А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 103
Текст из файла (страница 103)
е. задавая 9(0, у)=у„О<у<У,— 1. В этом случае условие (14) не используется, и полученная задача с заданным у, аналогична задаче, поставленной для кольца с краевым условием первого рода на внутренней окружности. Пусть теперь разностная задача (8), (!1), (13), (14) не вырождена. Покажем, что ее решение можно найти, решая две вспомогательные задачи с локальными краевыми условиями первого рода при ! = О, о:= у < лу,— !.
Будем искать решение задачи (8), (11), (13), (14) в виде и учитывая краевые условия для и и и1, получим !о~- ! 2лрг!!!Ро+ ~я~~ а+!о ло (1! !=о 1=о (22) !о~- ! 2аР4!ао — ~~~~ а! !огайо (1) !=о Покажем, что знаменатель в (22) отличен от нуля. Для этого умножнм уравнение (21) скалярно на и!. Используя краевые условия для и!, соотношения периодичности и разностные формулы Грина, получим !о~- ! ля-! о!д- ! 0 = Х ~ (Лц!) и!РЙ,Ь,= —;)" Ь,(а!'оо,~1=о+1,,х+н!о~1=!о,)— о= ! 1=о !=о !оз !о~ л!в — ! — а!и!-'й!й, †~Ч, ~, Й! ~ — о а,ц!~ +Й,р Йоо~ . !=! 1=о !=! !=о Так как функция ц! отлична от постоянной, !!) О, а„)с! ) О, и=!, 2, н и+)О, причем !(о+(х,')'ФО, то отсюда получим, что и, следовательно, знаменатель в формуле (22) отличен от нуля.
Итак, решение исходной задачи (8), (!1), (!3), (14) сведено к решению двух задач (20) и (21) с локальными краевыми усло- виями и нахождению у, по формуле (22). Искомое решение д находится по формуле (19). Отметим, что если на стороне г=!.! задано краевое условие первого рода у(Л1„!) =д!+(!Р~), то для функций о и и! вместо условий третьего рода в (20) и (21) следует положить о(Л"„!)= = а+(!Р) и и!(!У„!)=О для 0<1<У,— 1. Формула (22) для уо сохраняется. Если коэффициенты а„а„д и х', не зависят от !Р, то не зависит от !Р н решение и! задачи (2!).
В этом слу- чае для функции ц! мы имеем одномерную задачу — (а!ю;)Р— аз=О, 1<! < !1!'! — 1, 1 н!(О, !)=1, !=О, а! ( гх! х + х — — ш — (!(+ — ~ и! = 0 ! = У Р! ~ Рт й г й ~ ю 1 ° которая решается методом прогонки. 4. Прямые методы решения уравнений в круге и кольце. Из сказанного выше следует, что достаточно ограничиться рассмотрением методов решения разностных задач (8), (10) — (! 2). и так как сетка м равномерна по ~р, то разностный оператор (а,д-)- заменяется на а,д- .
Сведем разностную задачу (8), (11), (12) к системе трехточечных векторных уравнений удав-1 +Сую ут=~ а — У'Е, + С )' — К „= ГЕ, — Гт, з+СУ',т, ~ — Г,=Р;ч, Е=о, 1 < Е < Е!Е, — 2, 1 =й(,— 1. (23) Здесь для 0 < Е ( Л', — 1 использованы обозначения: У; = (д (0, Е), д (1, Е), ..., д (йЕ„ Е)), Г,. = (Е,( (0, Е), Е,У , Е), ..., 0„,1 (йЕ„ Е)), СУе=((2Я вЂ” О,Л,)д(0, Е), ..., (й — 0„,Л,)д(Л„Е)), где р(О)й,ЕО) ' Р (Е, Е) = ф (Е, Е), 1 < Е < У,— 1, ( ~Р(Е!Е„Е)+ ', Е=М„ р(лей йт(уй (24) Сначала изучим случай, для которого указанные разностные задачи могут быть решены одним из прямых методов, изложен. ных в главах П! и 1Ч. Пусть коэффициенты й„й, и д уравнения (1) не зависят от <р: й,=а,(г), я,=й,(г), д=д(г).
Такая ситуация имеет место для уравнейия Пуассона в полярной системе координат. Пусть, кроме того, в краевых условиях третьего рода (11), (12) х, и и+ — постоянные. Предполагается, что сетка в равномерна по <р, т. е. 8,(Е)=Ее„н может быть неравномерной по г. При указанных предположениях разностное уравнение (8) с любой комбинацией краевых условий (10) — (12) может быть решено либо методом полной редукции, либо комбинированным методом неполной редукции и разделения переменных. Пронллюстрируем возможность применения прямых методов на примере, в котором на сторонах г = Е, и г =Е, заданы краевые условия третьего (второго) рода (!!), (12).
Другие комбинации краевых условий рассматриваются аналогично. В силу сделанных предположений коэффициенты разностной схемы определяются по формулам а,(Е)=гА(г;), а,(Е)=й,(ге), й(Е)=д(г,), разностный оператор Л1 действует следующим образом: (б+ ) у, р$1 рй, — (а,у-,); — г(у, 1 <1~< 1 а! г гя1 '1 — у- — 1Й+ — у, 1 рй ' ~ рй~) 1=0, (25) = Лг„ Лу= — ~, О<1<Л(„0<1<Л(,— 1, Л=Л,+Л„1=р 1, (26) где Л, = р'Л„оператор Л, определен в (25), оператор Л, задается равенством Л,у=(а,у-)-, причем выполнены соотношения (9)„ а правая часть 1 определена в (24). Уравнение (26) получено из (8), (11) и (12) умножением на р'.
В силу сделанных предположений коэффициенты разностной схемы (26) выбираются по формулам а, (1) =г;а,(г;), а,(1) =А,йр ), Й = д = сопз1. и, наконец, О;=р'(1) Ь/а,(1), 0<1<У,. Система (23) получается из (8), (11) и (12) умножением каждого уравнения на соответствующее 8,. и переходом к векторной записи. Напомним, что алгоритм метода полной редукции для системы (23) описан в и. 2 3 4 гл. 111. В комбинированном методе используется алгоритм быстрого дискретного преобразования Фурье, который приведен в п. 4 3 1 гл.
1Ч. Эти методы характеризуются оценкой 0 (Л',Л(, 1ой, Л',) арифметических действий при Л',=2". 5. Метод переменных направлений. Пусть теперь коэффициенты в уравнении (!) и краевых условиях (3), (5) удовлетворяют условиям л,=а,(г), а,=л,(~р), д=сопз1, х, =сопз1, т. е. для задачи (1), (3), (5) применим метод разделения переменных.
Предполагается, что сетка в неравномерна по каждому направлению. Рассмотрим разностное уравнение (8) с любой комбинацией краевых условий (10) †(12). При сделанных предположениях переменные в разностной схеме разделяются, и ее приближенное решение может быть найдено при помощи метода переменных направлений с оптимальным набором итерационных параметров. Для примера рассмотрим задачу (8), (11), (12) с краевыми условиями третьего рода при г = 1, и г =Е,. Запишем эту задачу в виде или Йэ ди —, — =х., и — й!7 (г), !р = 1„ и(, %)=ар(г), %=с„ (35) (35) или — — — — х»и — и.,' (г), % = 1,,* Ф,ди + » д!р (37) Предполагается, что коэффициенты удовлетворяют условиям Ь,(г, 'Р)>с,>0, Ь,(г, 'Р)>с,>0, Ч(г, ср)>0, х! (!Р)>0, х,+ (г) > О. В области б вводится произвольная неравномерная прямоугольная сетка »з (см. п.
1 3 3): ы= ((ги %/) ЕО, г»=!»-!+Ь! (!) 1 <1 <У!в )э=1»~ га!, = Ет %» =%/-1 + Ьв а 1 < 1 ~ У Рэ = 1$ Ь, = Ез) и определяются средние шаги й!(1) и Ь,(1)! 0,5Ь„(1), т = О, Ьч(т)= 0,5[Ь„(т)+Ь,„(т+1)Д, 1<т<ӄ— 1, ОвбЬа(Уа) ° т=Уав сс=1э 2. 680 первого рода.
Постоянные б„и Л„оцениваются так же, как в рассмотренном ранее случае, только в (30) и (32) краевые условии третьего рода следует заменить на условия о(0) =О, о(У,)=О и и!(0)=0, и!(У!) =О. В заключение отметим, что при !1=0, и~=О задача (8), (11), (12) вырождена, и если выполнено условие разрешимости Ф э-! и;! ~ ~ %рФА+,.Х Ь,~Ь,а'+1,ар~=О, то задача имеет неединственное решение. Для этого случая набор параметров ь„"' и оцэ' для метода переменных направлений (29) построен в и.
1 Э 4 гл. Х11. 6. Решение разностных задач в кольцевом секторе. Рассмотрим методы решения разностных краевых задач для эллиптического уравнения без смешанных производных, заданного в кольцевом секторе. В области 0 = (1! < г < Г,„1, <% < Е„1! > О, Ь,— 1, < 2х) требуется найти решение уравнений (1), удовлетворяющее на сторонах г=1, и »=1.! одному из краевых условий (2) — (5), а на сторонах %=1, и %=Ь, одному из условий и(», !Р)=д, (г), !Р=1, Уравнение (1) аппроксимируется ревностным уравнением — (а.у-)-+-т (а у-)- — Ф=- ф 1 ! (38) 1<1(1Ч,— 1, 1(1<У,— 1.
Краевые условия первого рода (2), (4), (34), (36) аппрокси- мируются точно: УФ«1)=У1 («Р1) У(О 1)=Ур(ч«1), О~(1~(1У„(39) у(1, «у,)=д;(г1), у(1, 0)=д, (г,), 0(1(Л/,. (40) Условия третьего рода (3) и (5), заданные при г=Е,, н г 1„ заменяются для 1()е-Ф,— 1 условиями (11) и (12). Разностный аналог краевых условий (35) и (37) имеет вид -(а,у;); + — у„— ~«1+ — у! у = — ф — — ', 1 = О, (41) — (а,у-)- — — у- — (1(+ — 7!у= — 'р — —, )=У,, (42) 1 ар / хр ~ . яр+ 1 г г рЬ «р ~ Ь ) Ь э Если на пересекающихся сторонах прямоугольника заданы краевые условия третьего рода, то в угловых узлах сетки ар ставятся следунлцие краевые условия: .«1 +1 если 1=1=0; +1 + + — — у-„+ —,ур — ~«1+ — + — ~у = — ч! — — —, (44) а1 аз г гх«хр '« га«д2 рЬ, ° р Ь, ' рЬ, рЬр рЬ! яЬр если 1=1р'„)=0; р1 + + — у„— —, у- — ~1(+ — + — у! у = — $ — — —, (45) ар ар г гх«х.
~ . га«др р«Ь1 !«~Ь~ 1«Ь, 1«Ьр ' ' 1«Ь1 !«Ьр если 1=О, 1=5«,; и, наконец, — — у; — —,' у- — ~«(+ — '+ Р ~у= — ф — — ' — ', (46) рЬ, ' ярЬр яЬ1 «рЬ, рЬ1 рЬр ' если (=й!„1=У,. Если рассматривается разностная задача (38), (11), (12), (41) — (46) с 11 — 0 н х~=О, а=1, 2, то решение существует, если выполнено условие к, к, к к, Х ХрЬд*ф+2 5,(Ьй'+1,д)+ХЬ.(йг+а7) О являющееся разностным аналогом условия (27) 3 1 разрешимо- сти соответствующей задачи для дифференциального уравнения.
И! Аи=~, А=А,+А, (28) в пространстве Н. Для решения уравнения (28) используем метод переменных направлений, итерационная схема которого имеет вид В, = (юьт»Е+ Ах)(юаа»Е + А,), т, = юац»+ юаз». Самосопряженность операторов А, и А, в пространстве Н устанавливается при помощи разностной формулы Грина, а перестановочность их проверяется непосредственно. Найдем теперь границы операторов Ат и А„т. е. постоянные ба и Ла, а=1, 2, в неравенствах ба(и, и) а,(Ааи, и) ~ ба(и, и).
Найдем сначала 6з и Лз. Так как для функции й(1, )), удовлетворяющей условию периодичности (9), имеем Ф» Ф»-1 (Ази, и)= — (Лзи, и)=1» ~» т .з 1) (и и ) Г оз(1'+В и (1) 1 2 6,=0. Ла= шах ~, + —, еа1~ь»» ! йа(у+1) 620) Йа(!) Здесь были учтены соотношения (9) для аа и Ьа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
