А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Здесь использованы обозначения 1, 1 <1 <М2 — 1, 1=0, М„ Неизвестные П~ с нечетными номерами 1, как и раньше, определяются из уравнений (4). В полученных формулах осталось перейти к скалярной запи- 222 Л) си и к ненормированной собственной функции !!2222(/) =соз —. М2 В результате получим следующие формулы для метода решения задачи (31): для каждого 0<!'(Л', вычисляются 2[1(!, 0)+~(!, !Ц вЂ” Ь22Л2~(!, 0), )=О, ~(1, 21 — 1)+Р(1, 2!'+1)+2~(1, 2!) — Ь22Л2~(с, 2!), 1<!(М,— 1, 2[! (!, Л!2)+)(2, Л!,— 1)! — ЬЛ2~(!, Л2), 1 — М, а оператор Лг определен выше. Для нахождения щ, (1), у, (1) и и(1, 21 — 1) здесь мы имеем трехточечные уравнения с краевыми условиями третьего рода, которые решаются методом прогонки.
Заметим, что приведенные формулы нисколько не изменяются, если сетка по направлению х, будет неравномерной. Изменится лишь вид оператора Л,— это будет разностный аналог второй производной и краевых условий третьего рода на неравномерной сетке. Вообще следует отметить, что можно построить соответствующий вариант метода разделения переменных с оценкой числа действий 0 (М'1он,)ч) во всех, за исключением одного, случаях, в которых можно использовать метод полной редукции. Исключение составляет тот случай, в котором по направлению исключения неизвестных задано краевое условие третьего рода хотя бы на одной из сторон прямоугольника. 3. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности в прямоугольнике. Рассмотрим еще один пример применения метода разделения переменных.
Пусть на прямоугольной сетке ы требуется найти решение разностной задачи Дирихле повышенносо порядка точности для уравнения Пуассона Ли=(Л,+Л,+ — '' ' Л Л,) и= — 1(х), хЕв, и(х)=0, хну, где Лап=и-, а=1, 2. кака Краевое условие задано однородным для простоты †зада с неоднородным краевым условием сводится к (34) путем поправки правой части уравнения в приграничных узлах.
В п. 4 3 ! гл. 111 была получена векторная запись задачи (34) в следующем виде: — Вит, + тт — ВЦ,„=- Ер 1 ~1< 3(,— 1, где ~.=(и(1, 1), и(2, 1), ..., и(Л(,— 1, 1)), 0(1(У„ Е = Щ (1, 1), Ьк)' (2, 1), ..., пЦ (У вЂ” 1, 1)), 1 (1 а„)ч' — 1, а матрицы В и А определяются соотношениями В~~ —— ((Е + — '' Л,) и (1, 1), , (Е+ '„"'Л,) (Л,— 1, 1)), АУ/ ((2Е ~ ь Л ) и(1 1) ..., (2Š— — '. ' Л,) и (31,— 1, 1)) . Матрицы А и В перестановочны, т. е. АВ=ВА. 208 Построим комбинированный метод разделения переменных для задачи (34).
Сначала совершим первый шаг исключения метода редукции для системы (35). Дадим независимое от изложения главы П1 описание этого шага. Выпишем три подряд идущих уравнения системы (35) для 1=2, 4, 6, ..., У,— 2: — ви,,+ли,,— ви,=); „ — ви, + ли,- — в~~~; = г~, — вй, + ли„,- — вйу„= г„„, умножим слева первое и третье уравнения на В, а среднее — на А, и сложим их. В силу перестановочности А и В получим — В'и, + (А' — 2В') и — В'и „= Р»", 1 = 2, 4, 6, ..., У» — 2, и,=и,=0, где Р~ц' — — В(Г,,+Г,.„,)+ АР'з 1=2, 4, 6, ..., Л',— 2.
ОбозначаЯ, как обычно, К =и»г, 0<1 <М„Ф =Рф,! <1<М,— 1, где 2М»=а!„запишем эту систему в виде — ВЮ(,+(А' — 2В') $/.— В»Уг,»=Ф, 1 < ! < М,— 1, (36) У = Ум,=0, являющееся аналогом соотношения (13), причем компоненты векторов У», и Фу связаны формулой (11). Для решения уравнения (39) можйо использовать алгоритм (- ( (40) 1 <й< М,— 1. Итак, метод решения задачи (34) в векторной форме описы- вается формулами (37), (11), (40), (!2) и (38). Переходя к ска- лярной записи и к ненормированной собственной функции рф Ц) = 209 при этом Ф»=В(Р'„»+В»у„)+Лг„з 1 =!<М,— 1. (37) Остальные неизвестные векторы находятся из уравнений ли„,=к„,+в(и„,+и„), 1<1<м,.
(38) «Укороченную» систему (36) будем, как и раньше, решать методом Фурье. Подставим разложения (12) в (36), где р»" .(!) определены (10). В результате для коэффициентов Фурье У», и л.», векторовр~ и Фг получим соотношение (А» — 4соз' — '" В»)»'» =Ь,'У»,, 1<й,<М,— 1, (39) =в)п — при помощи замены из п. 1, получим следующие форСсс!с! мулы: ср(с', !) = (Е+ — '' Л,) [с'(с, 2! — 1)+~(с, 2!+1))-2с (с, 2!Ц— — )сЗЛс~(с, 2!), 1 < 1 <М,— 1, 1<!~(ЛСс — 1, (41) Р(0, !)=0, !<!<йс,— ! для вычисления ср(с, !); уравнения 4 вш' — иса (с) — Йс 1 —., снп —, ° — ~ Лсис (с) = )ссз„(с) (42) 1 < ! < Ус — 1, пса (О) = ссса (йС!) = 0 для вычисления ис (с) и с ад 4сов~ 2 Ус,,(с) лс~ 1 — !сов — — Л,у, (с)=пс„(с), (43) с И,л .
с/ 4 С!с!с С!!+С!с" "а - с < гс — 1, у (0) = у„, (ЛС,) = 0 для вычисления у„(с), которые решаются при 1<й,<М,— 1, где и,-! гс (с) = с', сР(с, !) в!и ~, 1<й,<М,— 1, ! <! <У! — 1. (44) с=! Решение и(с, !) задачи (34) определяется по формулам м,-! и(с,2!)=д ~ Ус,(1)в!и м, 1<!<М,— 1, 1<с<Лье, 1,(46) ' сз-! и из уравнений 2и(с, 2! — !) — — ''Л,и(с, 2! — 1) =Ь~|(с', 2! — 1)+ +(Е+ — '" ' Л,) !и(с, 2!' — 2)+и(с, 2!)1, 1 < с ( (с)С! — 1, (46) и(0, 2! — 1)=и(Л'„2! — 1)=0, 1<!<М,. Нам осталось показать, что трехточечные уравнения (42), (43) и (46) разрешимы. Тогда для нахождения решения можно воспользоваться методом обычной прогонки или методом немо- нотонной прогонки.
Достаточно показать, что для 1 < )с, < сЧс — 1 собственные значения разностного оператора 2 2 Я=ха,Š— -(! — св Хц)Лсэ 1м = с в!и ~у сс! I Лс+ "с !с!~ (с! 4 ° с Сссл 210 отличны от нуля. Действительно, прп ! <Ь,<У,!2 — 1 оператор Ь,'М совпадает с оператором задачи (42), а при Ь,,=У„~2— с оператором задачи (46). Если У,(2+1<Ь,<У,— 1, то оператор Ь,'А имеет вид ~ Ьва . Ьт+Ьв 4 . ~ а~а Ь,'Я = 4 з!и' — — Ь', -~1 — — —, з1п' — ~ Л,.
2У~ ' ~ !2 1~' 2Л'в ~ Замена Ь,=У,— Ц дает Ь,Л=4соз' — — Ь,~ 1 — — — соР— ~Л 2 2 Ь2п й Ь1+Ь~ 4 2 Ь2а 2Ув ~ ( 12 Ь! 2У~,) где 1<Ь;<У,/2 — 1, т. е. в этом случае оператор Ь.,'А совпадает с оператором задачи (43). Найдем теперь собственные значения оператора Я для фвксированного значения Ь,. Так как собственными значениями оператора Л, в случае краевых условий первого рода являются (см. ~ 5 гл.
!) то собственные значения Х оператора Я есть Так как имеют место следуюшие оценки для собственных значений Хо' и Х'": и и' Йа то легко получим для любых Ь, и Ь, 2 / 2 что и требовалось доказать. Несложно найти, что для задачи (42) достаточное условие применимости метода обычной прогонки имеет вид (47) и, очевидно, выполнено для любого Ь,, Для задачи (43) анало- гичное условие имеет вид и то же выполнено для всех Ь,. Задаче (46) соответствует условие (47) с Ь, =0,5У,. Следовательно, задачи (42), (43) и (46) можно решить методом обычной прогонки. 211 ГЛАВА Ч МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ Настоящая глава содержит сведения и основные понятия теории итерационных методов, которые излагаются в последующих главах.
В $ ! изложены простейшие понятия функционального анализа, приведены основные свойства линейных и нелинейных операторов в гильбертовом пространстве, а также некоторые теоремы о разрешимости операторных уравнений. В я 2 проводится систематическая трактовка разностных схем как операторных уравнений в абстрактном пространстве и указываются свойства соответствующах операторов.
В $3 даны основные определения и понятия теории итерационных процессов, рассмотрен канонический вид итерационных схем, даны понятия сходнмости и числа итераций. й 1. Некоторые сведения из функционального анализа 1. Линейные пространства. В предыдуших главах были изучены основные прямые методы решения простейших разностных уравнений.
Построенные методы характеризуются тем, что с их помощью принципиально возможно, проделав конечное число действий, получить точное решение разностной задачи. При этом, естественно, предполагается, что входная информация задана точно и все вычисления проводятся без округления. Эффективность этих методов достаточно высокая, что достигается учетом структуры матрицы решаемой системы.
Требование выполнения специальных свойств матрицы сужает область применимости этих методов, ограничивая ее простейшими задачами. Для решения сложных и, в частности, нелинейных разностных задач наибольшее распространение получили итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении тем или иным способом сходящейся к решению последовательности приближений, начиная с некоторого начального нриближения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
