А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 85

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 85)

длины отрезков [7„7>1 и [7„7!) одинаковы. В этом случае имеем 7! = 7>7>> 7! = 7>7>. >. 77! 7> 7! Т! Покажем, что в рассматриваемом случае построенный набор параметров т наилучший. Это утверждение нужно доказывать, поскольку при построении параметров т„для схемы (2) мы наложили и условий (7), следовательно, выбор параметров был подчинен дополнительным ограничениям. Из (5) и (8) найдем, что к,„= 9,„(С) х, = Р„(С) х„ где 2 » Я,„(С) = Ц (Š— т,С) = Р„(С) = Ц(Š— гь С).

(24) !'=! !=! Рассмотрим соответствующие алгебраические полиномы 1~ь,((ь) и Р„(Х) ()>=р! — 2ар). Если параметры в7 выбраны укаэанным 465 в теореме 1 образом, то полипом Р„(Л) следующим образом выражается через полипом Чебышева 1-го рода Т,(Л) (см. гл. Ч1, $ 2, и. 1): Р (Л)=д Т ( — ) Р (О)=1, шах ) Р„(Л) ~ = д„. тю сА<та Заметим, что в точках 7,=Л, < Л, «...

Л„=у„где Ая ! — р0 соз— Ль — — ", А=О,!, ...,а, ма полипом Р„(Л) достигает экстремальных на [7„7,1 значений: Р„(Ль) =( — 1)ьд„, Уг=О, 1, ..., п. (25) Так как в силу (24) имеет место равенство 9,„(р) = Р„(Л), где Л и р связаны соотношением Л=р' — 2ар, то нз (25) найдем 9,„(рй)=(,1,„(рД=( — 1)ьд„, А=О, 1, ..., и, (25) где р» и р~+ †кор квадратного уравнения ~4 — 2ар„— Л„= О, я = О, 1, ..., и. (27) Далее, для рассматриваемого случая преобразование Л = Л (р) = = р' — 2ар отображает каждый из отрезков [7„ 7,1 и [7„ 7,1 на один отрезок [7„ 7,1. При этом точкам р = 7„ р= 7, соответствует Л = 7„ а р = 7, и р = 7, соответствует Л = 7,. Поэтому корни уравнения (27) расположены следующим образом: 7ь = Ил < рл-~ < .

< ро = 7а 7з = Ио < И < < рй = 7ю Предположим теперь, что построенный в теореме 1 набор параметров т не наилучший. Это означает, что существует другой полипом степени не выше 2и вида 0ы (р) = П (1 — 5р), для которого шах ~ ф„, (Р) ~ < д„, й = [7„7Д 0 [7а, 7Д. »ча Рассмотрим разность Я,„(р)=9,„(р) — Я,„(р), которая есть полипом степени не выше 2п.

Доказательство существования 2п+2 корней у полинома Я„(р) приведет нас к выводу о неверности сделанного выше предположения. 466 Для доказательства рассмотрим значения )г»„(р) в точках р», 0<й<п. Так как, по предположению, — д„<() (р)<д„, рЕ12, то й „(р») = 0 (р») — О . (р») = ( — 1) Ь вЂ” 6 .(1»») и й,„(р») < О, если й †нечетн, Я,„(рТ) > О, если й †четн.

Следовательно, при переходе от р» к р»»о О <и < и†1, полипом Я»„(р) меняет знак. Поэтому на отрезке (у„ у»1 существует и корней этого полинома. Аналогично, рассматривая значения Я,„(ф в точках )»», 0<я<п, докажем существование и корней и на отрезке (у„у,1. Далее, так как Л,„(у,)=г,„(р;) >о, Я,„(т,)=г,„(р1) >о, Я (0)=О, то в интервале (у„у») есть либо два различных (один из которых нуль) корня полинома й,„(р), либо нуль есть кратный корень.

Следовательно, на отрезке (у„у,] полипом Я„(р) имеет 2п+2 корня, что невозможно. Итак, для случая Ь»=Л» построенный в теореме 1 набор параметров т наилучший. Пусть теперь Ь < Л». В этом случае имеем у, = — т,у„ у, = у, (Ь» — Л!) — у,у,. Так как у» =- у, (Ь» — Л!) — у»Т! = = у,(у,— у,— у,), то у, и у, не зависят от у,.

Следовательно, для любого у, из интервала у,+у,— у,<у,<у, имеем один и тот же набор параметров т», и итерационный метод (2) сходится с одинаковой скоростью для любого у, из указанного интервала. В заключение заметим, что построенный в теореме 1 набор параметров т„будет наилучшим и для случая, когда я =1, а Л! н Л, не обязательно равны.

Это есть случай циклического метода простой итерации, для которого в схеме (2) т,,=т„ т,„= т„й = 1, 2, ..., а т, и т, находятся по формулам теоремй 1 для а=1 (га»=в») ,- — ~ .— !'Ч -!й;.,- — ~,~-~, ГЕ;. где в, = 2!(Т»+у,). Так как в этом случае имеем то для погрешности гь, итерационной схемы (2) будем иметь оценку Нз Ь<Мг Ь. 467 Так как в силу (6) и (7) два параметра т, и т, заменяются на параметры со, и а, а последние выбираются оптимальным обра- зом (со,=ос„и=а,), то, действительно, параметры т, и т, для метода простой итерации выбраны наилучшими, 4.

Итерационные методы вариационного типа. Выше мы рас- смотрели итерационные методы для случая самосопряженного оператора РВ 'А, когда не все собственные значения задачи (23) одного знака. При этом сходимость итерационного метода (2) обеспечивалась построением специального набора итерационных параметров. Рассмотрим теперь итерационные методы вида (2), сходимость которых при обычном выборе итерационных пара- метров обеспечивается структурой оператора В.

С таким спо- собом построения итерационных схем мы имели дело в методе симметризации уравнения (см. гл. т'1, 5 4, п. 4) и при изучении методов минимальных погрешностей и сопряженных погрешнос- тей в главе ИП. Пусть оператор В имеет вид В= †(А") 'В, (28) где  — произвольный самосопряженный и положительно опре- деленный оператор. В качестве оператора Р возьмем В, Тогда РВ-оА = А'А, С = В-ч А*АВ и*. Если оператор В не вырожден н незнакоопределен, то оператор С все равно положительно определен.

Кроме того, оператор С самосопряжен в Н. Поэтому, если заданы у, и у, в неравенствах Т,Е(С(уоЕ, у, > 0 или в эквивалентных им неравенствах Т,В(А*А(уоВ, у, >О, (29) то параметры то в (2) можно выбрать по формулам чебышев- ского двухслоййого метода (см.

гл. Ч1, 9 2, п. 1) !+Роно ' " " 1 2п Й=1,2, ...,п, (30) з 1 — $ то то= Ро= о +т о Итак, имеет место Тео рема 2. Пусть А невырожденный оператор. Для ите- рационного метода (2), (28) с параметрами (30), где у, и у, заданы в (29), имеет место оценка зсо 1 — У 4 1гЬ<4.1~ оЬ Ц.= ... Р,= !+во 1+у $ ' Если постоянные у, и То в (29) либо неизвестны, либо могут быть оценены слишком грубо, можно воспользоваться рассмот- ренными в главе т'П1 итерационными методами вариационного типа. Если для схемы (2)„(28) параметры т» выбирать по формулам («», «») т»,— — ( ', у=0,1, ..., оо», «») где г» = Ау„— 1 — невязка, а в — поправка, определяемая из уравнения Ва!» —— А'г», то получим метод минимальных погреш- ностей (см. гл. Н11, 9 2, п.

4). Как известно, для погрешности г„этого метода имеет место оценка ((г„)в <р,"~)го'1в где р, оп- ределено в (30). Если рассмотреть трехслойную итерационную схему Ву„+, — — а»+, ( — т»»,А) у»+(1 — а»+,) Ву», + т»+,а»+,~, й ) 1, Ву,=( — т А)у»+то!'~ у« 6 Н, где оператор В определен в (28), и выбрать итерационные пара- метры а»+, н т„+, по формулам («», г») т»„= ',, у=О, 1, ( в», г») т»+! («в «») ! ~-о »+о ! т» р» ь«» о)а») ' ' " ' '' о то получим метод сопряженных погрешностей (см. гл. П![, $ 4, п.

1). Для погрешности этого метода верна оценка ((г.(~; ~ (у«) го Ь. 5. Примеры. Рассмотрим применение построенных выше методов к нахождению решения разностной задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в прямоугольнике у„-„+у-„» +и'у= — ~(х), гав, у(х)=д(х), хну, ( ) где в=(хы — — ((л„)ло),0<1~(У„О<1<У„Й Ж„=(„,а=1,2), а у — граница сетки в. Сведем задачУ (31) к опеРатоРномУ УРавнению (1), П данном случае Н вЂ” пространство сеточных функций, заданных на в со скалярным произведением (и, о)= ~~~,'и(х)о(х)йо)оо, иЕН, оЕН.

«о« Определим оператор Я следующим образом: Яу= — Лу, уЕН, уЕН и у(х) =у(х), хбв, где Н вЂ” множество сеточных функций, заданных на в и обращающихся в нуль на у, а Л есть разностный оператор Лапласа Лу=у„-„+у„-„. Тогда оператор А определится равенством А=Я вЂ” и'Е. Так как оператор Я самосопряжен в Н и имеет собственные значения оо 469 то оператор А также самосопряжен в Н, и его собственные зна- чения ра выражаются через Ла по формуле )аа=Ла — т', Й=(й„йа), 1<й„~<ӄ— 1, са=1, 2. (32) Пусть паа не совпадает ни с одним Л„.

Обозначим через Л, и Л„ ближайшие к и' собственные значения Л„ соответственно сййзу н сверху, т. е. Л„, <т'<Л„. (33) В этом случае оператор А не вырожден и незнакоопределен. Для решения уравнения (1) с указанным оператором А рассмотрим явную итерационную схему (2) (В'=Е). Если положить Р=Е, то оператор РВ 'А совпадает с А и является самосопряженным в Н. Выбор итерационных параметров в этом случае можно осуществить, используя теорему 1. Из (23) получим, что необходимая априорная информация задается границами отрезков [Уа, У,1, [У„Уа1 положительной и отРицательной полУосей, на которйх расположены собственные значения оператора А.

Из (32) и (33) найдем у,=б — т*, у,=Л,— и', у,=Л вЂ” та, у,=д — иа, где а а т' 4 . Лаа Ч' 4 Лая б=ш(пЛ„= ~ — аз(па —, Д=шахЛ„= ~ —,соз' —, Найдем теперь у„ у, и величину )/ $, которая определяет число итераций для рассматриваемого метода, так что п ) л,(е) = =1п(2/е)1(21/$). Из формул теоремы 1 найдем та = (и' — Л,) (Л, — и'), (д — и') (д+и' — Л вЂ” Л„), Л,+Л,((д+6), (т' — 6)(Л„,+˄— и' — 6), Л,+Л )(д+6).

Отношение $=уа~уа зависит от и'. Чтобы получить представление о качестве рассматриваемого итерационного метода, найдем значение и' из интервала (Л с Л ), при котором $ максимально. Получим та=0,5(Лщ +Л ), при этом =("" ")' (Д иа)а 2иа ~ <Д [ (и' — 6)', 2иа) Д+6. 470 Если т' мало, т. е.

Характеристики

Список файлов книги