А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Если выполнены условия а;)с, >О, с(1>0, х,>0, х„>0, х, + х, + (с(, 1) > О, то оператор А положительно определен в Н(со), и верна оценка (Аи, и)) у,(и, и), 1)у,= шах оп о<с л где оо — решение задачи Ло, == — 1, 0<1 =Лс. Заметим, что по- ложительность ос следует из принципа максимума, справедли- вого для оператора Л при указанных условиях. Если д,=— О, то грубую оценку для у, можно получить сле- дующим образом. Из первой разностной формулы Грина получим (Ау, у) = ( — Лу, у) = (ау'-„, 1)„+ + к,у', + к,у,'.
В силу условий ас>с, ) О, 1 <1- Л', отсюда найдем (АУ, У) осЛ(Ух 1)е++хоУо+коУо), где сох,=к„с,х,=х,. Так как х,+к, > О, то из замечания ! к лемме 16 получим оценку (у;, ! )„+ + х,у', + коуо ) у, (у, у), где 8 (хо+хо+ (хох,)о 1 (2-(- 1хо) (2+ !хо) (2хо+ 2хо -,' 1хохо) Подставляя сюда к, и х„найдем, что (Аи, и)) у,(и, и), где 8с, (с,х, + с,хо+!хох,)о у =су,=— с с 1(2с, +1хо) (2с,с(хс) (2сохо ,'-2сх,+ 1хохо) Для оператора А имеет место оценка сверху (Аи, и) < у,(и, и), где у, определено в лемме !8, так как (Ау, у) =(ау„'-, 1)„++(с!у', 1)+х,у',+х,у'„, Рассмотрим разностную задачу Дирихле для уравнения Пуассона на сетке а! 2 Лу = ~~'., Л„у = — !р (х), х Е !», а=! У (х) = к (х), х Е 7, (6! ) где Лау=ук,„х а=1, 2. Разностную схему (61) можно записать в виде операторного уравнения (59).
Для этого определим оператор А пэ формуле Ау= —.— Лу, хЕ а!, где УЕН, УЕН и у(х)=у(х) для хна!. Здесь Н вЂ” множество сеточных функций, заданных на !э и обращающихся в нуль на у. Правая часть 1 уравнения (59) отличается от правой части !р разностной схемы (61) лишь в приграничных узлах 251 В рассматриваемом примере оператор А и разностный оператор Л определены в одном и том же пространстве сеточных функций Н(!э) и отличаются лишь знаком.
В отличие от первого примера, правые части разностной схемы (60) и операторного уравнения (59) совпадают. Мы ограничились здесь простейшими примерами. В следующем пункте разностные схемы, аппроксимирующие эллиптические краевые задачи в пространстве нескольких измерений, аналогичным способом будут сводиться к операторным уравнениям в соответствующих конечномерных гильбертовых пространствах сеточных функций. Будут также изучены основные свойства таких операторов. Из приведенных примеров видно, что разностные схемы можно трактовать как операторные уравнения с операторами в линейном нормированном конечномерном пространстве. Для этих операторов характерно то, что они отображают все пространство в себя. 7.
Разностные схемы для эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть б =(0(х„(1„, и=1, 2) — прямоугольник, !э=(х!г —— (й„(Й!) Еб, 0(1(Л1„0(1(Лг„ Л Л"„=1„; а=!, 2) — сетка в б, у — множество граничных узлов сетки !э. Сетка равномерна по каждому направлению х„с шагом й„. Обозначим через ы множество внутренних узлов сетки. Введем пространство сеточных функций Н= — Н(!э), заданных на !э.
Определим в Н скалярное произведение М~ — 1 Яд- ! (и, о) = )' ~~", и(1, 1)о(!, 1)Ь!)1,г с=! !=! где а(0, х,), х,=Ь„ !р,(х) = О, 2Ь,(х,( 1,— 2Ь„ д (1„х,), х, = 1, — Ь„ к(х„О), х,=Ь„ <рг (х) == О, 2Ь, » (х, (» 1,— 2Ь„ д(х„1,), хг=-1,— Ь,. н, кроме того, Аналогично ет (62). 2. Оператор ливы оценки можно менять порядок суммирования по ! и 1. находим, что (А.и, о)=(и, А,о). Отсюда следу- А положительно определен, и для него справед- 6Е<А<ЛЕ, 6>0, (63) где г г 21!а г г Л = ~ч' —,, соз' —,( ~~!~ —,.(64) „, а! 2Уа „,а' Заметим, что 6 и Л являются минимальным и максимальным «обственнымн значениями разностного оператора Лапласа Л (см. п.
1, 2 2 гл, 17). Это утверждение доказывается так же, как и лемма 12. Таким образом, мы установили, что в Н=Н (в) А=А', 6Е(А:ЛЕ, 6 > О. Если на части Т, сеточной границы у задано краевое условие первого рода у(х)=я(х), хаум а на остальной части — краевые 252 Исследуем свойства оператора А, действующего из Н(в) в Н(в).
1. Оператор А самосопряжен: (Аи, о)=(и, Ао), и, о6Н(в). (62) Для доказательства учтем, что (А,и, о) =( — Лгй, о) = — ~~'" Ь, ~ч'„Ь,(оЛ,и);г 1=! г=! л,-! и — ! ~ — ~ Ь, ~ Ь,(иЛр);;= — (й, Л,о)=(и,А,о), у=! к так как разностный оператор Л, в силу второй разностной формулы Грина на сетке в!=-(хг(!)=!Ь„О:а !'(Лг„ЬгМг=1!) удовлетворяет равенству Ф, ! Ф~-1 Д Ь,(оЛгй)!~ ~ Ь;(й, Л«о)!г ! 1 ! 1 Лу = (Л, + Л,) у = — <р (х), у (х) = д (х), халвы хсув Здесь 2 ь У», Ут,х, 2 — — у а~ х' х,=О, Ьз<хВ<12 йз х,=1„6,<х,<1~ Л.у= а оператор Л, задается формулами И мп 61<х1<11 ь1 Л,у =- — —,ув, х,=1„0<х,~1,.
Скалярное произведение в пространстве Н=Н(в,) определяется по формуле Фе (и, о) = ~,.,''., и (1, 1) о (1, 1) Ф, (1) $, О), К=1 У=О где Можно показать, что оператор А = А, + А„соответствующий разностному оператору Л, самосопряжен в Н, и для него верны оценки (63) с 6=6,+6„Л=Л,+Л„б,= —,з'1п ~-, Ь,=-~-х а~ % 1 а Д 4 хсоз' — „, 6,=0, Л,= —,. Здесь б„и ˄— минимальное н максимальное собственные значения разностного оператора Л, а=1, 2. Заметим, что операторы А, и А, являются перестановочнымн как для первой, так и для второй краевых задач. Поэтому, в силу общей теории (см. п.
5 2 ! гл. Ч), собственные значения оператора А являются суммой собственных значений операторов А, и А,: Л(А) =Л(А„)+Л(А,). 253 условия второго или третьего рода, то оператор А определяется оцисанным выше методом, причем Н вЂ” множество функций, обращающихся в нуль лишь на у„а Н =Н(в,) — пространство сеточных функций, заданных на в, =-в 0(у'~,у,). Например, пусть у,=(т,, Ев, 1=--0, 0 <1< Н,), а на у~у, заданы краевые условия второго рода, Тогда разностная схема записывается в виде 8.
Уравнения с переменными коэффициентами и со смешан- ными производными. Рассмотрим задачу Дирнхле для эллипти- ческого уравнения с переменными коэффициентами в прямоуголь- нике 6=(0<к„(1„, а=1, 2): 2 Еи = ~., — 1 й„(х) — ~1 — о (х) и = — «с (х), х а 6, д / да~ дх„(, " дх~~ (65) и(х) = — д(х), хЕ Г, где в„(х) и д(х) — достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям 0<с,<й„(х)-. с„О<д,(д(х)(д,.
Обозначим через вз- в+у сетку с шагами б, н Ь„введенную в п. 7. Задаче (65) поставим в соответствие разностную задачу Дирнхле на сетке ез: Лу=-(Л,+Л,)у — ду= — ~р(х), хам, у (х) =- а (х), хну, где Л„у=(а„у„-„), а=1, 2, а а„(х) и с((х) выбираются, например, тзк: а, (х„х,) = й, (х, — О,бб„х,), а.(х„ х,) =- )г,(х„ х, — 0,56,), д(х) = д (х). Тогда коэффициенты разностной схемы удовлетворяют условиям 0 < с,(а,,(х) (с„О(д,~И(с(,, (67) Обозначим через Н=Н(в) пространство сеточных функций, введенное в предыдущем пункте, а через Н вЂ” множество сеточных функций, обращающихся в нуль на у.
Запишем разностную схему (66) в виде операторного уравнения (59), где оператор А определим обычным образом: Ау = — Лу, где уЕН, уЕН и у(х)=-у(х) для хне. Обозначим через М=Я, +М„где т1„у=у;,, се=1, 2, раза а постный оператор Лапласа н определим соответствующий ему в Н оператор Н: Ну= — Ау, у6 Н, у 6Н и у(х) =у(х) дляхбы.
Лемма 19. Оператор А самосопряжен вН, и для него верны оценки (с, + д,!Л) (Яи, и) ((Аи, и) ((с, + д,16) ()7и, и), (68) (с,б+д„)(и, и)((Аи, и)- (с,Л+с(,)(и, и), (69) где б и Л определены в (64). В самом деле, из условий (67) и оценок, полученных в предыдущем пункте бЕ <)7 <ЛЕ, (70) 254 следует, что для любого иЕН верны неравенства — ' Яи, и) < д! (и, и) < (ди, и) < д, (и, и) < — ' (Ди, и). (71) Далее, первая разностиая формула Грина дает и,-! н, (А,и, и) = — (Л,и, и) = ~ ~ (а!й-',),.~Б!Ьм /=! Ф=! Ф~-! н, я!и, и) = — (я!й, и) = ~ ~~'., (ие ); )!!Ь,. г=! !=! В силу (67) отсюда получим неравенства с, (Д!и, и) < (А,и, и) - с, (К!и, и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
