А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 80
Текст из файла (страница 80)
В силу замены (!5) мы приходим к задаче отыскания таких значений параметров хгм и х>з>, при которых достигается ш!п шах (Р„(и, о) (. !з> ч~ю к > Эаметнм, что если наложить некоторые ограничения на выбор параметров х!'> и х(з>, например хо>= — х!'> ==х, то, очевидно, что минимум может только / ! увеличиться. Поэтому х/ — и х/ — о/ ппп !пах Р,(и, и))е щ>п шах ~ ТТ ,и> „!з>чк«,«к 1 х чк«,«к> ~ха х/-/-и х/+о~ " х/ — и =пп'п шах (г«(и, х)(з, г„(и, х)=п , х/+и' Итак, поставленная выше задача об оптимальном выборе итерационных параметров ы(ь> н ыф> сведена н нахождению дробно-рациональной фуинцин ! ! ч36 переменных )с„(х, у) в прямоугольнике 6==!б! <х ' Л„ба<у<Аз) и выборе итерационных параметров из условия минимума максимума модуля этой функции. Поставленная задача является достаточно сложной и в и.
3 она будет сведена к более простой задаче о нахождении дробно-рациональной функции одной переменной, наименее уклоняющейся от нуля на отрезке. Если такие параметры найдены, то для погрешности а„нз (14) будет следовать оценка [а„![ээ~ рз)[ге[о, и точность е будет достйгнута, если положить рз а Искомый выбор итерационных параметров будет дан в п. 4, а здесь мы найдем постоянные г, з, 1 и ч преобразования (15). если г ы дч то преобразование (15) монотонно по и и о, а, следовательно, обратное преобразование и = (х+ з)Г(г+ 1х], о =(у — з)/(г — 1у) будет монотонна по х и у.
Поэтому для отображения прямоугольника (б„~хж:Ды ба~у~бе) на квадрат (Ч~и, п~1) достаточно, чтобы концы отрезка [6„, Д„[ переходили в концы отрезка [Ч, Ц. Это дает четыре соотношения для определения постоянных преобразования (15): гЧ вЂ” 5 гЧ+5 г — 3 Г-1-з 6,=- —, 6,= —, д,= —, д,= —. 1 — гЧ' 1+(Ч' 1 — !' =1-1-1 Найдем решение нелинейной системы (18). Заметим сначала, что в силу предположения (8) справедливы веравенстза Де+6,)6,+6, > О, Дд+6з~б,+бз > О. (19) Далее, нз (18! получим д 6 (1 — ч) ( — зг) "-'- (1 !) (1 (Ч) да+б,=- е, к( — О (1 1-1) (1 — 1Ч) (1 — ч) (г — з() (1+ 1) (! -г Еч) ' д 6 (1+Ч) (г — а!) "+'-( — ) (1+1Ч) (20) Отсюда найдем 1 — Ч'! ' (Дь — бз) (Дз — ба) ( -~'= 3 ( 1+Ч,) (дэ+6,) (Да+6,) и так как в силу (!9) знаменатель в нуль не обращается, то 1 — а /(Д,— Ь,) (Д,— 6,) Г Д, 6, (, 6, ' Чб[~''[' Найдем теперь д Из (20) получим дач-б, 1-4 Ч 1 — ! 1 1 — 1 Д,-О, 1-Ч 1-;-! л 1-[-1 (2Ц Отсюда будем иметь 1 — Ь Д+6, — Ь= — а.
1+Ь ' Дэ — бд (22) Из двух последних уравнений систсмы (18) найдем 1 1-[-1 Д,-~-Д,Ь = — [Д,(! — 1)+Да(!+1)[= — ' [Да+6,Ь[= ' 1- Ь 1 1+! з [да (1+И дэ (1+!и [д д Ь[ 2 2 1-1-Ь (23) (24) Так как г — з1= ' >О, [1[<1, 2Ь(Дэ -'; Дз) 11т Ь)' 437 г„(и, н), которая наименее уклоняется отнуляна отрезке [Ч, Ц. Иначе, нужно найти такие к'., при которых ! гпах [г„(и, х') [=ш[п гпах [г„(и, н) [=р. члис! и ЧыиК1 Т е о р е м а 1.
Пусть вьгполнены условия (6) — (8), а параметрьс ш(ы и ш1)> выбраны по формулам 1 1 где му и п определены' в (25), (26), а г, з, 1 и т! — в (21) — (24). Метод переменных направлений (2), (3) сходится в Но, и после вьтолнения и итераций для аварец!ности г„=у„— и будет верна оценка )!гв!!о(з'1'г,!йэ, где Ту=Е, А или А', а и определяется согласно (26).
Обратимся теперь к вычислительной стороне вопроса реализации метода переменных направлений с оптимальным набором параметров. Найдем приблиэкенные формулы вычисления иу и л и укажем порядок, в котором следует выбирать параметры иу из множества 9)1„. Используя асимптотическое представление для полных эллиптических интегралов при малых значениях й: ! 2, 4 ( 1) К(й) гг = й ~ ' й) ° — = — +О (аа), К' (з) =!п — +О (аз1п — 11, из (26) получим следующую приближенную формулу для числа итераций и: 1 4 4 и) пе (е) =-4!п — !п —. (28) и г! е' Рассмотрим теперь вопрос о вычислении рь Функция бп (и, й') монотонно бывает по и, принимая следующие значения: бп (О, л') = 1, бп (К' (л), й') =К.
оэтомУ Ч < Ра < Р„г «... Р, < 1. Далее, из свойства эллиптической функции г1п(и, л'): й бп (К' (й) — и й') следует, что имеет место равенство рг=Ч/рл+х-1 1=1, 2..., (29) Поэтому достаточно найти половину значений ро а остальные определить нз соотношения (29). Приближенную формулу для рп получим, используя разложение функции бп (и, й') по степеням й.
Для этого выразим функцию бп(оК'(Ч), Ч') через тета-функции Якоби, а эти функции представим рядами. Получим чаям+а> вм(м -!+о! Х где д=ехр ( — ) =16 (1+ 2 ) +0(Ч ). Отсюда находим ао-х х-о а+о — г е +~ "( 0( ) (8О) 1+ 9 4-9 439 где ,з(!+„з/2)/16, ) 4+5а, 0 < а < 1/2, '1 8 — За, 1/2«а < 1. При а)1/2 порядок остаточного члена в (30) равномерно по а равен 5, а при а < 1/2 порядок равен 4. Поэтому приближенная формула для бп(аК'(Ч), Ч') будет более точна для а)!/2, чем для а < 1/2.
Ил (25), (29) н (ЗО) получим следующие формулы для вычисления рй за>- > > -а т+а У' , (л/21 + 1 ь 1м, и, !+, а;+, >-а; р>=>1/р„е> ь 1 ~ > ~ (и/2), а>=(2> — 1)/(2п), д = г)з (1+ Чз/2)/ 16, где а) — целая часть а. ассмотрим теперь вопрос о порядке выбора х/ из множества 9й„. Из определения операторе перехода 5/ в схеме (2) и свойств (6), (7) получим 13/ !) = шах ( 7>а (Е/) ( ~ >пах а ' е <к<а, ~ю~»+л ю)> ьу~ е,<з<а, или в силу замены (15) (х/ — и Р 1 5/ ))ч( шах и<и<>1х/+и1' Так как все х/ принадлежат интервалу (гь !), то отсюда следует, что 15 1 < 1 для любого /. Поэтому итерационный метод (2), (3) будет устойчив к ошибкам округления при любом порядке выбора х/ иэ множества Яй„, например, х =и/, /=-1, 2, ..., л.
В заключение этого пункта покажем, что для построенного набора параметров ю(/и и юо> операторы ы/">е+Ао, и=1, 2, для любого / положительно определены в Н. Действйтельно, из (27) получим дю/ г — зг о> дю/ г — з/ (3> > О, = ) О. 3 / (! + /х,)з ' ах/ (1 — Гх/) Так как знаменатели в (27) не обращаются в нуль и >1 < х/ < 1, то отсюда и нз (18) найдем гч-1- з и, г из гч — з (з> г — з 5,= — ~ю/ =- — р 5„5>= — ~ан .-— =ль (ЗП =1+/Ч 1+Г ' 1-/Ч 1-1 Следовательно, в силу предположения (7) из (31) получим ю)"Е+А>си(5>4-бз) Е, ю>з'Е ,'.Азги(Ь>+бз) Е, и так как 5,+бз > 0 по предположению (8), то утверждение доказано. $2.
Примеры применения метода 1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Рассмотрение примеров применения метода переменных направлений начнем с решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. 440 Пусть на прямоугольной сетке «з = (ху — — («Ь„)Ь,) Е 6, 0<1< У„О<1 < «Ч„Ь„= 1 !1Ч„, а = 1, 2), введенной в прямоугольнике 0=(О«=х„<1„, а=1, 2), требуется найти решение задачи Лу=(Л,+Л,)у= — «р(х), х~«з, у(х)=п(х), хг'у, Л„у=у;,, а= 1, 2. (1) а а Обозначим через Н пространство сеточных функций, заданных на «з, со скалярным произведением (и, о) = ~ и(х)о(х)Ь,Ь,.
к«со Операторы А, А, и А, определим на Н следующим образом: Ау= — Лу, А у= — Л„у, а=1, 2, где уЕН, уЕН, у(х) =у(х) для хЕ«з, а Н вЂ” множество сеточных функций, заданных на «з и обращающихся в нуль на у. Разностная задача (1) может быть тогда записана в виде операторного уравнения Аи =), где А=А,+А,. Как мы знаем (см. п. 6 $ 1 гл, Ч), операторы А„самосопряжены в Н и имеют границы б„и Л„: 4 . «««««а 4 яь«« 6 = —,з!и' — ", Л = — соз' — ", а=1, 2, 2« ' " 2 аа а ьа «а которые совпадают с минимальным и максимальным собственными значениями разностных операторов Л„. Осталось проверить выполнение условия перестановочности операторов А, и А,.
Используя определение операторов А н разностных операторов Л„, получим А,А,у= у;„-„, =у, -„-„„=А,А,у, что и требовалось доказать. Ига(«, условия, требуемые для применения метода переменных направлений в коммутативном случае, для рассматриваемого примера выполнены. Используя определение операторов А, и А„ алгоритм метода переменных направлений для рассматриваемого примера можно записать в следующем виде: «зД«уь««м — Луь«.,м = оф«уз+ Л«уз+ «р, Ь, < х, <1,— Ь„(2) уь, ы, (х) = у (х), х, = О, 1„Ь, <. х, <1,— Ь„ е4«у„+,— Л,у„„= 4«уь+,и +Л«уь+ «м + «р, Ь, < х, < 1, — Ь„(3) у„„(х) =у(х), х,=О, 1„Ь,<х,<1,— Ь„ причем у,(х) =у(х) при хну для любого Ь~ О.
Таким образом„ алгоритм метода состоит в последовательном решении для каж- 441 дого фиксированного х, трехточечных краевых задач (2) по направлению х, для определения у22.ы2 на 22 и решении для каждого х, краевых задач (3) по направлению х, для определения нового итерационного приближения уь+, на ь2. Чередование направлений, по которым решаются краевые задачи (2), (3), дало название метода — метод переменных направлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
