А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Несомненно, что учет структуры оператора решаемой задачи позволяет построить специальные итерационные методы, которые обладают более высокой скоростью сходимости, чем методы из общей теории. Это достигается особым выбором операторов Вэ и итерационных параметров. Специальные методы имеют узкую область применения. Остановимся теперь на роли операторов В . Для неявных итерационнных схем выбор операторов В„должен быть подчинен двум требованиям: обеспечению наиболее быстрой сходи- мости метода и требованию простоты и экономичности обращения этих операторов.
Эти требования противоречивы. Действительно, если в схеме (6) взять В,=А и т,=!, то при любом начальном приближении решение уравнения (!) может быть .получено за одну итерацию. В этом случае скорость сходимости максимальна, однако обращение такого оператора В, эквивалентно решению исходной задачи. Оказывается, и это будет показано ниже, что нет необходимости выбирать оператор В» равным оператору А.
Достаточно, чтобы были близки энергии этих операторов. Это требование открывает возможность выбирать из класса операторов В, близких по энергии к оператору А, легко обратимые операторы. В настоящее время наиболее часто используется следующий подход при построении неявных итерационных методов. Оператор В„„задается либо конструктивно в явном виде, либо итерацйонное приближение уь+, находится в результате некоторой вспомогательной вычислительной процедуры, которую можно трактовать как неявное обращение оператора В„+,.
В первом случае оператор В„+, обычно выбирают в виде произведения некоторого числа легко обратимых операторов так, чтобы оператор В„~, в некотором смысле был близок к оператору А. При этом операторы, входящие в произведение, сами могут зависеть от параметров, которые можно рассматривать как дополнительные итерационные параметры.
Например, если Вл=(Е+в„А,) (В+в А,), где А — операторы, то а„— числа, являющиеся йараметрами. В этом случае переменность оператора В„ проявляется лишь в зависимости указанных параметров о» от номера итерации й. При такой конструкции оператора Вэ обеспечивается единообразие вычислительного процесса нахождения приближенного решения на каждой итерации. Остановимся на двух алгоритмах нахождения нового приближения уэ~, в случае, когда оператор В~~, имеет факторизованный вид. Пусть В~+,— — В),,В1„... В„'+, и у„„находится ИФ по двухслойной итерационной схеме (6).
В первом алгоритме решается последовательность уравнений В»„и»=Е» „В»«,о"=о" ', ««=2, 3, ..., р, (11) где Р»+,— — В „у„— т»+,(Ау» — Д. Видно, что у»+; — — оР. Каждое из уравнений (11) должно легко решаться. Алгоритм не требует запоминания промежуточной информации, будучи полученной, она тут же используется. Недостаток алгоритма заключается в необходимости вычислять элемент В»+,у», что может оказаться сложной процедурой.
Второй алгоритм имеет вид схемы с поправкой: В'„,и'= Ау» — 1, В»,«о" =о" ', и= 2, 3, ..., р. В этом случае требуется дополнительно запоминать предыдущее итерационное приближение у и хранить его до тех пор, пока не будет найдена поправка иР. Во втором способе построения неявного итерационного метода исходят, например, из схемы для поправки (12), а поправку иг находят как приближенное решение вспомогательного уравнения Я»„о = г,, 㻠— — АУ» — 1".. (13) Пусть (13) решается при помощи какой-либо двухслойной итерационной схемы.
Тогда погрешность г"=о" — о удовлетворяет однородному уравнению где 5„~,— оператор перехода от и-й к (о«+1)-й итерации. Отсюда найдем Р аР = иР— о= Я 5,... Я,г« = Т (о' — о), Т = Д Я„, я=1 где ҄— разрешающий оператор. Подставляя сюда и=Я»-',г» и выбирая о'=О, получим иР=(Š— Т ) В~',г» или о'=В««гг», где через В»+, обозначен оператор )с»„ (Š— Т ) *.
Подставим (14) в (12) и найдем, что у „удовлетворяет двухслойной схеме (6) с указанным оператором В„+,. Если норма оператора Т мала, то оператор В»«, «близок» к оператору Я Поэтому в качестве оператора В»~, естественно выбирать близкий к А оператор. ГЛАВА Ч! ДВУХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В главе рассматриваются двухслойные итерационные методы решения операторного уравнения ли=А Итерационные параметры выбираются с использованием априорной информации об операторах итерационной схемы. В $ ! ставится задача о выборе параметров для двухслойной схемы. В Я 2 и 3 зта задача решается для самосопряжениого случая.
Здесь построены чебы. шанский метод и ыетод простой итерации. В 1 4 изучено несколько способов выбора итерационного параметра в несамосопряженном случае в зависныоств от объема априорной информации. В 5 5 рассмотрены некоторые примеры применения построенных методов для решения сеточных уравнений. В 1. Постановка задачи о выборе итерационных параметров 1. Исходное семейство итерационных схем.
В главе Ч было показано, что разностные краевые задачи для эллиптических уравнений представляют собой специальные системы алгебраических уравнений, которые можно трактовать как операторные уравнения первого рода Аи=Г в вещественном гильбертовом пространстве Н. В некоторых частных случаях такие системы могут быть эффективно решены прямыми методами, изученными в главах 1 — 1Ч. В общем случае одним из приближенных методов решения сеточных эллиптических уравнений является метод итераций.
Изучение итерацион-' ных методов начнем с простейших двухслойных методов — чебышевского метода и метода простой итерации, Для приближенного решения уравнения (!) с линейным не- вырожденным оператором А, заданным в Н, рассмотрим неявную двухслойную итерационную схему В на+' ~'+Ау =1, й=О, 1, ... (2) "а ьь с произвольным начальным приближением у, ЕН. Здесь (та)— последовательность итерационных параметров, а  — произвольный линейный невырождеиный оператор, действующий в Н. Вопрос о наилучшем выборе оператора В будет изучен отдельно, 266 здесь же только отметим, что оператор В должен бьггь легко обратимым.
Сходнмость итерационной схемы (2) будем исследовать в энергетическом пространстве Нр, порождаемом произвольным само- сопряженным положительно определенным в Н оператором Р. Так как оператор В не фиксирован, то (2) порождает семейство итерационных схем, которое будем называть исходным семейством. В главе Ч было показано, что для изучения сходимости итерационного метода необходимо исследовать поведение нормы в Но погрешности г„=уг — и при й- оо, где уг — итерационное приближение, получаемое по схеме (2), а и — решение уравнения (1).
Итерационный метод сходится в Нш если норма погрешности г„в Нр стремится к нулю, когда й стремится в бесконечность. Так как скорость сходимости зависит от выбора итерационных параметров тм то их следует выбирать так, чтобы скорость сходимости была максимальной. 2. Задача для погрешности. Исследуем сначала сходнмость двухслойных итерационных схем (2).
Для этого получим уравнение, которому удовлетворяет погрешность г . Подставляя у„= г,+и для Й=О, 1, ... в (2) и учитывая уравнение (1), найдем В ~в" " +Аге —— О, я=О, 1, ..., г,=у,— и, тв+~ т. е. погрешность гх удовлетворяет однородному уравнению. Разрешая это уравнение относительно ге+,. гь~, — — (Š— т„~,В 'А) гг и полагая г„ = Р-и'х, перейдем к уравнению для эквивалентной погрешности х, которое будет содержать один оператор. Уравнение для х„ будет иметь вид х»„—— Яг„,х,, Яв~г=Š— та„С, й=О, 1, ..., (3) где С=Ры'В 'АР-ы'. В силу сделанной замены справедливо равенство '1х 1='1Р' 'г„'1='1г„!1~, поэтому задача исследования сходимости итерационного метода (2) в Но сводится к изучению числовой последовательности '1х„~), я= 1, 2, ..., где хь определено в (3).
Найдем решение уравнения (3). Из (3) получим ь хь = 2'», охо~ ч'ы е = П Вг = В,А,-х ° ° ° 8~ с=~ Отсюда вытекает следующая оценка для нормы погрешности г в Нр. )!гь~!о=~(хь))((Тк,о~(!)х,()=()Тм0Цг0)о. (4) Оператор Т, называется разрешающим оператором для й-й итерации, а 3„— оператором перехода от (й — !)-й итерации к й-й итерации. Из оценки (4) следует, что итерационный метод (2) сходится в Но, если норма разрешающего оператора Т, стремится к нулю, когда й стремится к бесконечности.
Таким образом, задача исследования сходимости итерационной схемы (2) в Нр сведена к изучению поведения нормы разрешающего оператора Т, в пространстве Н в зависимости от номера итерации Й. Разрешающий оператор Т, определяется оператором С и итерационными параметрами т„т„..., т . Считая оператор С фиксированным, поставим задачу выбрать параметры (т„) так, чтобы итерационный метод сходился. Среди сходящихся йтерациоиных методов оптимальным методом будет, очевидно, тот, параметры ть которого обеспечивают достижение заданной точности е > 0 за минимальное число итераций.
Этому требованию в силу оценки (4) можно придать следующую эквивалентную форму: для заданного и построить набор итерационных парамегров т„ т„ ..., т„, для которого норма оператора Т„ , была бы минимальной. 3. Самосопряженный случай. Дадим теперь строгую постановку задачи о наилучшем выборе итерационных параметров для двухслойной схемы (2). Эта задача будет иметь решение при определенных предположениях относительно операторов А, В и О. Сформулируем эти предположения. !) Будем предполагать, что операторы А, В и 0 таковы, что оператор 0В 'А самосопряжен в Н. Если это предположение выполнено, то будем говорить, что рассматривается само- сопряженный случай.
2) Пусть заданы у, и у,— постоянные энергетической эквивалентности операторов 0 и 0В ~А, т. е. постоянные из неравенств у,0--0В- А<у,0, у,>О, 0В- А=(0В- А)*. Второе предположение определяет тип априорной информации об операторах итерационной схемы; эта информация используется при построении формул для итерационных параметров в самосопряженном случае. Простейший пример, для которого предположение о самосопряженности оператора 0В 1А выполняется, следующий: А = А*, 0 = В = Е, т.
е. рассматривается явная схема в исходном пространстве Н для уравнения (1) с самосопряженным оператором А. В этом случае априорная ин- 268 формация состоит в задании границ оператора А. Более сложные примеры выбора оператора 0 будут рассмотрены ниже. Итак, пусть выполнены условия (5). Из (5) следует, что оператор С= 0-м'(РВ 'А) О-'и самосопряжен в Н, а у, и у,— его границы, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
