А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 69
Текст из файла (страница 69)
1 + —,, Уь(1+! 1)+ — „, У.('. 1+1)+<2(1, 1), 22 2 1 ( < ( й!2 — 1, ! (1 ( Л<2 — 1, причем у„(х) =д(х), х Е у для любого й) О. Вычисления начинаются с точки 1=1, 1=1 н продолжа- ются либо по строкам, либо по столбцам сетки в. Для нахож- дения уь,(<, 1) требуется 7 арифметических операций, а всего на реализацию итерационного шага потребуется 7М операций, где М=(!<!< — 1) (1<!2 — 1) — число неизвестных в задаче. Для рассматриваемого примера оператор В в конечномерном пространстве Н сеточных функций, заданных на в, со скалярным произведением (и, о) = ~ и(х)о(х)!<2!<„и, оЕ Н определяется .2 < 22 следующим образом: г2 2т' ..
! .. 1 Ву = (бу+ 1.) у = ( — 2+ —, ) у (<', 1) — —, у (! — 1, 1) — —, у (<, 1 — ! ) = 2 ь2) 2 !2 Ь2 2 =(г+,ь) У+ ~' — „'-. 370 где у Е Н, у Е Н и у (х) = у (х) для х Е м. Здесь Н вЂ” множество се- точных функций, заданных на н и обращающихся в нуль на у. Рассмотрим теперь блочный метод Зейделя. Если обозначить через 1еу — — (у(1, 1), у(2, 1), ..., У(У,— 1, 1)) вектор, состоящий из неизвестных на 1 строке сетки, то, как было показано в 91 гл.
1, разностная задача (6) может быть записана в виде трех- точечной системы векторных уравнений: — У',+С>' — 1'~,=)оу, 1=1, 2, ..., Уе — 1, где С вЂ” квадратная трехдиагональная матрица размерности (У,— 1)х(У,— 1), определяемая следукицим образом: (СР;.),. = (2у — й;у-., ),, д„= у„„. = О. Правые части Ру определяются формулами Гу=(й~р(1, 1)+ — ",' д(О, 1), ййр(2, 1)... „дар(У,— 2, 1), 1', ье й!р(У,— 1, 1)++У(У„1)) для 1=1, 2, ..., У,— 1, 1 Р =(д(1, 1), д(2, 1), ..., У(У,— 1, 1)) для 1= 0, У,.
Блочный метод Зейделя для системы (7) имеет вид и для нахождения )ей+'! требуется обращать трехдиагональную матрицу С. Если расписать схему (8) по точкам сетки, то получим сле- дующие формулы: ! .. /2 2т .. 1 ь' У""( '1) ~ь'+ ь' ) У'+'( ' 1) ~Р У'+'( + 1 ~1 ! .. 1 = —,уз+1(1, 1 — 1)+ —,ул(!, !+1)+(р(!, 1), (9) 2 !л 1<!<У,— 1, 1<1<У,— 1, причем у„(х) =а(х), хну для любого А~О. Для нахождения уз+, на /-й строке нужно решить трехточечную краевую задачу (9) с известной правой частью, например методом прогонки, и полученное решение разместить на месте у„в 1-й строке.
Блочному методу Зейделя соответствует следующий оператор В: ВУ= е У+ Ух + Ухк ~ УЕН УЕН ! ° ! зт! Пусть теперь на сетке в требуется найти решение разностной задачи Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами 2 Лу =-,У', (а„(х)у-, ), — й(х)у= — ~р(х), хна, (10) у(х) =д(х), х Е у, 0<с,<а„(х)<с„хбь, а=!, 2, 0<й,<й(х)<й„хам. Для рассматриваемой задачи точечный метод Зейделя при упорядочении неизвестных по строкам сетки будет иметь сле- дующий вид: ( т + (, )) ( )) а,((+ц /)+в,((, (), а,(Е, (+()+о,(ь', !)+й,. 6, ьз Ь,' ь2 +" ('„', ' ' у.('+1 )')+ ' '„.' у ((, 1+1)+р((, !) 1 ьа для (=1, 2, ..., У,— 1 и ! =-1, 2, ..., И,— 1, причем ул(х) = = д(х) при хну для любого ФЪО.
Оператор В в канонической форме итерационной схемы для данного примера определяется следующим образом: "1 ь2 где пространство Н и множество Н определены выше. 3. Достаточные условия сходимости. Сформулируем теперь некоторые достаточные условия сходимости метода Зейделя. Нам потребуется следующая Теорема 1. Пусть в уравнении (1) оператор Асамосопряжен и положительно определен в Н.
Тогда двухслойный итерационный процесс В""' "в+Аул=1 а=О~ ! уабН~ т>0, (11) сходится в Н„, если оператор  — О,бтА положительно определен в Н, т. е. выполнено условие В> — А. 2 Действительно, из (11) получим для погрешности г„=у„— и следующую задачу: В л+' "+Аг„=-О, 372 Установим для г„основное энергетическое тождество. Подста- 1 т (г»~1 — г»~ вим в (13) г„в виде 㻠— — ~ (г„,+г,) — 2 (, ) и получим ( Умножим левую и правую части этого равенства скалярно на 2(г +, — г») и учтем, что для самосопряженного оператора А имеет место равенство (А (г»„+г„), ㄄— г») =(Аг»+» г»+ ) — (Аг„г ).
В результате получим основное энергетическое тож- дество 2т(( — — 'А) "" ", "" г»)+('г»,.,()л — ((г»!(»=0. Отсюда и из неравенств  — 0,5тА > О, т > 0 вытекает, что '1г»„1л ())г»)л, т. е. последовательность (1г»!!лл ) не возРастает, огрзничена снизу нулем и является сходящейся.
Тогда из энергетического тождества следует, что Вт (( — — 'А) г'"' г' г"' г') =0 (14) Далее, из неравенства  — 0,5тА > 0 вытекает, что !(г +,— г»((- 0 при я- оо. Замечая из (13), что А" г»= — А — ч В(г»„,— г )/т, получим !) г»(~л (!)А ' )~(В!!'!)㻄— г» ~~ 1т' - 0 при й — со. Сформулируем достаточное условие сходимости метода Зейделя.
Теорема 2. Если оператор А самосопряжен и положительно определен в Н, то метод Зейделя (4), (5) сходится в Н,. Действительно, из (5) и теоремы 1 следует, что достаточно проверить неравенство йб+Š— 0,5А > О. Так как А =А*, то в (4) имеем (У=В* и ((йд+Š— 0,5А)х, х) =0,5((Ы+Š— (/)х, х) =0,5(Ж>х, х). зтз Так как А положительно определенный оператор, то для точечного метода Зейделя имеем аи > О, 1<1(Л4, а для блочного метода Зейделя матрицы аи —— а,"; > О. Следовательно, Ю=."2Р' > О.
Таким образом, Ы+Š— 0,5А > О. Приведем без доказательства еще одно условие сходимости метода Зейделя. Те о рема 3. Если оператор А самосопряжен и не вырожден, а все ан > О, то метод Зейделя сходится при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда А — положительно определенный оператор. Чтобы оценить скорость сходимости метода Зейделя, используют различного рода предположения.
Например, если выполнено условие ~я~ ~)а;.)(д(а«(, >=1, 2, ..., М, д(1, (15) ! ~.- > то метод Зейделя сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем д, и для погрешности г„имеет место оценка 1г„))(»)"))г»~!), где ~)г„(= >пах (ул> — и>(. ! б>ьг »! Действительно, из (3) получим для погрешности г1»>=у',.»> — и; однородное уравнение >-! м а; г'»+" = —,)'" а; г';»" >> — ~~' а; г';»>. «! >г! >=! >=>+ ! Отсюда найдем >-! М (""(-ц~ —."1( -~+ х ! — "'~(", ~< > >=>+ ! с-! М (,'"! — „'~(г»+>!)+,'», ~ — '~(гД. (16) >=! /=>»! Из (15) получим ,у>~ — „'~- -ф —,',~ (-а —:„). Подставляя эту оценку в (16), получим следующее неравенство: >-! г ! ! "$(~ —,' >! „,!.3.>!> — ~$ —,, )>,! >>7> Пусть шах ~г,'»»и( достигается при некотором ! =1„так что > )(г»+>(=1г,'~+»(.
Из (!7) при ! =>, получим ( -'г. ~ —.'!)>*.„>~>( -'г.' —;"'~)>*.! отсюда следует оценка 1 г» „) < >) 1 г» ) (... ( д»» '1 г» ,'). Утверж- дение доказано. Условие (15) означает, что А является матрицей с диагональным преобладанием. Для рассмотренных в и.
2 примеров применения метода Зейделя условие (15) не выполняется (>) = 1). В этих примерах оператор А самосопряжен и положительно определен в Н. Поэтому в силу теоремы 2 можно лишь утверждать, что метод сходится в Нл. Оценка скорости сходимости в Н„будет дана ниже после рассмотрения общей схемы треугольных итерационных методов.
З74 5 2. Метод верхней релаксации 1. Итерационная схема. Достаточные условия сходимости. Для ускорения сходимостн метода Зейделя его модифицируют, вводя в итерационную схему итерационный параметр о!, так что (Ю+!о!) +Аул=) я=О, 1, ° ° °, у,бН, (1) где, как и раньше, матрица А представлена в виде суммы А = Ю+В+ У. (2) Метод Зейделя соответствует значению о!=1. Сравнивая (1) с каноническим видом двухслойных итерационных схем„находим, что В = Ю + о!Т„тл = — о!. Как и для метода Зейделя, для рассматриваемого метода оператору В соответствует нижняя треугольная матрица, так что введение параметра !о не выводит нас из класса треугольных итерационных методов.
Новым является вопрос о выборе параметра со. Если расписать итерационную схему (1) по компонентам вектора уо+„то получим следующие формулы: ! — ! м ану!ы!! = (1 — !о) а!!у!У! — о! ~ а;;у';"" — и ~ а! у)Л!+!о7 (3) 7=! !=!о! для ! =1, 2, ..., М (найденное у';""' размещается на месте у!!!ь). Реализация одного итерационного шага осуществляется примерно с такими же затратами арифметических действий, как и в методе Зейделя. Итерационный метод (1) при о! > 1 называется методом верхней релаксации, при со = 1 †полн релаксации и при со < 1— нижней релаксации.
В 2 1 было доказано, что метод Зейделя сходится в Нл для случая самосопряженного и положительно определенного оператора А. Для сходимости метода релаксации, помимо этих требований, требуется дополнительное условие на итерационный параметр !о. Сформулируем достаточные условия сходимости метода релаксации. Теорема 4. Если оператор А самосопряжен и положительно определен в Н, а параметр ы удовлетворяет условию 0 < о! < 2, то метод релаксации (1) сходится в Н„. Действительно, из теоремы ! следует, что достаточно проверить выполнение неравенства Ю+ о!с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
