Ух Ха=О, Ьа а ух „, Ь„<х (1 — Ьа, хааа 2 — у-, ха=1а, Ь ха» а — а» Лау = (4) д а(хз), х =О, фа(Х) = 0» Ьа~~ха~~1а Ьа» К+а (ха)» ха — 1а Пространство Н состоит из сеточных функций, заданных на сет- ке в, со скалярным произведением (и, о) =,~ ~и(х) о(х) $,(х,) 11х(хх), хна где их„(х ) — средний шаг, (0,5Ьа, ха= О, 1а» и= 1, 2.
с указанным оператором А. Отметим следующие свойства операторов А, и А,. Операторы А, и А, самосопряжены в Н и перестановочны, т. е. Аа=А;„, и=1» 2, А,А,=А,А,. Эти свойства позволяют, используя метод разделения перемен- ных, решить задачу на собственные значения для оператора А: Аи = Ьи. Действуя по аналогии со случаем задачи Дирихле, под- 490 Оператор А определим как сумму операторов А, и А„где Ааах — Ла,'- и=1, 2.
Тогда задачу (3) можно запйсать в виде операторного уравнения Аи=~ (5) робно рассмотренным в п. 1 9 2 гл. 1Ъ', получим решение задачи в виде аа 2 Ма р (1, 1) =рГ' (1) р)М (1), 0<йа(й)а, а=1, 2, ~ ~/ — соз —, 1<Фа<ӄ— 1, (гР'(и) = ! ~ /,' Г 1а уа При этом имеем йа=О, 1, ..., йГ„, (а1 Аармая = )"ьа Рима Ар„„= 1, р„ Поэтому, если выбрать у,=О, то у, б пи А, следовательно, для любого й)0 итерационные приближения у„б пи А. Следовательно, схема (6) может рассматриваться только иа подпространстве пп А.
Исследуем сходимость схемы (6) в пп А по норме пространства Нр, в качестве В можно взять один из операторов Е, А или А'. Каждый из этих операторов будет положительно опре- 491 Отсюда следует, что оператор А имеет простое собственное значение, равное нулю, которому соответствует собственная функция Р„(1, 1) — = 1$~1А. Эта функция образует базис в подпространстве нег А. Функции п,„(1,1) прн 0<а„<У и я,+й,~О образуют базис в подпрострайстве !ш А. Для решения уравнения (5) рассмотрим итерационную схему метода переменных направлений Ва,.,""+' "~+АУа —— 1, й=О, 1, ..., У,бН, В„= (о4о Е+ А,) (вРЕ+ А,) „т„= в1" + в1". Чтобы не накладывать на (ть) и операторы (Ва) дополнительных ограничений, связанных с выделением компоненты уа б пп А, потребуем, чтобы правая часть 1 была ортогональиа йег А.
Если заданное 1 не удовлетворяет этому условию, то заменим его в (6) на Рд=Р Ч Роо)рм. Заметим, что операторы В„и А для любого й перестановочны. Поэтому в силу следствия к лемме 2 условия 1 будут выполнены (в них В нужно заменить на оператор Ва). Кроме того в силу леммы 3 оператор Вь' отображает 'пи А на пи А. Воспользуемся установленными фактами для изучения сходи- мости схемы (6). Так как 1Епи А, то, предполагая, что узы!ш А, получим из (6), что уа, — — уа — та+,Вр+, (Ауа — Д Е пп А. делен в 1пт А. способ изучения сходимости схемы (6) точно такой, какой был использован в главе Х1 при построении метода переменных направлений в невырождеином случае. Поэтому ограничимся лишь формулировкой задачи о наилучшем выборе параметров, опуская все необходимые для этого выкладки.
Наилучшие параметры <э<<я' и <э<хо для схемы (6) должны быть выбраны из условия м<м — х м<о — у1 ! (а)к,уея Д! и +хе +у й,=(Зш(к~ 4~, у=О~ и йх = ~х=О, Цв<у(д~„",) . При этом дчя погрешности г„=-у„— и, где и — нормальное решение уравнения (5), будет верна оценка !1з.!!о~Ма.(. Отметим, что для рассматриваемого примера условие ортогбивльиости и к нег А записывается в виде (и, 1)=0. Любое другое решение уравнения (5) отличаетси от нормального решения и на функцию, равную постоянной на сетке <в. Поэтому одно из возможных решений задачи (3) можно выделить, фиксируя значение этого решения в одном узле сетки <», Сформулированная выше задача для пар< метров отличается тгг рассмотренной нами в ч 1 гл. Х1, но и «тет быть к ней сведена путем некоторых упрощений и цепок <,.сньшенпя возможи<ай скорости сходнмосги итерационного мего;,и Обозначим б=ш(пД,< >, А=шах)<х„, <) <а) 4 х - — <в — — <э < <и < <м у а < а 1=1 2, ...,и.
Используя эти обозначения и структуру области Й, задачу выбора параметров можно сформулировать так: выбрать х, 1 (1е-л, из условия пнп шах !г„(и, и)) р„, г„(и, и) П ~' (к ) ч си<1 " " г=< х<-1-« При этом, очевидно, ре > р„. Именно такая задача и была рассмотрена в В 1 гл. Х1. На. помним, что там были получены формулы для хт я числа итераций и = лэ (а), которые гарантировали выполнение неравенства р'„.:',е. Так как здесь нам нужно обеспечить оценку р„' е, то в формулы для ху и лт (в) гл. Ы нужно вместо е подставить а'.
4вв Тогда для погрешности метода (6) будет выполняться оценка 11 г„)п < а)1 г, )р. Приведем вид оценки для числа итерации: п~)п,(з), п,(з)= —,1п — 1п —,. Для примера, если 1,=1,=1 и 1 4 4 Ь,=Ь,=Й, то б= —,з)п' э1, Ь= —,, т1=з(п'" —, п,(з)=0(1пй)пе). 2 4 ' яя" Й Следовательно, для задачи Неймана метод переменных направлений, имея такую же по порядку оценку числа итераций, как и для случая задачи Дирнхле, требует фактически в два раза больше итераций. Заметим, что так как итерационные параметры х, удовлетворяют оценке (см. 5 1, гл. Х1) и <х1 < 1, то параметры а,'о н м)м принадлежат интервалу (6, Л). Поэтому операторы гз)'"'Е+А„положительно определены в Н, и для их обращения можно использовать алгоритм обычной трехточечной прогонки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
