А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Действительно, пусть и Е ппА* и иФО. Так как и ) )гегА, то Аи~б и, следовательно, (Ри, и) =(Аи(*) О. Оператор Р порождает энергетическое пространство Нр, состоящее из элементов )ш А*, скалярное произведение в котором определяется обычным образом: (и, р)р = (Ри, р), и Е пп А*, р Е пп А'. Поставим теперь задачу выбрать параметры т„+, в схеме (11) из УсловиЯ минимУма 1г»„(р, где г»+, — погРешность: г»+, —— =у„+, — й, Ай=) н и †нормальн решение уравнения (1). Для погрешности г»Е пп А' нз (! 1) получим следующее уравнение: г„+; — — (Š— т +,В 'А) г». (14) Отсюда найдем 1г»+,1р»=)(г»(р» — 2т„.„(АВ 'Аг», Аг»)+т»».„(АВ 'Аг»()*.
Заметим, что в силу леммы 31АВ 'Аг»~) О, (Аг»Е пи А). Поэтому минимум !)г»+,(яр достигается при (АВ-'Агм Аг») (15) (АВ-»Аг», АВ-'Аг») (АВ-1г», г») (Ав», г») ИВ-м, гВ- О Р, А где поправка ю» находится из уравнения Вп» = г„. 482 (18) и равен » (- » (АВ-'Агь Аг»)' 1 АВ-'Аг» 1» 1Аг»)(» Формула (15) еще непригодна для вычислений, так как содержит неизвестные величины. Преобразуем ее. Используя разложение (9), получим Аг„= Ау„— 7= Ау — 7" = г»+(, (17) где г„= Ау» — 7 — невязка. Так как 7 ц )»ег А*, то в силу леммы 3 В 'Я1сегА и, следовательно, АВ-'Аг„=АВ 'г„.
Подставляя это выражение, а также (17) в (15) и учитывая равенство А*7'= О, получим Отметим, что (18) совпадает с формулой для итерационного параметра ть+! метода минимальных невязок, рассмотренного в главе ЧП1 для уравнения с невырожденным оператором А. Получим теперь оценку скорости сходимости для построенного метода. Умножим (14) слева на А, вычислим норму левой и правой частей и, учитывая, что !!Агг!!=~я„!!р, получим следующую оценку: !!гь,,!!р~<!)Š— та~!АВ->!!!~ а !! гь!!р (19) для любого т„+,. Из (16) и (19) получим для любого т„+, рд,,! ..!!Š— та~!АВ !/!ь„л (20) Если обозначить р, = ш(п !! Š— тАВ Ц„ж то из (16) и (20) будет следовать оценка для погрешности !! гь+! !!р < р0 Ыр (21) Здесь обозначение !! В !!! л используется для обозначения нормы оператора Я в подпространстве пп А.
Если р, ( 1, то итерационный метод (11), (18) будет сходиться в Йр и из (21) получим, что !!г„!!р(рог,!~!, я=О, 1, ... (22) Осталось только подчинить выбор параметров т„условию (13), если )~0. Для этого поступим следующим образом. Выполним по схеме (3) (и — 1) итерацию, выбирая у,=А*у, где <рЕН, используя для параметров та+„1 =0, 1, ..., и — 2 формулу (18). Выполним еще одну итерацию, выбирая л-! т„= — ~ т. Тогда условие (13) будет выполнено и, следовательно, у„=у„. Оценим теперь норму погрешности г„=у„— и в Нр. Так как у„=у„, то из (11) получим у„=у„,— т„В '(Ау„,— Д=у„,— т„В 'Аг„р Отсюда г„= г„,— т„В-!Аг„г и после умножения на А будем иметь Аг„= (Š— т„АВ-!) Аг„!.
Вычисляя норму, получаем оценку ~г„!!рЯŠ— т„АВ !~ьпл!)г„!~р. 16~ Подставляя сюда (22) и учитывая, что в силу выбора у, имеем равенство у, =- у„найдем ~~~у„— и(о<<~)Š— т„АВ '))ълро '~~ус — и)о. Рассмотрим частные случаи. 1) Пусть В=Е, а оператор А самосопряжен в Н. Пусть 7, и 7,— постоянные в неравенствах 7,(х, х)<(Ах, х)<7,(х, х), 7,>0, АхФО. (24) В этом случае условия 1 выполнены.
Найдем р, и оценим норму оператора в (23). Так как опе- ратор А самосопряжен в Н, то, используя (24), получим "(Š— тА)ь,л= апр )! — с ' ~< снах )! — т1(, (Аи, и) Аи ФО (и и) 7,<1<7, С вычислением указанного максимума н выбором т из условия его минимума мы встречались в главе Ч! при изучении метода простой итерации. Там было найдено, что ппп гпах )1 — т(~=р,= —, $= —. 1 — $ 71 7,<г<7, !+С тс Итад„р, найдено. Далее, при В=Е формула (!5) для параметра тэ„записывается в виде (Ах, х) т„„,= А ' 1, х= Аг„б пп А. (Ах, Ах) ' Так как А = А' и 7, > О, то неравенства (24) эквивалентны следующим неравенствам (см.
гл. Ч, 3 1, п. 3): 7,(Ах, х) <(Ах, Ах)<7,(Ах, х), АхчьО. Поэтому параметры т для А <и — 1 удовлетворяют неравенствам 1(7,<т,((1)7,. Отсюда найдем оценку и-1 0< — т„= ) т)<":. (М 7с Оценим норму оператора в (23). Учитывая (24) и (25), получим ~11Š— т„А)пыл< гпах )! — с„((= ЪС~<7~ тя =1 — т„у,<1+ (и — 1) — =1+(и — 1) 1+Рэ 7с Подставим эту оценку в (23) и найдем ))у„— и))о "р3 '~1+(и — 1) — ~'~ фу,— и(о. (26) 2) Пусть В=В', А=А' и АВ=ВА. Пусть у, и у,— посто.
янные в неравенствах у,(Вх, х)((Ах, х)ч-..у,(Вх, х), у, > О, Ах~ О. (27) В этом случае условия 1 выполнены, оператор АВ-' само- сопряжен в Н и можно показать, что для погрешности метода (3), (18) будет верна оценка (26). 3) Пусть операторы В*А и АВ* самосопряжены в Н, а у, и у,— постоянные в (27). В этом случае в силу леммы 2 условия ! выполнены. Кроме того, оператор АВ ' будет самосопряжен в Н.
Можно показать, что и в этом случае оценка (26) имеет место. 3. Метод с чебышевскими параметрами. Рассмотрим теперь итерационные методы (3), параметры т„для которых выбираются с использованием априорной информации об операторах А и В. Сначала приведем некоторые вспомогательные утверждения, необходимые нам для дальнейшего изложения. Лемма 4. Пусть вьлполнены условия А=А')О, В=В')О, АВ=ВА (28) и заданья постоянные у, и у, в неравенствах у,(Вх, х)((Ах, х)(у,(Вх, х), у,>О, Ах~О. (29) Обозначим через 0 один иэ операторов А, В или АВ 'А и определим на подпространстве пи А оператор С С=Р-ы'(РВ 'А)Р-»'.
Оператор С самосопряжен в пи А и удовлетворяет неравенствам О ( у, (х, х) а-'(Сх, х) < у, (х, х), х Е пп А. (30) Действительно, из (28) и следствия к лемме 2 вытекает выполнение условий !. Далее, оператор 0 самосопряжен в Н и положительно определен на пи А. Для примера докажем положительную определенность оператора 0 = АВ-'А. Пусть и Е !ш А и ичьО. Так как (Ри, и) =(В-'Аи, Аи), а оператор В ' положительно определен в силу ограниченности и положительной определенности оператора В, то (Ои, и)) О, причем равенство нулю возможно лишь при выполнении условия Аи=О.
Но это противоречит сделанным предположениям. Оператор 0 отображает па А на пи А, поэтому существует 0-'н, который также отображает это подпространство на себя. Следовательно, на !шА можно определить указанный в лемме оператор С. Переход от (29) к (30) доказывается так же, как это было сделано в гл. Н!, 8 2, п.
3. Лемма доказана. Лемма 5. Пусть выполнены условия В'А=А'В, АВ'=ВА' (31) 485 и заданы у, и у, в (29). Обозначим С, = А В ' и С, = В 'А. Операторы С, и С, самосопряжены в Н и удовлетворяют неравенствам у,(х, х)<(С,х, х)<у,(х, х), у,>О, хЕ!шА, (32) у!(х, х) <(С,х, х)<у,(х, х), у, > О, х~ па А'.
(33) Самосопряженность операторов С, и С, непосредственно следует из (31). Докажем для примера (32). Рассмотрим задачу на собственные значения АВ-'о — Ли=О, сЕН. (34) Так как оператор АВ-' самосопряжен в Н, то существует орто- нормированная система собственных функций задачи (34) (о„ о„..., о, ср+„..., ом). Пусть о„...„о — функции, соответ- ствующие собственному значению Л = О, а ор „..., о, соответ- ствуют ненулевым Л.
Легко видеть, что о;Е'кегА*, 1(!<р, о, Е пп А, р+1 < ! (Н, и в силу разложения Н на подпростран- ства (2), функции ор „..., ол, образуют в ппА базис. Тогда для х Е 1ш А имеем х= ~ сьлол, С,х= ~ Л алов, лев+! л=р~~ и в силу ортогональности собственных функций (х, х) = ~~ ал, (С,х, х) = ~ Леал. Лев+! л=р+1 Отсюда получим неравенства ппп Лл(х, х)<(С,х, х)< !пах Лл(х, х).
я+!.слчн р!.!<л<н Осталось найти минимальное и максимальное собственные значения, соответствующие собственным функциям задачи (34), принадлежащим пп А. Запишем (34) в виде Аил — Л„Ви =О, р+1(й(Н, (35) где ил — — В !с„Е ив А* и, следовательно, Аи„чьО. Умножая (35) скалярно на йл и используя (29), получим, что ш)п Л„= у„шах Л„= у,. р+!<л<н р+!<л<н Неравенства (32) доказаны. Справедливость (33) устанавливается аналогично. Лемма доказана. Обратимся теперь к задаче выбора итерационных параметров для схемы (3). С учетом условий 2 запишем ее в следующем виде: 486 В~я ~~+Аул=~ уо ЕА'<р Х т,=О. (36) х„= П (Š— гуС) х„ /=! Л )хл(~(1Рл(С)((1х»)ь Рл(С) = П (Š— т,С). 1=! Учитывая самосопряженность С и неравенства (41), получим '1Р„(С))) .. шах 1Р„(1)~.
т,<»<т, (42) Легко видеть, что ~ т7 — — — Р„'(0), !=! поэтому полином Р„(1) нормирован двумя условиями Р„(0) = 1, Р„'(0) = О. '(43) 487 Если условия 1 будут выполнены, то параметры т» нужно выбрать из условия сходимости схемы (11) прн указанном выше ограничении на сумму т.. Рассмотрим уравнение (14) для погрешности схемы (11). Если выполнены условия леммы 4, то, полагая в (14) х» — — В-»/лх», где 0 — один из операторов леммы 4, получим следующее уравнение для эквивалентной погрешности: х»+,— — (Š— т„„С)х„, й=О, 1, ..., х»ЕппА.
(37) Оператор С также определен в лемме 4. Если выполнены условия леммы 5, то обозначая Вх» =х» или Ах» —— х„, получим уравнение х»+,— — (Š— т»,»С!)х», й=О, 1, ..., х»ЕппА. (38) В этом случае 1х»1=1х»11о, где О=В*В нлн А'А. Если обозначить 㻠— — х», то получим уравнение х»„— — (Š— т,С,)х„, й=О, 1, ..., х»ЕппА', (39) и в этом случае 1х»1)=Що, где 1»=Е. Операторы С, н С, определены в лемме 5. Итак, во всех рассматриваемых случаях мы получилн уравнение вида х»+,— — (Š— т»,,С)х„, Й=О, 1, ..., х„ЕН, (40) в подпространстве Н„причем в силу лемм 4 и 5 оператор С самосопряжен в Н„действует в Н, н удовлетворяет неравенствам у,(х, х)((Сх, х)(у»(х, х), у»>0, хЕН„(41) где 7! и тл взяты нз неравенств (29). Из (40) найдем СлеКова!тельно, мМ приходим:и ввдичепостреении иолинома степейй и, 'удовжтйоряющеге ус)гениям (43) и наименее,уклоняющегося от нуля на отрезке 0<7!(1~у!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
