А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Лемма 16. Пусть р;>О, й/~О задйны на произвольной неравномерной сетке се, р, чв О и а, ) с, ) О задано на ш+, Пусть х,> О, х,~~Π— произвольные числа и выполнено условие х, +х,л+(й, 1) >О. ДлЯ любой сеточной фУнкЦии Уо заданной на в, справедливо неравенство (33), еде 1/у,= щах о„а ог — решение о !<н задачи Лог- "— ро 0~1( У. Здесь оператор Л определяется формулами Если, кроме того, у,=ум — — О, то неравенство (43) переходит в неравенство (30).
Если уг обращается в нуль лишь на одном конце, например прн 1=М, то, полагая в (43) ум=О н переходя к пределу при х! — оо, получим оценку а!а, а!-!аа 1,-~-" а! а =, (2.„. )' ) + ( +!ма) 3 а м е ч а н н е 2. Из определения (42) разностного оператора Л н первой разностной формулы Грина следует, что ( — Лу, у) =(пу'-, 1) +(!(у, у)+м,у',+и,у~,. Поэтому неравенство (33) леммы !б может быть записано в виде Т, (рд, у) ~ — (Лд, д). !'=О, 1= 57 Отсюда следует, что а- =! — мзозч+0,5Аà — хз 1~1~57. (47) м ! Полагая в (47) 1'=! и учитывая равенства Аз=0,5Аз, о- =о„а каса — йа, х, ! получим соотношение между о н ол хаос+ кзоФ (45) Умножая (47) на А и суммнрря по 1 от 1 до !', найдем ! о- А1 — — о; — па=(1 — к!о!а) ~~~ ~А1 — ~«(х — 0,551) А1, 7=! 1=1 1=! перейдем к выводу оценки (43).
найдем решение задачи лог= — р1, 0«-1(А!, при указанных в замечании 1 предположениях. Имеем разност. ную краевую задачу о- = — 1, 1~1~ А! — 1, (44) йх, ! гыч а — !'а" а ~а (45) — о- = иго,у —. Й,у, х, З7 (46) ,Умножим уравнение (44) на $1, просуммируем по 1 от 1' до г) — 1 и учтем краевое условие (46). Г1олучнм м — ! М-! ;= Ъ'1 з=1 ' г=! Ю-! = — мгогг+ ляг — о-„= — ~З„ьт= х1 — 0,5)У вЂ” 1+ Ьгг. ! 1 Так как Ау — — х1 — ху, х1 — 0,5 А = 0,5 (ху+х1 !), то ! ~~, 'Ау=хг, ~я~~~ (х — 0,551)Ау=0,5 ~~~~ (х1 — «1 зз)~0,5х!а.
1=! 1=1 ' ' 1.! Таким образом, имеем па+ хт (1 кзод) 0 5х! = па+ 0,5 (1 — к!о!у)а — 0,5(хг — 1+к!ой)а, 0~ ! ~ А!. (49) 245 Полагая здесь (=д!, найдем второе соотноп!ение для о и олг он= оо+! (! — к!он) — 0,5Р. (50) Из (48), (50) получим ! (2+(х!) ! (2+!хо) о 2(хо+х,+хох,!) ' ~ 2(хо+но+хан!!)' (5!) Так как 0 ~ ! — х,ом < ), то из (49), (5!) найдем, что ! (2-1-(н ) (2+)хд (2но+2нг+ (х х!) !пах о; ~ во+0,5 (! — х,он)' Ото!ода и из леммы !6 следует оценка (43). Если уо — — ум=о, то, полагая в (33) а! = (, о(! = О, р; = — ! и переходя в (43) к пределу при хо — оо и н,— оо, получим оценку (30) с тг=-з)(о.
5. Оценки сверху для разностных операторов. Получим теперь оценки сверху для некоторых разностных операторов. Л е м м а 17. Для произвольной сеточной функции у;, заданной на неравномерной сетке оз, справедлива оценка (ау2, 1), + «уз(у, у), (52) где Если сетка равномерна, то / аг+агег~ 1 у,= —,тах ~а„ан, тах !<г<н !(, 2 2 lа! ао! Если у,=уз,=О, то у = тах е ~ — '+ — '+') !<!<Я-! гм ! го! Действительно, имеем (ау-„, 1)„+ =" г=! М Ф вЂ” ! М г=! г=о '+' г=! (ау-„1) +<~ —,, ' у,'+ ~~' —,'" у! = Й! г=о Ю-! 246 Используя неравенство 2угу! ! «у!о+у!о „, получим при а! ) О, что (ауь !) ., +(Ьу, у)+а,у~+о,ук(у,(у, у), (53) где у,=у,+(1+7,) шах оо у, определено в лемме (17), а о — рео<кн ' шение краевой задачи Ьо 1 (1(йг — 1, (ао-)- — о =— о~ о,о х, ь о он — — о — о х,н — Ь вЂ” —, 1=О, оо О о1 — — — 1= Лl.
$н ' (54) Действительно, из леммы 16 при р;=Ь, для 1(1(йг — 1, р,=Ь,+о,4„рн=Ьн, а,4н и к,=х,=О, й,=! получим оценку (Ьу, у)+а,у,'+о,у',~=(ру, у)( гпах о;~(ау„-, 1) ++(у, у)1, .ок чн где ог — решение вспомогательной задачи (54). Используя лемму 17, будем иметь (ауь 1),>++(Ьу, у)+о,уч+о,уй((1+с)(ау'„-, 1)„++ + с (у, у) < (у, + (1+ у,) с] (у, у), с = шах оо о к с к,ч Лемма 18 доказана. 6.
Разностные схемы как операторные уравнения в абстрактных пространствах. После "замены производных, входящих в дифференциальное уравнение и краевые условия, разностными отношениями на некоторой сетке г» мы получаем разностную схему, Разностные уравнения, связывая искомые значения сеточной функции в узлах го, образуют систему алгебраических уравнений. Эта система линейная, если исходная задача была линейной.
Разностная схема определяечся разностным оператором, задающим структуру разностных уравнений в узлах сетки, где ищется искомое решение, и краевыми условиями в граничных узлах. Разностный оператор действует в пространстве сеточных функций, заданных на го. 247 Так как Й,=0,5Ь„Ьн=0,56н и (у, у) = ~.",,'$,у, то отсюда слег=в дует .оценка (52) с указанным значением для у,. Лемма 17 доказана. Л ем м а 18. Пусть а; ) О, Ь;) О, а о, и о,— неотрицательны, причем (Ь, 1)+о,+о,~О. Для произвольной сеточной функции .уи заданной на неравномерной сетке и, справедлива оценка Рассмотрим пример. Пусть на 41трезке 0 <х<1 требуется найти решение задачи и"=- — ор(х), 0<х<1, и' (0) = кои (О) — )о„и (1) = р„к, )~ О.
(55) На равномерной сетке го =(хг — — й, 1=0, 1, ..., У, АУ=1) задаче (55) поставим в соответствие разностную схему Лу;=у-„„= — оро 1 <1 < У вЂ” 1, 2 / 2 Луо а (уо, о оооуо) = ~оро'+ ро) ° (55) Ф-1 (и, и ) ~ и1о,5+0,5йиоо„и, иЕН(оо ). 4=1 Определим теперь линейный оператор А следующим образом: Ау;= — Луо 0<1<У вЂ” 1, где УЕН(оо ), у;=у; для 0<1< У вЂ” 1 и ух — — О. Используя это определение, дадим подробную запись оператора А: 2 а (Уо, о оУо) 1=0, 1 <1<У вЂ” 2, 1= У вЂ” 1.
(57) Уоо о 1 -от- (2Ум,— ух о), Оператор А отображает Н(оо-) на Н(оо ) и является линейным. Преобразуем разностную схему (2). Учитывая условие у,~=р„ запишем (56) в виде 2 / 2 — (Ух, о — коУо) — 7о — оРо+ Ро) > — у„-„, = Гг = ор„1 ~ 1 У вЂ” 2, ао (2Ум-о — Ух-о) = Ь-д = ~оРл-о+,о Ро) (58) 248 Разностный оператор Л определен на (У+1)-мерном множестве сеточных функций, заданных на оо, и отображает его на У-мерное множество функций, заданных на оо =(хоЕоо, 1=0, 1, „У вЂ” 1). Видно, что область определения и область значений оператора Л не совпадают.
Рассмотрим теперь пространство Н(оо-) сеточных функций, заданных на оо-. Скалярное произведение в Н(оо ) определим, как в примере 1 из п.1 2 2: Сравнивая (57) и (56), найдем, что разностная схема (56) записывается в виде операторного уравнения первого рода АУ=7, (59) где у — искомый, 7 — заданный элементы пространства Н(оо-), а А — оператор, действующий в Н(!в ), определен выше. Укажем основные свойства оператора А.
Оператор А самосопряжен в Н(оо-), т. е. (Аи, о)=(и, Ао), и, о~Н(ео ). Действительно, (Аи, о) = — (Лй, о), причем йм ом — — О. Поль- зуясь второй разностной формулой Грина (13), получим Ф-! (Лй, о) = ~ч'., й-„„!о,й+(й„,— х,и,)о,= 1=1 !о — 1 = ~ч.'; йр-,й+(й-й — о и), — (й„о — о„и),+ 1=1 и-! +(й,й — х,йй),= ~ й1~;„,.И+(о»и — хоой)о=(й, Лй). 1=! Утверждение доказано. Оператор А положительно определен, т. е. (Аи, и)~ у, (и, и), и Е Н(о! ), 8(!+!хо)о 2 где у,= „, ', ~ >—,> О. Это утверждение следует из заме- Р 2+!хо)о Р чаний ! и 2 к лемме 16. Оператор А в силу леммы 1О имеет ограниченный обратный оператор А '.
Поэтому решение уравне- ния (59) существует и единственно. Для оператора А имеет место оценка сверху (Аи, и)(у,(и, и), и~Н(е! ), 4/ Ь1 где у, —,, ~1+хо-»!1, так как у!ч=О и (Ау, у) =(у$, 1) + +хоуо, 2 4 уо~ ~1, (у~ у)о (у„1) ее ао Последнее неравенство следует из леммы 17. В качестве второго примера рассмотрим на неравномерной сетке е! = (х! Е [О, 11, х! = х! 1+ !1„1 ( !( Л!, х, = О, хи — — 1) разност- ную схему Лу, = (ау„)„-,— о(,у, = — 2„1 <1< !о' — 1, ! / ! Луо (аоу». о — !ооуо) — '(оуо = ~'Ро + Ро) ' = О.
(60) ! l ! ЛУ,„= — — (а!чУ-, + хоУ о) — г(!оУ!о — — — Р1о+ — Ро), ! = Л!. Схема (60) аппроксимирует третью краевую задачу для уравне- ния с переменными коэффициентами (йи') ' — с)и = — ор (х), О < х ( 1, йи'=к,и — р„х= — О, — йи' =- х,и — р„х =1 при соответствующем выборе коэффициентов ао и с(1, например при а;=й(х; — 0,561) и с(1=1)(хо). Если в прострайстве Н (ы-) сеточных функций, заданных на со, со скалярным произведением (и, о) = ~ и,п,Ь1, ло = 0,55„$ = 0,5ал„ =-о определим оператор А = — Л и сеточную функцию ~с = ~р1, 1<1<У вЂ” 1, ),=~Р„+)с,4„~л,=оРл,+)оо)Ь „то Разностнаа схема (60) запишется в виде операторного уравнения (59). Самосопряженность оператора А, отображающего Н (со) на Н(со), следует из второй разностной формулы Грина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
