А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Итерационный метод (1), (17) является методом верхней релаксации, так как юо ) !. 4. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Рассмотрим применение метода верхней релаксации для нахождения приближенного решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона, заданной на прямо- 380 угольной сетке го = (х!! — — (!й„)Ь,) б б, О <1< У„О < ! < ЛГ„ !1„=1 !Ф„,а=1, 2) в прямоугольнике б=(0<х„<1„, се=1, 2): 2 Лу= ~~.", у-„, = — <р(х), хааа!, у(х)=д(х), хну. (19) Оператор А в пространстве Н сеточных функций, заданных на го со скалярным произведением (и, о) = ~~~" и(х)о(х) й,й, определяется обычным способом: Ау= — Лу, уЕН, уЕН.
Как мы уже знаем, оператор А, соответствующий задаче (!9), является самосопряженным и положительно определенным в Н. Следовательно, предположение 1 выполняется. Рассмотрим сначала точечный метод верхней релаксации. Если неизвестнд!е упорядочены по строкам сетки го, то разностная схема (!9) может быть записана в виде следующей системы алгебраических уравнений: 1 .. 1 .. /2 2Х вЂ” — чу(! — 1, !) — е у(! ! 1)+ ~уг+ у) у(! !) 1 "3 1 ..
! — — „,у(1+1, () — „, и(!', )+ 1) =р(1, 1) 1 з для ! = 1, 2, ..., У, — 1, 1 = 1, 2, ..., У, — 1 и у (х) = д (х), хЕу. Такой записи оператора А соответствует представление А в виде суммы А=йр+Ь+ с1, где 12!у= ( — '+ — ') у 1 .. 1 У(, 1) „,У(! 1) „.У( 1 ), 1 "! 1 Уу(!, 1) — —.,у(! т1, 1) — —,у(1, 1+1). 1 2 Для рассматриваемой системы точечный метод верхней релаксации в соответствии с формулой (3) будет иметь следующий вид: (' ") ~+~1 у,.!(!', !)=(1 — )1 ~+ — „:)у (1 !)+ы~а,у" (!' — 1 !)+ Й 1 1 ..
1 .. 1 +ру (! ! — 1)+~ уе('+1 !)+а уе(1 1+1)+!е(1 !)~ "Я 1 '2 для ! =1, 2, ..., У,— 1, 1=1,2,..., Л1,— 1, причем уе(х) =д(х) при х Е у для любого й)~ О. 381 Вычисления, как и в методе Зейделя, начинаются с точки ! = 1, 1= 1 и продолжаются либо по строкам, либо по столбцам сетки в. Найденное уь,(1, !) размещается на месте у„(1, !). Докажем теперь, что для рассматриваемого примера предположение 2 выполняется. Для этого нужно показать, что для любого комплексного гФО собственные значения р задачи гну(! — 1, !)+а,у(1,1 — 1)/!+ —,( ь,у(!+1, !)+а,у(1,!+1))+ /1 ..
1 .. т 1/1 .. 1 "! "2 1 "2 у(х)=0, хну не зависят от з. Действительно, полагая здесь У (1, !) = г!+! о (1, !), О < ! < й/„0 <1 < й!„ получим — о(! — 1, !)+ — о(! ! 1)+ а о('+ 1 1)+~ о(', 1+1)+ "1 2 "! "2 +р ! —,,+ь, )о(1, 1) =О, /2 2Х 1<!(~!Ч,— 1, 1<(<У,— 1, о(х)=0, хну Следовательно, р не зависит от г. Осталось найти оптимальное значение параметра в. Для этого необходимо найти или оценить снизу минимальное собственное значение задачи (8), которая для данного случая записывается в виде /2 2Х у(х)=0, хну Так как собственные значения разностного оператора Лапласа Ау=у;,„, + у;„известны зп + з1п й 1 2 й! 4 . /ЧЯЬ~ 4 .
Ь,яа а' 2! И~ 2! ~ и = , , ° 1 г Э то ! /2 2 Х 2Я, ь,яа. 2ав Следовательно, 2Л1 . яяа! 2/4 .,;тЛ, пив У ! УЗ 2! +аз ! /НЗ!П 2! з и параметр п»2 находится по формуле (14). В частном случае, когда 6 †квадр со стороной ! (1, = 1, = !) и сетка квадратная (У,=У,=Л'), имеем 2 П 2 — 2 П 1-, 2!П— а! П 1 — 2!П— М 2П р(З) =- =1 —— Л! 1+ 210— а» Заметим, что спектральный радиус оператора перехода соот- ветствующего точечного метода Зейделя оценивается по форму- ле (15), в которой следует положить п»=1. Это дает р(5) = = (! — х !„)'=со⻠—, что значительно хуже, чем для метода верхней релаксации.
Рассмотрим теперь блочный метод верхней релаксации. Если в блок объединить неизвестные у(», !) на 1-й строке сетки, то блочной записи оператора А соответствует следующее представ- ление А = .'6+1.+ (»', где 1 . . Г2 2Х ' . . ! 21у = — †,, у (1 — 1, !) + ( †, + †„,) д(», !) — †„ у (»' + 1, !), Еу (1, !) = — — 2 у (!', 1 — 1), Уу (1, !) = — †„, у (»', ! + !). Расчетные формулы для блочного метода верхней релаксации имеют вид 1 . .
Г2 2Х вЂ” ь,у ° (' — 1 !)+! р+а.) у-.(! 1) — „'у -('+1, !)= 1 2 (1 и») ( »уь(» 1 !)+ «2+ 22 у»(» I) а»у»(»+ 1 !))+ 1 l! .. ! + (а»у»+ (' ! — 1)+а у»(1,!+1)+р(1,!)), 1<»<У» — 1, 1~~1'~ У вЂ” 1, причем у»(х) =д(х), хну для всех 12) О. Для нахождения у„+! на (пй строке необходимо решать, например, методом прогонки трехточечную краевую задачу.
Покажем, что для рассматриваемого примера предположение 2 выполнено, т. е. собственные значения р задачи 1 .. 1 1 / 1 а 2»у (», 1 — 1) + — — у (», 1+ 1)+ !» ( — — у (» — 1, 1)+ 2 2 /2 21 .. ! 2 1<»<У,— 1, ! <!<У,— 1, у(х)=0, хну 383 у,(х) =з!и — з|п — ' к,лхв . Фвлхв |в (21) Подставляя (21) в (20), найдем )вв= 2 . ~ )!а= 1в 2 ° ° ° в!а 1, й=(йв, йв), у+ хв, где 4 халва Х = — з1п'— "а йт 2|а, а да=1,2, ..., !в'„— 1, а=1,2. Отсюда получим 2пв Мп' — +2йв в|п' —, в .
влпв в . лев 2|в 2|в )"а|п в . в'авв 2ав ~в!пв — в+М 2|в Для рассмотренного выше частного случая будем иметь 4 в|пв— л в вв 2|х' 2+4в|п— 2й )ва!и ~ ПВв в, ввв 1+2 Мп' — ( 1+ )х 2 в|п — ) 2Л 2Ф) 1 — х' 25!и— р(Я)= ж1 — 2 У2 1+ г' 2в!и— 21х' 1) =2з!пв— л 2Л| ' Сравнивая оценки спектрального радиуса блочного и точечного методов верхней релаксации, находим, что блочный метод будет сходиться в )'2 раз быстрее, чем точечный метод.
С другой стороны, блочный метод требует большего числа арифметических действий, затрачиваемых на реализацию одного итерационного шага, чем точечный метод. В заключение приведем число итераций для точечного метода верхней релаксации в зависимости от числа узлов Ф по одному направлению для а=10-'. В качестве модельной задачи возьмем 364 не зависят от г. Это легко устанавливается при помощи замены у(1, 1) = его(|', 1), 0 =. Е:У„О<1( |в',. Найдем теперь оптимальное значение параметра и».
Соответствующая задача (8) имеет вид Ук,х,+Ухк+) ( — „ву — Ухк) =О, ХЕм, /2 (20) у(х) =О, хну. Несложно проверить, что собственными функциями задачи (20) являются разностную схему (19) на квадратной сетке с У,=У,=У и ~р(х) = — О, д(х) =О. Начальное приближение у, (х) выберем следующим образом: у,(х)=1, х~в„у,(х) =О, хну. Процесс итерацйй будем оканчивать, если выполняется условие !!г.!!~ < в!! г.!!~.
(22) Из теории метода следует, что для погрешности г„имеет место оценка !!г„!!л(!!5"!!л!!г,!!А, и так как спектральный радиус оператора меньше либо равей любой нормы оператора, то р"(5) ( <!!5"!!л. Поэтому условие р" (5)<е нельзя использовать для оценки требуемого числа итераций. Приведем число итераций и, определяемое из условия (22), и для сравнения найдем число итераций и*, которое следует из неравенства р"(5) (е: У= 32 и= 65 и*= 47 У= 64 и =128 ив = 94 У = 128 и = 257 и* =! 87 Сравнение числа итераций для метода верхней релаксации н явного чебышевского метода, рассмотренного для задачи (19) в и. 1 3 5 гл. У1, показывает, что метод верхней релаксации требует примерно в 1,6 раза меньше итераций, чем явный че- бышевский метод.
Число арифметических действий, затрачивае- мых на одну итерацию, в этих методах практически одинаково. 5. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравне- ния с переменными коэффициентами. Рассмотрим теперь приме- нение метода верхней релаксации для нахождения приближен- ного решения разностной задачи Дирихле для уравнения с пе- ременными коэффициентами в прямоугольнике 2 Лу =,~ ~(а„(х) у )„„— д (х) у = — ~р (х), х ц в, у(х) =д(х), х~у, (23) считая, что выполнены следующие условия: О < с,(а (х)(с„хЕв, сс=1, 2, О(Ы, <й(х) (Ы„хЕв.
Для задачи (23) точечный метод верхней релаксации при упо- рядочении неизвестных по строкам сетки в описывается фор- мулой Ь(Е, !)у„~,(1, !) =(1 — в) Ь(Е, !)уь(Е, !)+ +в ~ —,' у..;(1 — 1!)+ —;у.!(1, !' — 1)+ Га, (е, /) .. ав(е, !) 1 "1 аз 1 ( 1 «(У, — 1, 1 «( ! «(У, — 1, (25) ззв !3 А. А. Самарский, е. с. Никалаев где Ь(.
' о»(1 I)+а (1-';1,1) + с»(0!')- о»Р,!+1) +,1 а» Ь» и уь(х) =у(х), хну для любого й) О. Для рассматриваемого примера операторы 16, Ь и У опре- деляются следующим образом: 1Ву= бу, 7-у((, 1) = — ' — '„";"у(1 — 1,)) — "'„';"у((,1 — 1), 1 2 Уу(1, 1)= — ', '1 у((+1,1) — ' '! у(Е, 1+1). и', а,' Предположения 1 и 2 выполняются, что доказывается так же, как и для примера из и. 4.
Для того чтобы найти параметр в, необходимо оценить постоянную 6 в неравенстве А)6Я. Зта задача была решена ранее в п. 3 2 5 гл. Ч1, где рассматривался простейший неявный чебышевский метод для разностной задачи (23). Приведем оценку для 6: 6 = пи'и — + пп(и 1 ! о <», <1, к» (х») о <», < П к» (х») где к„(ха)= !пах о" (х), р=3 — а, »х=1, 2, а о" (х) есть решение О <Кд <!»» следующей трехточечной краевой задачи: ( -;),— "= аао» („2 с(о = 6 (х)» ьа ~~ ха ~~ 1»» ьа» »»х 1 о" (х) = О, х„= О, 1„, йв ха(1а — йв, (1=3 — я, а=1, 2. Итерационный параметр н находится по формуле (17): 2 е» = с»о = 1+ Р»»(2 — »») Для сравнения описанного метода верхней релаксации с простейшим неявным чебышевским методом, рассмотренным в п. 3 2 5 гл. Ч1, приведем число итераций метода верхней релаксации для следующего модельного примера. Пусть разностная схема (23) задана на квадратной сетке с»Ч,=»Ч,=М и »р(х)=0, й»(х)=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
