А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Если вместо прямоугольника 6 рассмотреть р-мерный параллелепипед б=(0(х„<1, сс=1, 2, ..., р), а в нем разностную задачу Дирикле для уравнения Пуассона а Лу = ~~~ у-„„= — ~р (х), х Е в, в у(х) =д(х), хну, на прямоугольной сетке а = (х; = (1,Ь„(,Ь„..., 1 Ь,) Е О, 0<1„(У„, Ь„У„=1„, а=1, 2, ..., р), то разностные операторы А, и М, определятся следующим образом: Р Р ~ьУ= Е йа Ух ~ ~ау=Е йд укц~ хЕы. а=! а=~ (5) для Ю=Е следует поло- В этом случае в неравенствах жить ии 4 . и ии»а Ь=,и —,зип— -! ииа так как Р ~-с 4 а=!»а и !а.и!'- иааи, и! = (».' — и.
и..! а ии !», < Š—,„Е М.!!'-(,Š—,„)(А~ у) а=! а=! а=! При этом в случае й!г,=)У,=... =Фр — — 7и1, 1,=1,=... =!р — — ! для числа итераций имеем оценку и."у пи (з), пи (е) = =1п — 0,28)и 7ий 1п —, Уич 2 г,= Ау„— 7, (Е+ еи,)7,) ⻠— — г», (Е+ а,)г,) ю» = пи„, у„„=у — т»„пи», й=О, 1, ... (ЗО) Этим алгоритмом следует пользоваться, когда параметры т„выбираются не по формулам (8), а по формулам итерационных методов вариационного типа.
Используя определение операторов А, )7! и )7» посредством разностных операторов Л, М! и 21„ формулй (ЗО) можно записать в следующем виде: !'»(! !)=~ —,а+а» ~У»(! !) — — „и '!У»(! 1 !)+У»(!+)и !Н— й2 2Х .. 1 —,(у»(1, ! — 1)+у»(1, !+1Я вЂ” !э(1, !'), (З1) 1 2 1~1~й!! 1и 1~1~~)Ч» )и У»)т=й'. йи»(1, !) =а!а»(! — 1, !)+рйи»(1, ! — 1)+нг»(1, !), (З2) йи»(0, !)=О, 1(!(7»!» — 1, йи»(1, 0)=0, 1~~1~й!» — 1.
406 которая не зависит от числа измерений р. Рассмотрим теперь вопросы, связанные с реализацией попеременно-треугольного метода для задачи (27). В п. 1 были приведены два алгоритма для нахождения у„„ по заданному у» для итерационной схемы метода. Рассмотрим сначала второй алгоритм. Для жй=Е он имеет следующий вид: Здесь счет ведется, начиная с точки! =1, 1=1 либо по строкам сетки в, т.
е. при возрастании Е для фиксированного Е, либо по столбцам при возрастании Е для фиксированного Е. пг„(Е, Е) =ссра(Е+ 1, Е)+Дш„(Е, !+1)+хаю„(Е, Е), Е= У,— 1, У,— 2, ..., 1, !=У,— 1, У,— 2, ..., 1, (33) ее„(У„Е') =О, 1<! <У,— 1, шх(Е, У,) =О, 1<Е<Л',— 1. Здесь счет ведется, начиная с точки Е =У,— 1, !=У,— 1, либо по строкам, либо по столбцам сетки при убывании соответствующего индекса Е или Е.
В результате у„+, определяется по фор- мулам ухм~ (Е Е) = уь (Е Е) тх+~щ» (Е 1) ~ !<!~<У,— 1, !<!<У,— 1, Ух+~ !т=Ы (34) Здесь использованы следующие обозначения: 61623+аок+л1) ьъна+во(Еч+аЕ) ь1 ~2 Ь1 ь2+ ио (М1+ а (35) Так как а, р, и ) 0 и а+р+к=1, то счет по формулам (32) и (33) устойчив. Элементарный подсчет арифметических операций для алгоритма (31) — (35) дает Е!., =10(У,— 1) (У,— 1) операций сложения и вычитания и Я,=9~ операций умножения, а всего ЕЕ=20(У,— !)(У,— !). Учитывая найденную ранее оценку для числа итераций, получим, что для вычисления решения разностной задачи (27) по алгоритму (31) — (35) с точностью е следует затратить в случае У„=У,=У, Е,=Е,=Е 9 (е) ж 5,6У')уУ1п (2/е) В этом алгоритме при переходе к разностной его записи нам будет удобно работать с сеточными функциями, заданными на в и обращающимися в нуль на у.
Эти функции совпадают с ум о и у „ на в и, как обычно, обозначаются у„, о и уь+,. Чтобы получить приближение к решению задачи (27), его следует определить так: у„(х) = Ее„(х) для х б ы и у„(х) = д (х), х Е у. 4ОВ арифметических действий. Рассмотрим теперь первый алгоритм, который имеет в данном случае вид Ч>х = Ф+ ыоЮ (5 + мыми) Уь тх+~ (АУь Е) (Е+а,й,)о=а„, (Е+ы,й,)ц„,=о. Для того чтобы осуществить в (36) переход к разностной (поточечной) записи, необходимо определить разностный оператор Я, который соответствует произведению операторов ЯЯ,. Заметим, что в силу определения операторы Я, и А', записйваются следующим образом: — У„-+ — „Ух, 2 <1<А!,— 1, 2<1<й(,— 1, 1 ! У+ л У '=1 2(!(Лг — 1 3' — „Ух+ —,У, а, — Ух — У,, 1(1(й7,— 2, 1 )(й7,— 2, 1 1 и У вЂ” ь Ух,э 1=!Ч,— 1, 1~(1'(~й(,— 2, 1 1 х 1 — л, У„,+ — „, у, 1(1(Л!,— 2, 1=йГ,— 1, Выкладки показывают, что если оператор Я определить следующим образом: — 1 2 1 а !ьа хбв, где 2<1<А',— 1, 2<]<У, 1 1=1, 2(1'(!'11,— 1, О, 1 а' ' 1 1 ~а э 1 1 — +— а,' ь1 2<1<0,— 1, 1=1, то Р,й,у= — Ъу, где уЕН, уЕЙ и у(х)=у(х) для хЕв.
Используем определение операторов А, Я, и Р„а также полученное выражение для Я,Я, и запишем алгоритм (36) в виде ср„(Е, !) =(Яь+,— о(1, 1)вх]у,(Е, !)+аь+;[уь(1+1, /)+ +У„(Š— 1, !)]+Ьх+, ~Ух (1, 1+ 1) +Уз(Е, 1 — 1)]+ +с(у„(1 — 1, 1+1)+уз(1+1,1 — 1)]+та+,Д1,1), (37) 407 где обозначено т»+т и» у ао»эо ~ а„+ —— — — — ~1+-з-+— а,' а', ~ а, ь,")' т»+! а» / а, м,~ Ь„, = — — (1+ + ) а» ~» ~ а, 'а»/' с= —,',, да+,— — 1 — 2(а „.з+Уэь+ +с). ь»/4 Далее, о (У, У) = ао (1 — 1, У) +Ро (У, У вЂ” 1)+ к<Р» (У, У), 1=1, 2, ..., Ж,— 1, 1=1, 2, ..., Ж,— 1, (38) о (О, у) = О, 1 < у < У,— 1, о (У, 0) = О, 1 <1< У,— 1, у»~,(У, у) =ау„»,(1+1, у)+1)у„+,(У, у+1)+ко(У, у), !=У,— 1, У,— 2, ..., 1, у=Ж,— 1, Ж,— 2, ..., 1, (39) у,„,),=0, где а, р и к определены в (35). Подсчет числа арифметических действий дает У',У~ =1!У,У,— 10(У, +Ж,)+10 онерацнй сложе- ния и вычитания и Я,=Я~ операций умножения, а всего (у =22У,Ж,— 20(У,+У,)+20.
Это примерно в 1,1 раза больше, чем в алгоритме (31) — (34). Преимущество же алгоритма(37) — (39) заключается в том, что здесь не требуется дополнительная па- мять для хранения промежуточной информации ~р„(у, у), о(у, у), и вновь определяемое уз~,(у, у) располагаются последовательно на месте, которое занимало у„(у, у), Замечание 2. В случае р измерений оператор Яимеет вид » !чя б!У с»»У»» +Е с» уьа У»» +УУ =! аи "'""" =~а„»"'."а где Замечание 3.
Блочному попеременно-треугольному методу соответствует следующее определение разностных операторов Я,нй,: ! ! ! ! Я~у = — у- — у-, М,у = — -». у- + — у» ° »»», ь»р а»» ь»' В этом случае для обращения оператора В необходимо использовать метод трехточечной прогонки. Это приводит к увеличению вычислительной работы на одной итерации, что не компенсируется небольшим уменьшением числа итераций (примерно в 1,2 раза). 408 и 2. Разностиые краевые задачи для эллнптическии уравнений в прямоугольнике 1.
Задача Днрихле для уравнения с переменными коэффици- ентами. Рассмотрим теперь применение попеременно-треуголь- ного метода к нахождению решения разностной задачи Дирнхле для эллиптического уравнения без смешанных производных 2 Лу= ~„, (а„(х) у; )„= — ~р(х), х~а, «а "а (1) у(х) =у(х), хну, в прямоугольнике, где в= а (1 у †прямоугольн равномерная сетка с шагами Ь, и Ь,: гэ =- (х;т = (1Ь„)Ь,), О (1( У„О (1~ У„ Ь„Аг„= 1„, и= 1, 2). Будем предполагать, что коэффйциенты а (х) удовлетворяют условиям 0(с,е 'а„(х) =с„а=1, 2. (2) Потребуем также, чтобы при фиксированном 1, 1 )ч.-.У,— 1, число узлов сетки в, в которых (а,)„,=0(Ь,'), было конечным и не зависело от Ь,.
Это означает, что соответствующий коэффициент в дифференциальном уравнении при каждом фиксированном х, имеет конечное число точек разрыва по нацравлению х,. Аналогичное требование должно быть выполнено и для (а,)„,. Разностная задача (!) сводится к операторному уравнению Аи =1 обычным образом. Здесь Н вЂ” пространство сеточных функций, заданных на ы, со скалярным произведением (и, о)=,~ Яи(х)о(х)Ь,Ь„ ~~о> Ау= — Лу, уЕН, уб,Н и у(х)=у(х) для хая; 1 (х) = ~р(х) + —, ~р„(х) + —, ~, (х), 1 1 1 где а,(Ь„х,)д(0, х,), х,=Ь„ <р1(х) = О, 2Ь1<х,<1,— 2Ь,, а,(!„х,)д(1„х,), х,=1,— Ь„ а,(х„Ь,)у(х„О), х,=Ь„ ~р, (х) = О, 2И,(х,(1,— 2Ь„ Используя разностные формулы Грина, найдем, что оператор А самосопряжен в Н и имеет место равенство (Ау, у) = — (Лу, у) = ~~' (а„у', 1) (4) где !а Са-Ва (и, о) = ~,)'., и (х) о (х) Ь„Ьа, =п,„ха =за р= 3 — а, и=1, 2.
Для приближенного решения уравнения рассмотрим поперемен- но-треугольный метод, построенный на использовании регуля- ризатора Я Ф А: Вуа" ~~+Ауь=~ й=О 1 УЮТЕН (5) В (Е+СзН1) (Е+ е>Н!)э Н! Н! 1 — Нд+Ню Регуляризатор Я выберем следующим образом: ~у ~у' 1у ух к +у~ х~ у~~» (6) а операторы )7! и Я, определим по формулам 2 2 ч ! ч 1 Нау= о(ау~ а1!У= .Ем а У о(ау= Лм ! Ух а=! а=! (7) В и.
4 $ 1 было показано„что для определенных здесь опера- торов А', и Я, имеют место неравенства ЬЕ < Н, Я,Я, < (Л!4)Я, з 2 Л=,'~", ', а=! а а а- ! а<к Далее, используя разностные формулы Грина, получим 2 (Ну у)= — (б1у у)= Х,(у 1) . (8) (з.(о(<0 (зо/1о Р=А, В или АВ-'А, 410 Следовательно, из (2), (4) и (8) вытекают неравенства с!Н< < А <с,Я, с, ) О. Так как оператор Я самосопряжен и йоложительно определен в Н, то для рассматриваемого метода имеет место теорема 2 с!Б=Е, в которой указан выбор итерационных параметров «! и (ть).
Из этой теоремы получим оценку для по- грешности где 1 — $7$ с, 2 Гсп () !! Ьс~ се1! УЧ' =Ь 2 л !+ р1" ' При малом т) получим оценку для числа итераций: / се 1и (2/е) ие п>п,(в), и (в)= 17 — ', 71= —,. с2 и'21/Ч В" — "' "'+Ад„=~, й=0, ), ..., :се-~-1 И= (Ю+сойс)ю ' (йб+сой,), Н1 — — Нзч Н1+Ре —— А, (9) где положим Юу=д(х)у, хбс». Здесь с((х) — некоторая положительная на со сеточная функция, подлежащая определению. В этом случае Ю вЂ” самосопряженный и положительно определенный в Н оператор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
