А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 102
Текст из файла (страница 102)
4 Е 1 гл. 1Ч. В каждом из рассмотренных случаев прямые методы реали- зуются с затратой 0(У,У,п) действий. В заключениеотметйм, чтоесликоэффнциенты удовлетворяют условиям й,=й,ор), й,=й,(г), д=сопз(, х~з=сопз(, а сетка не- равномерна по каждому направлению, то для нахождения решения задачи (46), (48) можно использовать метод переменных направ- лений с оптимальным набором параметров: Вь+г~~ ~~+Ада=~ Й=О* 1 ° ° учЕН. В,=(в~вЕ+А,)(о4а>Е+Ав), та — оз,"+в~~, Здесь оператор А, = — Л„А,у = — Л,у, где разностный оператор Л, определен в (26) с д,=о,бд, а Л,у=(а,у-)- — 0,5оу. Постоянные б„и Ь„, являющиеся границами оператора А, чав оцениваются следующим образом: 3, и Л, найдены в п. 3 9 2, постоянная 6, находится точно: 5, = 0,5Ы, а в качестве Л, можно взять й 3. Решение разностных задач в полярной системе координат 1.
Разностные схемы для уравнений в круге и кольце. Рассмотрим методы решения разностных схем для эллиптических уравнений без смешанных производных в полярной системе координат. Сначала изучим случай, когда область, где ищется решение, есть круг или кольцо в декартовой системе координат. В полярнойсистеме координат указанным областям соответствует прямоугольник 6 = (1, < г (» Ц, 1, «р < 5„1, > О, 1,, — 1, = 2я). Требуется найти решение уравнения г дг (Гй1 дс)+гя д,т (йвдз,) — Чи= — 1~ (Г, Ф)ЕО~ (1) являющееся периодическим по ф с периодом 2п и удовлетворяющее на границе прямоугольника 6 условиям: !) прн г=Е„1,<~р<Е, либо краевым условиям первого рода и(г, ~р) =и,+(~р), либо второго или третьего рода — й, — = х, и — д, (~р); ди ~ + (2) (3) 2) при г=1, > О, 1,(у<А, либо краевым условиям первого рода и(г, ~р) =д, (Р), (4) либо второго или третьего рода ди й,— „" =х,и — и, (~р); при с=1,=0 ставится условие 1пн гй,— =О, ди г -~е (5) (6) 5Б9 выделяющее ограниченное решение.
Предполагается, что коэффициенты удовлетворяют условиям й,(г, ~р)) с, > О, й,(г, ~р) ) с, > О, д(г, ~р) ЪО, х1 (ср) >О. Будем рассматривать любые комбинации краевых условий (2) — (5). Построим разностные схемы, соответствующие указанным краевым задачам. В области 6 введем произвольную неравномерную прямоугольную сетку га= ((го Ч~~) Е 6 г!=г! !+й (!) 1 <! <Л!и го= 1, гл, =Е1 !р/=Чту-1+да(!) 1 </<й(я, %0 =12 Ч)я, = Ц. Средний шаг Й, (!) определен в п.
1 р 2, а шаг Й, (!) — в п. 4 9 2 формулой (45). Определим сеточную функцию р(!): р (!) = 1,+ — Ь,(1), 1=0, .,+ —,! [й,(!+1) — й,(!)), 1~!<)У,— 1, ~,, — — ь, (!у,), ! = у,. (7) В простейшем случае непрерывных коэффициентов й„й„у и )' коэффициенты разностной схемы будем определять по фор- мулам а, (1, 1) = г;й, (г„ ~Р ), а, (1, () = й, (го !Р ), Д (1, 1) = д ( ;, %г), ф (', !) = 7 ( о ), где г, = г, — 0,5Ь (1), Ч г = ср, — 0,56, (!). Используя введенийе обозначейия, аппроксимируем (1) раз- ностным уравнением ! 1 Лу= — (а,у-)-+ —,(а,у;)- — г(у= — ф, 1 ~< ! Д!, — 1, 0 < 1 ( У,— 1. Здесь для компактности записи использованы соотношения у(1, 1) =у(1, Лг,+!'), 1=0,— 1, а,(1, 0)=а,(1, Ф,), гг,(0) =й,(Л',), Здесь использованы соотношения (9).
Осталось построить разностное краевое условие на стороне г=(, для случая, когда 1,=О. Так как все узлы, лежащие на 570 являющиеся следствием условия периодичности. Краевые условия (2), (4) аппроксимируются точно у(Л„1)=й,'(р,), д(0, 1)=у;(р,), 0<1<!У,— 1. (10) Разностный аналог краевых условий третьего рода (3), (5) имеет вид (для О(!(йр,— 1) / гхр Х . гя! у + (а у ) Н+ ~ у ф ~ ! Ум (1 1) Лу= — у„+ —, (а,у-)- — г(+ — у = — ф — —, ! = О.
(12) аг 1 / гх1 Ч гцр р4~" р' ''' ~ рй1) рй ' стороне г= О, отождествляются, то д(О, !)=д„О~)~Н,— 1. (13) Далее, так как начало координат является внутренней точкой круга, то, записывая уравнение (1) в декартовой системе координат и аппроксимируя его на радиально-кольцевой сетке при условии (6), получим 1 Ж,-1 ЛУ= — ~~ а+ау газ — с(у — ф, ( =0 йпрдг -о (14) ((О, ))= („(р(О, !)=ф„О<)~Л(,— 1. Здесь у„г(, и зре — значения соответствующих сеточных функций в центре круга. Итак, в случае круга имеем нелокальное краевое условие (13), (14) на стороне г=О прямоугольника 6.
Разностные схемы построены. Для ревностной аппроксимации уравнения (1) в окрестности г=О часто используется другая сетка по г, в которой точка г=о не содержится: ы=((гь <рт) Сб, гг=(1+0,5)Ны О~!~Мы гзг До Чу Чу-т+Нз (!) 1~! ~ Н(а Ч~е=(з 'ргге ьа) (для простоты предполагаем, что сетка по г равномерна). тогда а,(1, !)=гА(гь ~р ), аз(ю', В=не(гь ~р ) и т. д., где гг гнт, Уравнения (8) остаются без изменений, а при 1=0 пйшется следующее разностиое уравнение: гт 1 Лр ~ о (1.
!) р (1 !)+ — (пзр-1- — бр= $ гейз ге ( ег г (здесь ге — — О,вйь гг=йг), которое является аналогом краевого условия третьего рода. Условие при г=О отсутствует; определить значение р при г 0 из на. писанных разностных уравнений нельзя. 2.
Разрешимость разностных краевых задач. В п. 1 были построены разностные схемы, аппроксимирующие задачи (!) — (6). Для круга схема задана формулами (8), (10), (11), (!4), для кольца — формулами (8), (10), (12). Исследуем вопрос о разрешимости указанных схем. Обозначим черезгее частьсеткив: ее=((гг, ~ру) Ев, 0(1(Мы Оч-(КЛ(з — Ц. Пространство Н состоит нз сеточных функций, заданных на ве и удовлетворяющих дополнительному условию у(0, /) =сопя!, 0(1(Нз — 1, если 1,=0. Скалярное произведение в Н определим формулой б71 Можно показать, что если функция р(!) определена формулами (7), то верно равенство (1, 1)=0,5(Ц вЂ” 1,')(Е,— 1,)=пЯ вЂ” 1,'), (15) т.
е. квадрат нормы функции, тождественно равной единице на ой*, равен площади круга (1,=0) или кольца (1,) 0). Кроме того, если рассматриваемая область есть круг, то, используя постоянство по ! при ! = 0 сеточных функции из Н и равенство Фв-! ~ Й,(!) =7.,— 1,=2п, можно получить следующее выражение 7ьа для введенного выше скалярного произведения: (и, о) = Р (0) Ь, (0) 2ииоо,+ с~ ~~ и (1, !) о (! !) Р(!) ~~ (!) ~в (!) где и,=и(0, !), о,=о(0, !). Исследуем разрешимость разностных задач (8), (!1), (13), (14) при 1,=0 и (8), (!1), (12) при 1, > О, если й— = О, х, =х,=О.
Запишем указанные выше разностные задачи в виде операторного уравнения Аи =7', (17) где оператор А определим следующим образом: Ау= — Лу, у(1, !) =у(1, !) для 0~1 <Л'„0<1<о!,— ! ну удовлетворяет условиям периодичности (9), кроме того„р(0, !) =у(0, !) =сопз1.
Рассмотрим сначала оператор А, соответствующий разностному оператору Л задачи (8), (11), (13), (14). Учитывая, что первая разностная формула Грина для функций, удовлетворяющих условию периодичности (9), принимает вид лв- ~ Ф~-1 ~~", (а,и-)- оа,= — ~ а,и-о-йм !.0 'ФФ ' !еа ' ФФ" будем иметь с учетом (18) (Аи, о)= — (Лй, о) ив-1 / Ф1 и Х Й,Я й,а,й;юг+~~ рЬ,г(йо+гх,'ий).и, -(- 7-а ' ~ ' '' г=о и~ и~-! + ~х.'и — ~~~~ Ь,а, и-о- * — (и, Ло) (и, Ао). С=Ю г уаа Следовательно, оператор А самосопряжен в Н. 672 Для оператора А, соответствующего разностному оператору Л задачи (8), (11), (12), получим аналогичное равенство (Аи, о) = = ~~! Й,( Я И,а!и;ой+~ рА!!(ио+гх,ио(! о+гн',!!о(! и, + !=о с=! ' ' с=о м~ !о»- ! +~~~,— ! „~ Й,а,й-о-= (и, Ао), соя )=о из которого следует самосопряженность оператора А. Если !(=О, х~! — О, то из самосопряженности оператора А, неравенства Коши — Буняковского (Аи, и)((АиЦи)( следует, что ядро оператора А состоит из сеточных функций, равных постоянной на сетке о!'.
Поэтому условие существования решения операторного уравнения (17) имеет вид (г, 1)=0. Для задачи (8), (1!), (!3), (14) ему соответствует условие !о1 !оа-! Ф~- ! Х Д ф(! /)р(!)"!(!)8о(!)+Т! Х ~о(1)а'(фг)=0 (18) являющееся разностным аналогом условия (23) 3 1. Для зада- чи (8), (11), (12) условие разрешимости имеет вид о!~ ив ! ~~1-! ~~ ф(1, 1) р(!) Ь„(!) Й,(/) + ~ ло(1)~Ц-,д+ (фу)+1,8~ (ф~))=0 и является аналогом условия (25) й 1, обеспечивающего разрешимость соответствующей дифференциальной задачи для кольца. Если указанные условия выполнены, то решения рассмотренных задач существуют и любые два решения отличаются на постоянную. Нормальное решение этих задач удовлетворяет условию (у, 1)=О. Пусть у — одно из решений, которое можно найти, например, фиксируя искомое решение в одном узле сетки. Тогда, учитывая равенство (15), получим, что функция (о' 1) (о 1) (" !') у (1о является нормальным решением.
3 а м е ч а н и е. Если определить сеточную функцию р (1) формулами ) Ь! (0)/4, 1, = О, р(!)=гь 1(!(У„р(0)=! ' 1„1,'>О, бта то изменится лишь равенство (15) для случая, когда 1,=0. В этом случае будем иметь 4 ~ ~ 4 /' а,'(11 /, ь,'(1) ~, у(1, у)=о(1, у)+у,ш(1, у), 0<!<У„О<у <УЧ,— 1, (19) где д,— значение искомого решения в пентре круга, а о(у, у) и ш(1, у) удовлетворяют условиям периодичности о (1, у) = о (1, йу, + у), и (1, у) = ш (у, йу, + у), у = О, — 1 и являются решениями следующих краевых задач: — (ар-,);+ —,(а,о-)- — й= — $, 1<у(Л1,— 1, 1 1 О<У<йУ,-1, (20) о (О, у) О, 1 О, аг — — о-+ — (а о-)- — Н+ — о= — 1à — — у=йу яй, ' Р' 'ч ч ~ яА/ рь, Лш= — (а шу);+ —,(а,ш)- — г(в=О, 1<!<УУ,— 1, 1 1 О<У<ЛУ,-1, ®(О, у) =1, 1=0, ' ' (21) — — юг+ —.(а ш,); — (3+=') ш=О, у=йУ,. Очевидно, что функция у, определяемая согласно (19), удовлетворяет уравнению (8) н условиям 11!), (!3).
Осталось определить у,. Подставляя (19) в неиспользованное еще условие (14) 674 3. Принцип суперпозиции для задачи в круге. Решение разностных задач в круге осложнено наличием нелокального краевого условия (14), задаваемого при 1=0. Заметим, что если задача вырождена, а условие разрешимости (18) выполнено, то одно из решений удобно выделять, фиксируя его значение в центре круга, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
