А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Следовательно, Л ыйй< А„<(2 — Л,ц„) 121 или (А„у, у)<(2 — Х ы)(ййу, у)<(2 — Х ы) юах д„(х„)(у, у). «я« о)( Поэтому в качестве Ь„можно взять «ъ„=(2 — Х ы) так о„(х„). «««й« (д„у, у)„- < гпак ю" (х„)(А„у, у)-, ««, «««« (15) 447 Осталось найти Х;„. Если 4 =я „=к „= О, то оператор А„ вырожденный и ),;„=О. Иначе, в силу замечания 2 леммы 14 й 2 гл. Ч, будем иметь где ш" (х„) есть решение следу!ошей краевой задачи: ~""-) а„ш" '( — 0,5дыФ'= — д (х„), й„<х„<1„— Ь„, «а / «( 2 а — а„(Ь„)ш",„— (О,бд+ — и „) ш"= — а(„(0), х =О, аа аа — — а„(1„)~Я вЂ” ~0,5д+ — х „) ш"= — д„(1„), х„=1„. ха «а а Умножая (15) на Йа (ха) и суммируя по ха от 0 до 1а, получим ((е)у, у) < шах ш" (х ) (А„у,у) «хааа и, следовательно, Л ) шах ма(к„) «ч е Йа Итак, если !) е и „= х,„=О, то Ь =О, Ла=2 шах !( (х„), «а аеа иначе б„= ! мах а" (ха) ' «а е (оа Ь, =(1— ! гпах ма(«) !пах !(„(х ), «„а й„ к.
ааа где оа(х„) и ш" (х„) — решения задач (13) и (16). Вся необхо- димая для применения метода переменных направлений априор- ная информация найдена. Используя формулы теоремы 1, най- дем итерационные параметры метода и оценим требуемое число итераций. Приведем теперь формулы алгоритма метода переменных направлений для рассматриваемого примера. Учитывая опреде- ление операторов А„ А, и правой части !р, получим а!а+,,уа+ Л вЂ” Л,уа+ и = аа~',,уа+ Лара+ щ, (О М! 0<х<1оО<х<1 и) (а) а!~~ Уа+ — Лара+ = !аа+«Р + л+Л и + г, + т, 0<х,<1„0<х,<1,. Здесь, в отличие от задачи Дирнхле, трехточечные краевые задачи должны решаться и по границе сетки аа, а начальное приближение уа есть произвольная сеточная функция, заданная на всей сетке аа.
Используя условия (1О), можно показать, что для рассматриваемого примера, как и для случая задачи Дирихле, для числа итераций и справедлива следующая асимптотическая по й оценка: и р и, (е) = 0 (1и ( й (1и е), ( й ! ' = Ь, '+ Ф Отметим, что все проведенные здесь рассмотрения сохраняют силу и в случае, когда ге — произвольная неравномерная прямоугольная сетка в области 6.
Нужно лишь заменить введенные здесь операторы Л„операторами на неравномерной сетке. Подчеркнем, что предположения постоянства д, я~а и зависимости коэффициентов а„только от х„существенны. Если не выполнено хотя бы одно из этих предположений, то условие коммутативности операторов А, и А, не будет выполнено. В заключение отметим, что метод переменных направлений можно применять для решения разностных аналогов уравнения (9) и при других краевых условиях. В частности, на каждой стороне прямоугольника 6 может быть задано одно из краевых условий первого, второго или третьего рода с постоянными х~ 3. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности. Рассмотрим еще один пример применения метода переменнык направлений. Пусть на прямоугольной сетке в = (х;, =(1Ь„,1Ь,) Е 6, 0(1(М„О(1~У„Ь„=1„(М„, а=-1, 2), введенной в прямоугольнике 6=(0(х„(1„, а=1, 2), требуется найти решение разностной задачи Дирихле повышенного порядка точности для уравнения Пуассона Лу=(Л,+Л,+(я,+я,)Л,Л,)у= — ~р(х), хЕв, у(х)=д(х), хЕу, где Л„у=у„- „, х„=й*„(12, а=1, 2.
Здесь <р = 1+ х,Л 1 + х,Л,7, где 7" (х) — правая часть исходного дифференциального уравнения дРи дэ, 1.и = —,+ —,= — 1" (х), хЕ 6, и(х) =д(х), хЕГ. дк1 дхР~ Разностная схема (17) при указанном выборе ~р (х) имеет точность 0((й('), )й)'=й',+й'„а на квадратной сетке (й,=й,=й) при соответствующем выборе ~у(х) ~р =1+ —" (Л, +Л,) 1+ —" (Л;+4Л,Л, +Л2) ~ имеет точность 0(й'). 15 а. а. самарскна, а. с. иркрлаев Вводя операторы А„у= — Л„у, где уЕН, уЕЙ и Н вЂ” пространство сеточных функций, заданных на а, со скалярным произведением (и, о) = ~; и (х) о (х) Идб„ хдм а Н вЂ” множество сеточных функций, обращающихся в нуль на у, запишем (!7) в операторном виде Аи=7, (18) где А =А,+А,— (х,+х,) А,А,.
Как было неоднократно показано, операторы А, и А, обладают следующими свойствами: А, и А, самосопряжены в Н и перестановочны Аа=А«~ а,=1, 2 АдАд=АдАдд (19) оператор А„имеет границы б„и Л„, где 4 . яадд 4 д падд 6 = — з1п' — Л = — созд— а — Ид 2!м ' а — Ид ля ' биЕ < А д < ЛаЕ ба ) Ою се= 1, 2. Имеет место Лемма 1. Если выполнены условия (19), (20) и х„Л„< 1, то операторы А,„=(Š— х,„А,„) 'А„, а=1, 2, (21) самосопряясены в Н, перестановочны и имеют границы б„и Л„, т.
е. сд=1, 2, 6„Е<А„<Л„Е, б„)0, где б и Л„определяются формулами (22) а 1 — х б„~ а 1 — хиаи Действительно, существование оператора А„следует из положительной определенности оператора Š— х„А„, если выполнено условие х„Л„< 1. Далее, представляя А„в виде А„=(А„' — х„Е)-д и учитывая самосопряженность операторов А„, А„' и А„' — х„Е, получим ( —,— х„) Е <(А„' — х„Е) (( — — х„) Е. Отсюда следует утверждение леммы. Перестановочность операторов А, и А, следует из перестановочности А, и А,. Лемма доказана. Для рассматриваемого примера условия леммы 1 выполнены, так как х„Л„ < 173.
450 Преобразуем теперь уравнение (18). Для этого запишем (18) в виде А,(Š— х,А,) и+А, (Š— х,А,) и=!'. (23) Применяя к (23) оператор (Š— х,А,)-1(Š— х,А,)-' и учитывая перестановочность всех операторов, получим из (23) эквивалентное (18) уравнение Аи=(А,+А)и=)-, (24) где А, и А, определены в (21), а 1=(Š— х,А,) '(Š— х,А,)-1г. Итак, решейие уравнения (18) сведено к решению уравнения (24) с самосопряжеиными перестановочными операторами А, и А„ границы которых заданы в (22). Для нахождения приближенного' решения уравнения (24) воспользуемся методом переменных направлений Вь+,~"' Уь+АУл= 1 А=О 1~ ° ° 'УобН~ (25) где В,=(в',"Е+А,)(вьь"В+А,), т,=а(и+вР.
Итерационные параметры а)и и вьв' находятся по формулам теоремы 1, в которых б„и Л„заменены на б„и Ь . Все необходимые условия применимости метода переменных направлений здесь выполнены. Осталось рассмотреть алгоритм, реализующий итерационный метод (25). Перепишем (25) в виде (в,'",Е+ А1) (вью„Е + А,) уд„— — (аьр,Š— А1) (вй,Š— А,) у„+ та.„,~.
В п. 4 ~ 1 было показано, что итерационные параметры в" и а(в для любого й удовлетворяют неравенствам 6,(а,',">(Х„ 6, ( в(ч ( Х,. Так как для рассматриваемого примера 6„) О, то, деля левую и правую части (25) на в11,',вД, и обозначая т11>,=1)в'.11„ тД, = 1)а1)„получим (Е+т,',",А,) (Е+т(ч,А,) у., = =(Š— т)ь,А,) (Š— т(1+',А2) + (тф,', + т„",',) ~. Применим к обеим частям этого равенства оператор (Š— х,А,) (Š— х,А,) и учтем, что все операторы перестановочны и (Š— х„А„) (Е+т!",',А„) =-Е+(т„'",',— х„) А, (Š— х, А„) (Š— тр ',А „) = Š— (ть~', + х ) А„, р= 3 — а, а=1, 2. 45! В результате получим (Е -1- (т~+', — к,) А,) (Е -)- (т~ „', — к,) А,) у„+, —— =(Š— (т)ь)+ к) А,) (Š— (ф, + к) А,) уь+(т(",,+Щ1) ~. (27) Итерационная схема (27) эквивалентна следующей схеме: (Е+(т„",',— к,) А,) уь,ч, =(Š— (ть1, + к,) А,) уь+(т~,',— к,) ~, (28) (Е+(ф+',— к ) А )у„, =(Š— (т~ь',+к ) А,) уь~ л+(т~,',+к,)1'.
(29) Эквивалентность (27) и (28), (29) доказывается следующим образом. Умножая (28) на т~„',+к„(29) на — (т~",,— к,) и складывая результаты, получим (тД~1+тД~) уь~ и= (тД~ — к )(Е+ (тД~ — к ) А ) у» + + (т(ь(, + к,) (Š— (т(ч, + к,) А,) ум (30) Подставляя (30) в (28), получим после несложных преобразований (27). Обратный ход рассуждений очевиден. Учитывая определение операторов А, и А„схему (28) и (29) можно записать в виде обычной разностной схемы (Š— (тД, — к,) Л,) уь+ и = (Е + (тД'„, + к,) Л,) уь+ (тьо, — к,) ф для Ь,<х,(1,— Ь„ (31) уь,ч,=у(х)+(к,+к,)Л,„у(х), х,=0, 1,.
Краевую задачу (31) нужно последовательно решать для Ь,( <х,(1,— Ь,. В результате будет найдено уь+сч для 0(х,(1„ Ь,(х,(1,— Ь,. Далее, (Š— (т(к, — к,) Л ) уь+, — — (Е + (тЯ.',+ к,) Л,) уха ч, + (т~,', + к,) ф (32) для Ь,(~,(1,— Ь„ уз~, = у (х), х, = О, 1,. Краевую задачу (32) нужно последовательно решать для Ь,( (х,(1,— Ь,.
В результате будет найдено у„„. Если сравнить числа итераций метода переменных направлений для разностной схемы второго порядка точности, рассмотренной в и. 1 3 2, и для схемы повышенного порядка точности, то в последнем случае число итераций будет несколько большим. В частном случае 1,= 1 = 1, М, = Ж, = У для Л/ = 10 это увеличение происходит на 1,4, а для У = 100 на 4ОА . Объем вычислений на каждую итерацию для обеих схем практически одинаков, а различие в числе итераций незначительно. Так как схема повышенного порядка точности позволяет пользоваться более грубой сеткой для достижения заданной точности решения дифференциальной задачи, то ее применение особенно выгодно в тех случаях, когда решение дифференциальной задачи обладает достаточной гладкостью.
4бв Напомним, что в 3 3 гл. 1П для решения задачи (17) мы рассмотрели прямой метод — метод редукции. Как для схемы второго порядка точности, так и для рассматриваемой здесь схемы, прямой метод будет требовать меньшего числа арифметических действий, :ем метод переменных направлений с оптимальными параметрами. й 3. Метод переменных направленнй в общем случае 1. Случай неперестановочных операторов. Пусть требуется найти решение линейного операторного уравнения Аи =г (1) с невырожденным оператором А, который представим в виде суммы двух самосопряженных неперестановочных операторов А, и А, с границами 6„ Л> и 6„ Л,: Аа= Аа баЕ ~ (Аа~баЕ >в= 1, 2 6>+6> > О> А=А,+А,. (2) Для приближенного решения уравнения (1) рассмотрим двух- слойную схему метода переменных направлений с двумя итера- ционными параметрами в"' и в"'.
В""', "'+АУ„=7, й=0,1, ...,У>ЕН, В = (во>Е+ А,) (в"'Е+ А,), т в"'+ в"'. Здесь итерационные параметры и оператор В не зависят от номера итерации й. Как и в случае перестановочных операторов А, и А„ итера- ционное приближение у„„ для схемы (3) может быть найдено по следующему алгоритму: (и"'Е+А,) уо+ и = (в"'Š— А,) уз+7', (вмЕ+ А>) уо, = (в"'Š— А) уо+>и+ ~, й = О, 1, ... Исследуем сходимость итерационной схемы (3) и найдем оптимальные значения параметров всо и в"'. Предполагая, что оператор и"'Е+А, не вырожден, изучим сходимость (3) в энер- гетическом пространстве Но, где О= — (вопЕ+А,)'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
