А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 40
Текст из файла (страница 40)
При этом справедлива оценка !!А '(~(!!б. Здесь !! ° ~~,— норма в Х, а (! !),— норма в У. Иными словами, для существования обратного оператора А-г необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение Ах=О имело только тривиальное решение. Пусть А и В линейные ограниченные операторы, действующие в Х и имеющие обратные. Тогда (АВ) '=В 'А '. Если оператор А обратим, то имеют смысл степени А" с любыми (а не только неотрицательными) целыми показателями. Именно, по определению А "=(А ')л, й=1, 2, ... Степени одного и того же оператора коммутируют. Введем понятие ядра линейного оператора А. Ядром линейного оператора А называется множество всех тех элементов х пространства Х, для которых Ах = О.
Ядро линейного оператора А обозначается символом кег А. Й17 Условие нег А =О является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный. Подпространство Х, пространства Х называется инеариантным подпространством оператора А, действующего в Х, если А не выводит элементы из Х„т. е. АхЕ Х„если хб Х,. Если надпространство Х, инвариантно относительно обратимого оператора А, то оно инвариантно относительно оператора А Примерами инвариантных подпространств оператора А могут служить лег А и пи А.
Заметим, что если операторы А и В коммутируют, то подпространства кегВ и (п1 В инвариантны относительно оператора А. Число р(А) = !пп ~I )(А"~~ называется спенпгральным радиусом линейного оператора А. Оно не зависит от определения нормы, причем р(А) = (и(,'1 А;~. М .1' Для любого линейного ограниченного оператора А справедливы неравенства р(А)<~!А(, р(А)< ~~/~(А')(, й=2, 3, ...
Лемма 2. Для того чтобы (!А)~=р(А), необходимо и достаточно, чтобы !!Ал!!=!~А!', й=2, 3, Отметим еще одно свойство спектрального радиуса. Если операторы А и В коммутируют, то р(АВ)<р(А)р(В), р(А+В)<р(А)+р(В). 3. Операторы в гильбертовом пространстве. Пусть линейный ограниченный оператор А действует в унитарном пространстве Н.
Согласно общему определению нормы оператора имеем ~(А)(= зпр (,'Ах))=знр1/ (лх Лх! (к!~=1' лчн и (х, х! и, следовательно, для любого х Е Н верно неравенство (Ах, Ах)<!!А!!'(х, х). Используя неравенство Коши — Буняковского, отсюда получим !(Ах, х)1<(Ахах!~</!А~!(х, х), (5) Далее будем рассматривать только ограниченные о п е р а т о р ы. Оператор А'" называется сопряженным оператору А, если для любых х, уЕН выполнено тождество (Ах, у)=(х, А*у). 218 Для любого линейного ограниченного оператора А с областью определения Ю(А) = Н существует, причем единственный, оператор А* с областью определения Я(Аь)=Н. Оператор А' линеен и ограничен, ) А*)=-|) А ~1 Приведем основные свойства операции сопряжения: (А*)* = А, (А+В)*=А*+В*, (АВ)"=В'А', йА)*=ХА', Если операторы А и В коммутируют, то коммутируют и сопряженные операторы А' и В*.
Если А имеет обратный, то (А ')'"=(А") ', т. е. операции взятия обратного оператора и сопряжения перестановочцы. Лемма 3. Пусть А — линейиыйоператорв Н. Пространство Н представимо в виде прямых сумм ортогональных подпространств Н = йег А (+) пп А", Н = йег А* ®1в А. Действительно, пусть Н,— ортогональное дополнение нп А* до пространства Н, т. е. Н = Н, (+) пп А', (х„х,) = О, х, Е Н„хь Е1т А'.
Покажем, что Н, =йег А. Пусть х, Е йег А, тогда для любого хЕН имеем А'хЕ ни А* и (х„А'х) = (Ах„х) = О. Следовательно, х, ортогонально 1щ А*, и поэтому х,ЕН,. С другой стороны, пусть х, Е Н, (следовательно, х, ортогонален ип А'). Тогда для любого хЕН О = (х„А'х) = (Ах„х). Так как х — любой элемент Н, то Ах,=О и, следовательно, х, Е )сег А. Первое утверждение леммы доказано. Аналогично доказывается и второе.
Линейный оператор А называется самосопряженным в Н, если А=А'. Для самосопряженного оператора (Ах, у)=(х, Ау) для всех х, уЕН. Оператор А называется нормальным, если он коммутируетсо своим сопряженным, А*А = АА", и кососимметричным, если А* =- — А. Самосопряженные и кососимметричные операторы нормальны.
Известно, что если А и  — самосопряженные операторы, то оператор АВ является самосопряженным тогда и только тогда, когда А и В перестановочны. Если А — линейный оператор, то А*А и АА* самосопряженные операторы, причем ) А'А~)=((АА'()=) А()э и 'кег А*А = йег А, 1т А'А = нп А*, кег АА' = йег А', ип АА* = цп А. Любой оператор А можно представить в виде суммы самосопряженного А, и кососимметричного А, операторов А=А,+А„ 219 где А,= 0,5(А+А"), А, 0,5(А — А'). Если Н вЂ” вещественное пространство, то отсюда вытекают равенства (Ах, х)=(А,х, х), (А,х, х)=0. В комплексном пространстве Н имеет место декартово представление оператора А: А= А,+!А„ где А,= Ре А = — (А+ А*), А, =1и! А = —. (А — А*) — самосопря! ! 2 2! женные в Н операторы. При этом для любых хЕН справедливы тождества Ке(Ах, х)=(А,х, х), 1щ(Ах, х)=(А,х, х).
Если А — самосопряженный в Н оператор, то имеет место формула )!А(1= знр ! ', хЕН. ~о (" ") Лемма 4. Если А — самосопряженный ограниченный в Н оператор, то при любом целом п > 0 верно равенство )(А"!)=!!А!!". Лемма 4 остается справедливой и для нормального оператора. Из лемм 2 и 4 следует, что для нормального (в частности, для самосопряженного) оператора А имеет место равенство р (А) =!,'А(. Лемма 5. Пусть в линейном пространстве Н двумя способ ми введено скалярное произведение элементов х и у: (х, у), и (х, у),. Если оператор А самосопряжен в смысле каждого скалярного произведения, то !~А(,=(А!!,=р(А).
Спектральный радиус дает оценку снизу для любой нормы оператора. Введем числовой радиус оператора, позволяющий получить двусторонние оценки для нормы. Числовой радиус оператора А, действующего в комплексном пространстве Н, определим следующим образом: р (А)= зпр )(Ах, х)~, хЕН. !л!!=1 Для любого линейного ограниченного оператора А справедливы неравенства: р(А)(!А!!<р(А)<(!А(!, р(А)>112 и, кроме того, р(А") <[р(А)~" для любого натурального и.
Если оператор А самосопряжен, то р (А) = )! А (. Отметим еще ряд интересных свойств числового радиуса, Так, например, р (А*) = р (А), р (А*А) = )/ А !~'. Кроме того, р (А) < р (А), где р (А) — введенный ранее спектральный радиус оператора. Линейный оператор А, действующий в гильбертовом пространстве Н, называется положительным (А > 0), если (Ах, х) > 0 для всех хЕН, кроме х=О.
В случае комплексного простран- 220 ства Н определение положительности вводится только для само- сопряженных операторов, так как из положительности оператора в этом случае уже следует его самосопряженность. Аналогично вводится определение неотрицательности оператора А (для всех хЕН (Ах, х))0) и положительной определенности (для всех хЕН (Ах, х)) 6(х, х), где 6 > 0). Нелинейный оператор А, действующий в Н, называется монотонным, если (Ах — Ау, х — у))0, х, уЕН, строго монотонным, если (Ах — Ау, х — у) > О, х, у Е Н, хну, и сильно монотонным, если для всех х, уЕН имеет место неравенство (Ах — Ау, х — у))61'х — у1', 6>0. Теорема 2.
Пусть нелинейный оператор А имеет непрерывную в каждой точке х Е Н производную Гата. Тогда оператор А сильно монотонен на Н в том и только в том случае, когда суи1ествует такое 6 > О, что (А' (х) у, у) ) 6 (у, у), у Е Н. Пусть А — неотрицательный линейный оператор. Число (Ах, х) назовем энергией оператора. Будем сравнивать операторы А и В по энергии. Если ((А — В)х, х))~0 для всех хЕН, то будем писать А) В. Если существуют такие постоянные у,) у, > О, что для линейных операторов А и В верны неравенства у,В<А<у,В, то такие операторы будем называть энергетически зквивалентньь ми (эн.
эк.), а у, и у,— постоянными энергетической эквивалентности операторов А и В. Пусть 6=1п1 (Ах, х) и Ь=зпр (Ах, х). !1л~~=1 /м(ы! Числа 6 и Л называются границами оператора А (самосопряженного в случае комплексного Н). Очевидно, что верны неравенства 6 (х, х) < (Ах, х) (Л (х, х), х Е Н или 6Е<А<ЛЕ, где Š— тождественный оператор, Ех=х. Нетрудно убедиться в том, что введенное на множестве ли- нейных операторов, действующих в Н, отношение неравенства обладает следующими свойствами: 1) из А) В и С) 0 следует А+С) В+О, 2) из А)0 и Х) 0 следует АА)0, 3) из А) В и В) С следует А) С, 4) если А > О и А 1 существует, то А ь > О.
Далее очевидно, что А'А и АА' — неотрицательные операторы для любого линейного оператора А. Эти операторы будут положительны, если А — положительный оператор. Те о р е м а 3. Произведение АВ двух перестановочных неотрицательных операторов А и В, один из которых самосопряжен, есть также неотрицательный оператор. Для любого самосопряженного неотрицательного оператора А имеет место обобщенное неравенство Коши — Буняковского ~ (Ах, у) ~ ()/(Ах, х) )~(Ау, у), х, уЕН. Пусть Р— самосопряженный положительный оператор, действующий в Н. Тогда можно ввести энергетическое пространство Нр, состоящее иа элементов Н, со скалярным произведением (х, у)в — — (Рх, у) и нормой $х~)о=ЯРх, х).
Отметим, что если Р— самосопряженный положительно определенный и ограниченный в Н оператор, то для любого хЕН в силу неравенства Коши — Буняковского справедливы оценки 6(х, х) ((Рх, х) (!!Рх))х)(Л(х, х), Ь=/!Р//, 6) О. Эти неравенства можно записать в виде )' 6(х)()х)о(ь~съ)х), откуда следует, что обычная норма ) !) и энергетическая норма 1'1о эквивалентны. Заметим, что унитарное энергетическое пространство Но можно построить, исходя из несамосопряженного положительного оператора Р. Для этого скалярное произведение в Но определим следующим образом: (х, у)р — — (Р,х, у), где Р,=О,5 (Р+Р').
Приведем ряд лемм, содержащих основные неравенства, необходимые нам для дальнейшего. Лемма 6. Пусть для линейного оператора выполнено условие А)6Е, 6 > О. Тогда для любого хЕН имеет место неравенство (Ах, Ах))6(Ах, х). Если для неотрицательного самосопряженного оператора выполнено условие А (ЬЕ, то для любого хЕН имеет место не- равенство (Ах, Ах)(Л(Ах, х). Лемма 7. Из условия (Ах, Ах)(А(Ах, х), хЕН, Л>О для неотрицательного оператора А следует неравенство А(ЛЕ, 222 а из условия (Ах, Ах)) 6(Ах, х), 6 > О, для неотрицательного самосопряженного оператора А следует неравенство А)БЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
