А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В пространстве Н(ы) сеточных функций, заданных на ь1, где Й вЂ” любая часть сетки «!, скалярное произведение определим по формуле (и, о)= ~~.'~ и(х!)о(х!)й!Ф„х! —— (х!(!!), х,(с,)). а!чо В частности, если сетка равномерна по каждому направлению, Ег (1 ) = — Ег„, с»= 1, 2, и сеточные функции заданы на ы (во внутренних узлах сетки в), то введенное скалярное произведение записывается в виде С»С,-»Л»»-! (и, о)=,)', ~~ и(Е„Е,)о(Е„Е,)Егг)г„и, обН(ег).
с,=! с,=! В п. 2 3 1 гл. 1 были получены две формулы суммирования по частям: и о,.»ис — — — ~Р ир 1(г, + ило„— и р, с=»с+ 1 л — 1 и„- рА= — ~~~~ ир„-,.сгс+ ил рл — и о„. 1=»с (7) с=я»1 л-1 (8) Х с=т»1 Подставляя в эти формулы соотношения Егси~, с ~си», с! 'гси», с = йсс» и~, с после несложных преобразований получим формулы л-1 Х 1=»»- ! л-! и„ 1»»л»-! л л-1 и-,.о и ° = — ~~~~~ исо» 1Егс+!+и» р» — и»о»! »=»л л рА„! = — ~чР ир„-,.йс+ и„ол — и р, с=л»» 1 л-! и„- р,с!с= — '~Р ир„с(!!~!+и„о„— и„о . с=с» (9) (10) (11) 1»»л+1 Подставим в формулы (7), (9), (11) пг = О и сг = йс и учтем определение (5) для скалярного произведения в Н(лс), а также 233 Мы ограничимся здесь приведенными примерами, другие более сложные примеры будут рассмотрены в последующих главах при изучении конкретных разностных задач. 2.
Некоторые разностные тождества. Переходим теперь к выводу основных формул, при помощи которых преобразуются вьгражения, содержащие сеточные функции. Мы приведем зти формулы для случая, когда сеточные функции заданы на неравномерной сетке, определенной в (2). Напомним определение основных разностных производных сеточной функции: Ус — УС-1 У1+1 — Ус У1=УС-г с ! обозначение (6). Получим тождества (и„, о)= — (и, о„-)„+ииои — ир„ (и„-, о) = — (и, о„) -+ и,„,ои — и,о„ (и„-, о) + — — — (и, о,) +и„чои — и,о, (7') (9') (11') для сеточных функций и~ и о„заданных на сетке а.
Если в (7') положить и,.=-а;у;,. для 1<1<Н, то получим первую разност- ную формулу Грина ((ау„-);, о) = — (ау-„о;) ~ + аиду„- ио,ч — а,у„,о,. (12) Аналогично, полагая в (9) и,=-а;у„, для 0 <1<У вЂ” 1, получим ((ау„)„-, о) = — (ау„, „) -+а„,у„- „,о,,— а,у„,о,. Если из (!2) вычесть равенство ((У, (ао„-)4) = — (аууи о-„) ++аио„- „у,— а,о„,у„ то получим вторую разностную формулу Грина ((ау„-)„-, о) — (у, (ао-„);) = аи(у„-о — о-„у) — а, (у„о — о„у),.
(13) Отметим, что для функций у; и оо обращающихся в нуль прн 1=0 н 1=У (у,=ум — — О, о,=о~=-О), формула (12) имеет вид ((ау„-);, о) = — (ау;, о-„) а вторая формула Грина (13) — вид ((ау-,)„-, о)=(у, (ао„-)-„). В общем случае произвольных сеточных функций, заданных на со, формулы (12) н (13) можно записать в виде (Лу, о) — (аУ„-, о„-) „(ЛУ, о) — (У, Ло)=-0, (14) где разностный оператор Л, отображающий Н(ь) на Н (а), определяется следующим образом: 1 е а114, м Оц Лу;= (ау„-);,, 1 < ю'< Н вЂ” 1, 1 — азу„- и, у ч Здесь скалярное произведение в Н (ы) задано формулой (4).
Отметим, что равенство (14) выражает самосопряженность оператора Л в пространстве Н (а). 234 )ны рассмотрели случай, когда сеточные функции принимают на сетке вещественные значении. Если они принимают на ю комплексные значения, то вводится комплексное гильбертово пространство Н (ы) со скалярным произведением (и, о)= ~~~~иго!»а»о и, оЕН(ю), (15) г=о где о; — число, комплексно сопряженное оо Аналогично определяется скалярное произведение в Н (ы) »ч-! (и, о) = ~~»' и;огХ;, и, осН(ю), (16) о=! а также в Н (ю+) и Н (ю-). При этом формулы суммирования по частям (7'), (9'), (1!') принимают вид (и-, о) = — (и, о ) „+иггигг — и»оо ( и-, о)= — (и, ох)„+изг-гз,ч — иоео х (- ) и-, Ю = — (и, о ) +иггогг — иооо х' )и+ ' хи а ревностные формулы Грина — вид: ((ау„-)„-, ) = — (ау-, о-) +а у-„ж — гух,о ((ау ), о) — (у, (ао ) ) =.
((а — а) у-, о-1 +(ау-о — ауо 1 — (а!ух,о!»о — агуоох„о). х' хтио ( х х)м Здесь использовано обозначение (16). Используя введенный выше оператор Л и обозначение (15) для скалярного произведения в Н(м), вторую разностную формулу Грина можно записать в виде (Лу, о) — (у, Ло) =((а — а) у-, о-) Отсюда следует, что в комплексном гильбертовом пространстве Н (а) оператор Л самосопряжен, если все а; вещественны. Соотношения, аналогичные первой и второй разностным формулам Грина (!2), (13), имеют место и для разностного опера. тора (ау-„-)„-„-.
Приведем, например, аналог формулы (12) ~ (ау„-„-)„-„- !о!,= ~~'., агу-„-„»п,-р А+ +((ау-;„)„-и — ау-„„-о„~м ! — ((ау-„-„)„о — ау=с»-7 . 3. Границы простейших разностных операторов. При изучении свойств разностных операторов нам понадобятся неравенства, дающие оценки для границ операторов и для постоянных энергетической эквивалентности двух операторов, действующих в пространстве сеточных функций Н.
235 Рассмотрим сначала разностные операторы, заданные нз множестве сеточных функций одного аргумента, определенные иа равномерной сетке в = (хг— - г(г ц [О, 11, О < ! гт', )гФ = 1). Ниже будут использованы обозйачения и-! (и, о) = ~ и!о!!!+ 0,5!г(иьоь+ инин), г=! Имеет место Лемма 12. Для всякой грункг4ии у,=у(х!), заданной на равномерной сетке ы и обращающейся в нуль при !=О и !=Лг, сгграведливы неравенства у (у у) < (уй 1)" < у.(у у) где 4 . и З 4 ь п 4 т = — з1п' — ) — у = — созь — <— Ь' 2У Р ' ! 6' 2г!г Ь! у, = ~я~ ~сер„(!), с„= (у, (гь). ь=! [19) Из (18) и (19) найдем У-! и-! ул,, = ~ сь (рь)„-„! = — л,' Х с ц„(!), А! "" ' . А! 1<! ~У вЂ” 1.
Используя ортонормированность собственных функций р„, получим и-! Ф вЂ” 1 (у, у)=,~~,'сьг, — (у-, у)= ~ Хьс~ь. (20) ь=! ь=! В силу первой разностной формулы Грина (12) будем иметь — (у„л, у) = (~~, 1) (21) Собственные значения Х„задачи (18) были найдены в и. 1 9 5 гл. 1: 4 . ляь 4, ьвя Ха=а!а(п' 2! =Ът~("'2н, 1<(я~<гт — 1, Действительно, пусть рл(!) — ортонормированная собственная функция задачи (Рь) „! )гьуь=о, 1 <! <ггг — 1, р,(о) =~,(д!) =о.
(18) В п. 1 $ 5 гл. 1 было отмечено, что сеточная функция уо удовлетворягощая условиям леммы, может быть представлена в виде суммы причем у, = ш(п).„= Х, =-„, 81п' —, 4 4 р и у =- шах Ха == Х „= — соз' — ' аз 2Л~ Отсюда и из (20), (21) следуют оценки (17) леммы 12. Замечание !. Оценки (17) точны в том смысле, что они переходят в равенства, если в качестве у, взять р,(1) и р,,(1). Отметим, что 7,=810, если 6=112, т. е. при У=2. При У=4 имеем у,=321(Р(2+$' 2)) ) 8,'1'. Замечание 2. Если д~ обращается в нуль лишь при 1=0 или 1=У, то в (17) имеем 4 ., в 8 4, и 4 у,= —,з(п' — ) ., у,=-„,соз' — < —,. П(2+У21 г ' Если же у,— произвольная на 4о сеточная функция, то в (17) имеем 7,=0 н 7,=-41Ь'.
Для доказательства этих утверждений следует рассмотреть вместо задачи (18) соответствующую задачу на собственные значения, изученную в 2 5 гл. 1. Неравенства (17) можно записать в виде у,(д, д)<(-лд, д)<у,(д, д), (22) у„-„„1 <1< й1 — 1, Лу~ 2 — -„у„п 1 Л', если у, О, (23) нли 2 -у„о 1=0, у =- у-,, 1<1<И вЂ” 1, если уь,— — О.
Учитывая, что в каждом из этих случаев из первой разностиой формулы Грина следуют равенства (Лу, у) =(у„'-, 1)„+, получим неравенства (22), где у, и у, указаны в замечании 2, а у,. обращается в нуль иа соответствующем конце сетки м. если ввести разностный оператор Л по формуле Лу,.=д„-„п 1 <1< У вЂ” 1, на функциях у,, удовлетворяющих условиям У,=У,„=О.
Если сеточная функция у; обращается в нуль лишь на одном конце сетки а, то оператор Л следует определить по формулам Если у; — произвольная сеточная функция, то оператор Л следует определить так: Г г лр,- ~ у„,,;, !<!<У вЂ” 1. 2 1 ь хи' — — у-, !=У.
В этом случае также верны неравенства (22) и ( — Лд, у) = — (д„-„, у)+ д„-,у„— у„,,у, = (у-„', 1)„,. Ад,. = — Лд,, 1 < ! < Л7 — 1, где у Е Н (а), у; = у; для ! < ( < У вЂ” 1 и у, = ул, = О. Оператор А отображает Н (ы) на Н (ы). В силу равенства (и„о) =(и, о), имеем (Аи, о) = — (Ли, о), где и, = йд, — — О, о, = йч = О. Из (22) следует, что (Аи, и) ) у, (и, и), у, ) О. Таким образом, оператор А положительно определен в Н(в). Докажем, что он самосопряжен в Н(о), Действительно, из второй разностной формулы Грина (!3) будем иметь (Аи, о) = — (Ли, о) = — (и„-,, о) = — (и, о„-,) =(и, Ао). Так как для неотрицательного самосопряженного оператора справедливо обобщенное неравенство Коши — Буняковского !(Аи, о)!<(Аи, и)ы'(Ао, о)'и, то отсюда получим (( — Ли,о) !( ( — Ли, й)м'( — Ло, й)п', что и требовалось доказать. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
