А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Коэффициенты а,(х), а,(х) и д(х) выберем следующим образом: а,(х) = — 1+с((х,— 0,5)'+(х,— 0„5)'], а, (х) = 1+с !0,5 — (х,— 0,5)' — (х,— 0,5)'1, а(х) = — О, с) О. При этом в неравенствах (24) с,=1, с,=1+0,бс, Й„=да=О. Начальное приближение для итерационного метода верхней релаксации (25) выберем следующим образом: у, (х) = 1, х Е аа, у, (х) =О, хну, и процесс итераций будем оканчивать при выполнении условия (22). В табл.
9 приведено число итераций для метода релаксации в зависимости от отношения с,(с; и от числа узлов У по одному направлению для з=!О '. Для случая, когда а (х)=1 и д(х) = О, число итераций метода верхней релаксации приведено в п. 4 настоящего параграфа. Таблица 9 Из табл. 9 следует, что число итераций метода верхней релаксации для модельного примера примерно в два раза меньше числа итераций простейшего неявного чебышевского метода.
Так как число арифметических действий, затрачиваемых на реализацию одного итерационного шага, для указанных методов одинаково, то метод верхней релаксации примерно в два раза эффективнее простейшего неявного чебышевского метода. $ 3. Треугольные методы 1. Итерационная схема. В Ц 1, 2 были изучены два метода †мет Зейделя н метод релаксации. Эти методы принадлежат классу неявных двухслойных методов, оператору В в которых соответствует треугольная или блочно треугольная матрица.
В каноническом виде итерационная схема методов имеет следующий вид: (!2!+вЕ) "аэ' ~~+АУа=), у=О, 1, ..., У,ЕН, (1) где йб и  — операторы из разложения А на сумму диагональной, нижней и верхней треугольных матриц А=Ю+Е+У. (2) Методу Зейделя соответствует значение параметра ба=1. Для случая самосопряженного и положительно определенного в Н оператора А достаточное условие сходимости в Н„итерационного метода (1) имеет вид, О < оа < 2. (3) жт В з 2 мы рассмотрели вопрос об оптимальном выборе итерационного параметра в.
Считая, что выполнены предположения 1 и 2 и априорная информация задана в виде постоянной 6 из неравенства Ы><А, 6>0, (4) мы доказали, что оптимальное значение а, при котором минимизируется спектральный радиус оператора перехода 5 схемы (1), определяется формулой ыа 1+ г' а (2 — з) (5) В пп. 4, 5 ~ 2 были рассмотрены примеры задач, для которых предположения 1 и 2 выполнены. Эти предположения выполнены и для более сложных задач, например для пятиточечной разностной схемы, аппроксимирующей на неравномерной сетке в произвольной области задачу Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами. Существуют, однако, примеры задач, для которых предположение 2 не выполняется.
К ним относятся разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения со смешанными производными, разностная задача Дирихле повышенного порядка точности и другие. Неуниверсальность способа выбора итерационного параметра в и отсутствие оценок скорости сходимости метода в какой-либо норме являются основными недостатками теории, развитой в ~ 2. В настоящем параграфе будет рассмотрена общая схема треугольных итерационных методов, для которых итерационный параметр а выбирается из условия минимизации в Н„ нормы оператора перехода.
Здесь же будет найдена оценка скорости сходимости метода в Н„ в предположении самосопряженности и положительной определенности оператора А. Рассмотрение треугольных методов начнем с преобразования итерационной схемы (!). Введем операторы Я, и Н, следующим образом: 2 ' ' 2 1 1 Тогда разложение (2) будет иметь вид А=Я,+Н„ (6) и если А — самосопряженный в Н оператор, то операторы Я, и Я, сопряжены друг другу Н,=Н;, Подставляя Е=йг — Ю в (1) и обозначая 1 т = 2в1(2 — в), (8) запишем итерационную схему (1) в эквивалентной форме (Я+тй ) е«ч««~+Ау«=7' й=О 1 ° ° у«бН (9) причем в силу (3), (8) т> О.
Схему (9) можно рассматривать независимо от схемы (!). Именно, пусть самосопряженный в Н оператор А представлен по формуле (6) в виде суммы сопряженных друг другу операторов Я, и Я„а Ю вЂ” произвольный самосопряженный положительно определенный в Н оператор.
Итерационную схему (9) будем называть каноническим видом треугольно«х итерационных методов. Мы сохраняем название треугольные методы и в том случае, когда матрицы, соответствующие операторам )т, и Р„ не являются треугольными, а матрица, соответствующая оператору Й), не есть диагональная матрица. Из теоремы 1 следует, что для положительно определенного оператора А итерационный метод (9) при т > 0 сходится в Нл. Действительно, для этого достаточно установить справедливость неравенства Ы+т)г, > 0,5«А. Из (7) получим (Ах, х) =()с,х, х)+(Я,х, х) =2(Р,х, х) =2()т,х, х) (10) и, следовательно, (((2)+ т)т,) х, х) = (Ях, х) + 0,5т (Ах, х) > 0,5т(Ах, х), что и требовалось доказать. В заключение отметим, что методу Зейделя в схеме (9) соот- ветствует значение т= 2, а методу верхней релаксации— 2 ф то — 6). 2.
Оценка скорости сходимости. Оценим теперь скорость схо- димости итерационной схемы (9) в Н„, предполагая, что А — само- сопряженный положительно определенный в Н оператор. Переход в (9) к погрешности г„=у« — и дает однородную схему для г« В "" '«+Аг„=О, й=О, 1, ..., г,=у,— и, В=«1)+т«г,, откуда получим 㫄— — Бг„й=О, 1, ..., Б=Š— тВ- А, 11г«+ ЬЯйл~(г«(( (11) РЬ= Р (А„'„) = (АЯ«, 5«) (В 'А«, А«) «(АВ-«А«, В-«А«) 1 (А««) +т (А«' «) (12) 389 Оценим норму оператора перехода Я в Н„.
Из определения нор- мы оператора получим Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках. Исполь- зуя (10) и определение оператора В, получим (Ву, у) =(.'Бу, у)+тЯ,у, у)=(а()у, у)+0,5т(Ау, у). Отсюда найдем т'(Ау, у)=2т(Ву, у) — 2т(Ыу, у) или после замены у=В 'Ах т'(АВ 'Ах, В 'Ах) =2т(В 'Ах, Ах) — 2т(ИВ 'Ах, В 'Ах). Подставляя это выражение в (12), будем иметь (ЯВ Ах, В 'Ах)~ Проведем дальнейшие преобразования.
Полагая к= (В*) 'Юьчу, получим (!9В Ах, В- Ах) (сУ су) С ~ч В ~ 4 (В„) ~й()ч (Ах, х) (СУ У) Так как оператор С самосопряжен и положительно определен в Н, то, полагая у=С-'нЮ-'ьВ*о, найдем (ЯВ ~Ах, В 'Ах) (Ао, о) (Ах, х) (ВЩ-'В'о, с) Итак, окончательно будем иметь (Ао, с) 2' ов- 8". ху] . Отсюда получим, если у,— величина из неравенства у,ВЖ> 'В*(А, (13) то ]]3]]д ((1-2ту,) нс (14) Тогда в неравенстве (13) =6/(1+ 5+ ~ 66) (15) Так как у, зависит от параметра т, то оптимальное значение для т можно будет найти, получив при некоторых дополнительных предположениях относительно операторов Ю, )(, и В, выражение для у,. 3.
Выбор итерационного параметра. Выберем теперь параметр т. Нам потребуется Лемма 3. Пусть 6 и Л вЂ” постоянные в неравенствах 6Я(А, Рта Р( 4 А, 6) О. (15) Действительно, так как Вь =й>+тР„то Вйй ~В*=(/2/+тР,)йй '(/5+тЬ»,)=Ж>+т(Р,+Р,)+т»/~»,Я»Н,= = Я+ тА+т'Я,йр-%,. Используя предположения (15), отсюда получим В/й/ 'В" ((1/6+т+т'Л/4) А.
Лемма доказана. Итак, если априорная информация имеет вид постоянных 6 и Л в неравенствах (15), то у, оценивается формулой (16). Подставляя (16) в (14), получим )~ В ~~~ ( ф (т) = 1 — 2тб/(1 + т6+ т' — ). аа Осталось минимизировать функцию ф(т). Приравнивая производную ф'(т) нулю, найдем и~ ~," — /) ф'(т) = ( — '")' д~ »,—— О, т,== ° 4 / Так как при т( т, производная ф'(т) (О, а при т ) т, производная ф'(т) ) О, то при т= — т, функция ф(т) достигает минимума, равного ф (т,) = (1 — )~'ч))/(1+) 'т)), Ч = 6/»л. Итак, доказана Теорем а 6.
Пусть А и Ю вЂ” самосопряженные положительно определенные в Н операторы, а 6 и /1» — постоянные в (15). Треугольный итерационный метод (9), (6) при т=-т,=2/)»'6Л сходитсЯ в Нл, и длЯ погРешности г„спРаведлива оценка 1г„~(ч( ~~р" 1г,1л. Для числа итераций и сйраведлива оценка п>п,(е), и, (е) = 1и а/1и р, где р'=~ ~ ~ ), т)=ф.
4. Оценка скорости сходимости методов Зейделя и релаксации, Доказанная теорема 6 позволяет получить оценки скорости сходимости в Нл рассмотренных ранее методов Зейделя и верхней релаксации. В п. 2 9 1 и п. 4 92 указанные методы были применены для нахождения приближенного решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона на прямоугольной сетке 9=(ХН=(/йм /й»), 0~(1~(й/е» 0~(/~(»»»/» йа=/»»/»»»/»»» с»=1» 2) Ау=ух,л, +ук.х, = — ф(х), хбг», у(х)=д(х), хну.
391 Итерационная схема этих методов имела вид (1), где ~2+ 2)„ ! ' .. 1 ь»У(! 1 ") ь»У('т 1) ° "1 иУ(1, 1) = — — „, У'(!+1, 1) — „, У'(1,1+1). ! ' .. ! ~1 "3 Для метода Зейделя в =1, а для метода верхней релаксации а находилось по формуле (5), где 6 из неравенства (4) оценена следующим образом: (17) Приведем схему (1) для рассматриваемого примера к виду (9). Для этого определим операторы )с, и Р»! г!х!'! ° ~ 2 + ) У й У»'+З»У"' ° /! ! " ! ° Й»У= ( !й! + (!) У= У», У» ° ~2 ) ь, " и, "э ° Очевидно, что (Р +МУ=лУ= — ЛУ= — У»,»,— У,... Сопряженность операторов )7, и Я» друг другу легко устанавливается прн помощи разностиой формулы Грина. Как было отмечено выше, методу Зейделя в схеме (9) соответствует значение т= 2, а методу верхней релаксации — значеииет=2!) 6(2 — 6), где 6 определено в (17).
Из (11), (14) и леммы 3 следует., что для получения оценок скорости сходимости этих методов в Нз требуется найти 6 и Ь из неравенств (15). Постоянная 6 уже найдена. Найдем Ь. Из определения операторов !в1, Я, и А» получим ья Я,Ю-Ж,у, у)=0,5 „,+'„,()т,у, !тьу). (18) Далее, Я,у, й,у) = — „,Ь'„1) — „„(у.„у..)+ — „,(у'., 0~ ~ь ( (ь,+ — „,)~(у „, 1)+(у,„1)~ я,» — ',„, (Ау, у). Подставляя эту оценку в (18), получим (Йгй» ')т»У У)» 2 (АУ У) и, следовательно, в неравенстве (15) 6=2. Заа Оценим теперь скорость сходимости метода Зейделя и метода верхней релаксации. Из (11) получим 3 зы!А ( Р !й ~1 зф ~!А и, следовательно, для достижения точности е достаточно выполнить и) и, (е) итераций, где и, (е) = 1п з(1п()Я)~а. Из (14) найдем и, (е) = 2 1п е(1 п )! Я (~л~ )~ 1п — /(ту,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
