А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Множество всех внутренних узлов, как обычно, обозначим через е. Пересечением любой прямой, проведенной через точку х;Ев параллельно оси Ох, с областью 6 является интервал Л (х,). Концы этого интервала назовем граничными узлами по направлению ха. Множество всех граничных узлов по ха обозначим через уа. Граница сетки а есть у=у,0 у„так что в=а() у.
Сетка в построена. Введем ряд обозначений. Обозначим через а„(хз), р =3 — а, а=1, 2 — множество узлов сетки в, лежащих на интервале Л; в'„(хз) — множество, состоящее из в (ха) н правого конца интервала Л„; в„(хз) состоит из а (хз) и концов интервала Ь„. Обозначим х("'а) и х( ' ) узлы, соседние с хЕы„(хз) справа и слева и принадлежащие е„(хз).
Заметим, что если, например„ х(+' 1Ета, то этот узел может не совпадать с узлом основной решетки. Определим Ц(х)=х(+'а) — х, «„(х)=х — х( 'а), хбва, х(+1а)Ев . Во всех внутренних узлах сетки ы определим также средние шаги $„(х )=0,5(х„(1„+1) — ха(1а — 1)) как расстояние между соответствующими прямыми основной решетки. Задаче (1) на сетке в поставим в соответствие разностную задачу где 7(х) отличается от ~р(х) лишь в приграничных узлах.
2. Построение попеременно-треугольного метода. Для уравнения (3) рассмотрим модифицированный попеременно-треугольный метод В"'" "а+АУа — — Г, Я=О, 1, ..., та+1 (4) В=((2)+вН,))2)-~((2)+в)7,), Н,=Н;, Н,+г,=А. Определим операторы Р„Р, и Ы.
Как и в случае прямоугольника, выберем простейший оператор (2): Юу=-й(х)у, й(х) > О для хЕв, (5) н положим Ра9= — Яау, ДЕН н у(х) =у(х), хбв, где 3(,р= — ~ ~ — '- р-, + — '( — ':,' — '-) у|, а=1 ~а"' + 1 ~ а„+' аа) (б) Так как Я,+М,=Л, то получим, что Р,-(-Я,= А. Покажем, что операторы Н, н Р, сойряжены. Сначала вве- дем обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем.
Определим следующие суммы: (и, о)„(, ) ~ и (х) о(х) й„(х„), а( а) аа 6 аа(ха) (и, о)„+, = ~ и(х)о(х)Ь„-(х), к 6 а,„(аа) (и, о)„=((и, о),,(,, 1)„ и (х) о (х) Ь„(х) йа (ха). ~а е аа ка е а~ р=3 — а, а=1, 2, Используя введенные обозначения, скалярное произведение в Н можно записать следующим образом: (и, о) = ((и, о)аз < л, 1 ) , <,а = ((и, о)„, ма, 1)„, („,>. (7) Сначала докажем одно вспомогательное утверждение.
Пусть у,. и о; — сеточные функции, заданные для О =1(Л(, причем 425 уЕН и у(х) =у(х) для х6 в, у(х) =О для хну. Тогда разностная задача (2) запишется в виде уравнения Аи=г, (3) у,=уй=О и о,=о = О. Пусть и! — сеточная функция, заданная для 1(! (((('. Тогда имеет место равенство ((( 1 Л( — ! Ф-! ~ (ц,,— ц)ур;= — ~ (о;+,— о!)и;„у! — ~ (у! — У4,)ир;. (8) Действительно, имеем ЛУ- ! ~ '1(Ц+! — Ц) У(о(+(о(~! — о) иву!У;+ (У! — У(,) и(о!) = (=1 (((- ! ЪУ .у (и! Уо(+,у( — и;о(у! !) = и ,у , — Уо(уа = О.
У= ! Утверждение (8) доказано. Используя (8), легко показать, что для функций у(х) и о(х), заданных на еу н обращающихся в нуль на у, имеет место равенство (;У, )„— — (У, 9 Ч,„) — (29' У,-, !) . (9) Здесь использованы обозначения + Уа и" а = и (х("а)), и- "а аа (ха) Подставляя в (9) выражение и(х) = — аа(х))й„(х) и учитывая равенство Ь„(х(' а)) =-Л„'(х), получим У ! У !аа Ух УмножаЯ зто соотношение на йа(ха), сУммиРУЯ по «Уа и Учитывая (7), найдем Докажем теперь, что операторы Я! и КУ сопряжены.
Из (6) и (10) получим (РУУ, о)= — (М(у, о)= = — (У, ЯУо) = (У, ЯУо). Утверждение доказано. Отсюда, кстати, следует и самосопря- женность оператора А. 426 Нам осталось построить функцию !((х), определяющую оператор Й>, найти постоянные б и Л в неравенствах б!2!(А, !г»йб ~!га( 4 А, б ) 0 (Ау, у)=,~'., (а„у', !), у(х)=0, хну. Далее, из (5) и (б) найдем (Я,!х>-')г,у, у) =(!5-'М,у, Я,у) = Используем теперь лемму 2, полагая а+1 6„' Гаа аа » ! аа= Уха» Оа а.» у, а= 1» 2. аа В результате получим неравенство 7< ~+~у~ + ! а2 а, Положим здесь а+» ав аз '+ О,зяаая а=е(х)- а~1~+ о,зх,а~ й,ь,' е, а1 а, ь+' ь и определим а(х) следующим образом: ы»»=!„('"»» ), »-~)~„,.
*» 427 и воспользоваться теоремой 1. Все это мы сделаем так же, как и в и. 2 з 2, где была рассмотрена задача Дирихле для эллиптического уравнения в прямоугольнике на равномерной сетке. Сначала отметим, что в силу разностных формул Грина имеет место равенство Я,ж %,у, у)( (~ ( „"~'„„, ') ~ з Так как О„не зависит от х„, то с а+' а+ а а х< Еа,~ Следовательно, а у" ' ~ о р 1 ° и поэтому окончательно имеем Я,Ж) ')т,у, у)( Дальнейшие выкладки являются полным аналогом преобразований и оценок, полученных в п.
2 3 2. Приведем итог: в неравенствах (11) 6=-1, Л==4 шах ( шах (с (ха)+) Ь„(ха)) ), р=3 — а, и=ь 2~ х еО где Ь„(ха)= шах о" (х), с„(ха)= шах ш" (х), хвбыа, х~ Ею,„ к,„Е оз„ функция о" (х) есть решение трехточечной краевой задачи (." 1 +1 «,/х, а~- о" (х) = — О, х„~у, (12) а функция ыР(х) — решение задачи (13) (х) = О ха 6 уа~ Функция д(х) при этом вычисляется по формуле 428 Здесь предполагается„что я„:=я„(ха) ) О, О =0„(ха) ) О, р=3- — а, а=1, 2.
В результате получим неравенство Итерационные параметры ьс и (ть) вычисляются по формулам теоремы 1. Для нахождения уь„можно воспользоваться алго- ритмом О (Х) =ССс (Х) О(-сс>+(1, (Х) О!-сс>+И (Х) срь(ХВ ХЕ Ы, о(х) =О, хЕТ, уь„(х) =сс,(х) у),.сс~+()с(х) у1ссц+ и(х) с((х) о(х), х Еьс, уи,с(х)=0, хЕу, где сосассс ри ириса сосис сс исас сс с.! -сс сс и=! ~и а а Следует отметить, что в подобных случаях, когда вычисление значения Ву» требует больших затрат вычислительной работы, а ограничений йа объем запоминаемой промежуточной информации нет, целесообразно использовать второй алгоритм, описанный в и. 1 2 1.
3. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области. Рассмотрим в качестве примера применения построенного метода задачу Дирихле для уравнения Пуассона оси Ьси —,+ —,= — ср(х), хбб, и(х)=д(х), хЕГ. с Х2 Предположим, что решетка квадратная, т. е. хи =х,(!и), х„((а-(- +1)=х (си)+Л, !и=О, +-1, ~ 2, ..., и со=(х! — — (ссйс !сй)66, !и=О, ~1с ~2, При этом л =Ь, а шаги Ь~ (х) отличны от Ь только в приграничных узлах сетки ьс.
Воспользуемся разностной схемой (2), в которой положим аи(х)=1 и гс ==Ь. Чтобы применить построенный в п. 2 3 3 попеременно-треугольный метод, надо найти решения одномерных трехточечных краевых задач (12) и (13), которые в данном случае имеют вид Лап =о" = —,, хабьса(ха)с ои(х)=0, ХаЕУас (14) иа"а Ьа а ! ! ! ! харсс 2Ь( Ьаи Ьи 1' (! 5) ха Е а!а (ха) ссс (х) = О ха 6 уа Рассмотрим интервал Л, содержащий ас„(ха), и 'обозначим через ! (хз) и Ви(ха) его левый и правый концы. Тогда Ь-„(х) (6, если х — ближайший к 1а узел сетки ас„, и Ьи(х)(й, если х— 429 ближай!пнй к Е„узел сетки в„.
Все остальные шаги Ь+ равны основному шагу решетки й. Прн этом оператор Л„на сетке в„подробно записывается следующим образом: г +1„ |а !!гу — у у — у ~,.„= „+Ь„-, а„ й (У' " — 2У+У '"), 1„+Ь-„+И(х„(й„— И+ — И, у — у у — у о+а 2о(о 1а— 1„+И„+И<х <7„— й;,— й, 1+ — „~ о =- о"" + 1, х„= — 1„+ И, ( +) =-"" а/ ( в "- — "' Ђ и'" — 2ш+ ю '" = О, !а+Ьа+й~(хи<Та Ьа ~1+ — "„") = — "„" -'"+ф(1 — '„"), „=܄— И„. (1б) (17) Используя методы решения разностных уравнений с постоянными коэффициентами, изложенные в 2 4 гл. 1, найдем явный вид решения краевых задач (16) и (17): о (х) =- '"' — (а:+а.)("«+" — ай) +й-(1, й-) !а — !а я ! и(!'и ха)+ а( к к) 2 2а(!.
— ! ) для 1„+й <х„<ń— И+„. Так как И+„«=И, то (К+Ь„) (Ь4+Ь вЂ” И„)) й„(й — й„-), 430 Решения уравнений (!4), (15) можно найти в явном виде. Для этого подставим краевые условия в уравнения, записанные в точках х„ = 1„+й„- и х„ = й„ вЂ” й„'. Эти уравнения преобразуются, они станут двухточечными, и их можно рассматривать как новые краевые условия для трехточечных уравнений с постоянными коэффициентами, записанными для 1„+Ь +Ь<х„<Е— — й„' — й.
Следовательно, будем иметь следующие задачи для о(х) и ш(х) (верхний индекс а у о и ш временно опущен): поэтому 1 о (х)~ ~~у (х~~ (а)(~а ха)+1~ ~~у ~ 2 ) +1ф гв" (х)<-, а=1, 2. Следовательно, хз) п1ах э (х) ~~ аз (, 2 ) + 1' Х,„Е Ю(~ с (хз) = 1иах 0Р (х) (— ! .ч» Е О(~ Следовательно, А=О(1',1Д'), где 1,— диаметр области О.
Поэтому в силу теоремы 1 для числа итераций верна оценка 2 У 2 т~' ч 2 У 2 !У 2 Уьб, где У вЂ” максимальное число узлов по направлению х, или х,. Таким образом, число итераций для рассматриваемого модельного примера зависит лишь от основного шага й решетки и не зависит от шагов в приграничных узлах сетки в. Сравним оценку (!8) с оценкой числа итераций для случая задачи Днрихле в квадрате со стороной 1, и числом узлов Лг по каждому направлению для квадратной сетки е. Соответствующая оценка для числа итераций была получена в и. 4 2 1, она имеет вид л) и,(е) =0,281/У1п(2(е). Отсюда следует, что для произвольной области 6 число итераций модифицированного попеременно-треугольного метода практически такое же, как и число итераций для той же задачи Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате, сторона которого равна диаметру области О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
