А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если выразить эти значения в терминах числа операций над действительными числами, то получим >г~ =(Зп — 1)2" действительных операций сложения и >е,=(п — 3)2» действительных операций умножения, а всего Я=(4!од,У вЂ” 4)У, У=2» операций над действительными числами. Эта оценка в два раза превосходит полученную в п.
4 оценку для случая действительной периодической сеточной функции, что является естественным, поскольку в рассматриваемом комплексном случае обрабатывается в два раза больше действительных чисел. На этом мы заканчиваем рассмотрение алгоритмов быстрого дискретного преобразования Фурье и переходим к использованию их для решения сеточных эллиптических уравнений. й 2. Решение разностных задач методом Фурье 1. Разностные задачи на собственные значения для оператора Лапласа в прямоугольнике.
В З 5 гл. 1 были рассмотрены краевые задачи на собственные значения для оператора второй разностной производной, заданного на равномерной сетке на отрезке. В двумерном случае аналогами этих задач являются задачи на собственные значения для разностного оператора Лапласа, заданного на равномерной прямоугольной сетке в прямоугольнике. Воспользуемся методом разделения переменных для отыскания собственных значений Хл и собственньсх функций ил(1, !) разнос>нного оператора Лапласа Л=Л>+Лм Лау=у-, „, а=1, 2. Пусть в прямоугольнике 6 = (О <х„< 1„, а= 1, 2) задана прямоугольная равномерная сетка «> с шагами и, и й,: «>=(х; = = (>и„!Л,) Е 6, О < >' < У,, О < ! < У„!>„Л'„= 1„, а = 1, 2).
Через а> обозначим, как обычно, внутренйие, а через у — граничные узлы сетки о>. Простейшая задача на собственные значения для оператора Лапласа в случае условий Дирихле ставится так: найти такие значения параметра Х, при которых существуют нетривиальные решения у(х) следующей задачи: Лу(х)+Ау(х)=О, хЕв>, у(х) =О, хну. (!) Будем искать собственную функцию рл(1, !) задачи (1) соответствующую собственному значению ),„, в виде р,(1, !) =р~;>() рл;>(!).
й=(й„й,). (2) 186 Подставим в (1) вместо у(х,у) =-у(1, !) функцию р„(1, !). Так как Л,у(1, !) = —,!у(!+1, !) — 28(1, !)+у(! — 1, !)), ! й', для 1 < ! < Л", — 1„! < ! < Л~,— 1, а также р~~',~ (0) = р!',~ (М,) = О, р),',~ (0) = р),"~ (У ) = О. (4) Из (3) находим, что а ~40 (е! Аи4' (/! М",(О и), (1) Так как левая часть не зависит от 1, то не зависит от ! и правая часть. С другой стороны, так как правая часть не зависит от 1, то не зависит от ! и левая часть.
Тем самым, и левая и правая части в (5) есть постоянные. Положим ЛР~~' Л = — ).о!, ' (! = — Х" Л =).' +).0> (8) и добавим сюда краевые условия (4). В результате получим одномерные сеточные задачи на собственные значении р),',> (о) =р,",'(л,) =о (7) Л,р,",'+),~ р).;,'=О, р~" ,(о) = р,".'(м,) = о. Решения задач (7) и (8) были нами 4 . ~ аап 4 ° э ааааа )4а) = —,, 3!пз — = —,3!П2 а аа зл'и аа а!а 7 !3 Я <!<Л~,— 1, (8) найдены ранее в й 5 гл. 1: э йа 1ю 2 '' А(а й,=1,2, ..., У,— 1, й,=1, 2, ..., Ж,— 1. то оператор Л, действует лишь на сеточную функцию, зависящую от аргумента !.
Аналогично оператор Л, действует на функцию, зависящую от аргумента !. Поэтому после подстановки (2) в (!) будем иметь р~~о (!) Л р~~~! (!) + р~~~~ (!) Лр~~~! (/) + Хар~~~! (!) р~~,! (!) = 0 (3) р„(), 1)=р!»*,)(;)Р1;)В= ' 3!п»" з1пк!1, у),), н! и» ' О (! ( й7„0 (1( Л/„ Л Х( )+Х$') Š—,$)п' " М", а =! (9) где Й„=1, 2, ..., ӄ— 1, а=1, 2. Отметим основные свойства найденных собственных функций и собственных значений (9).
Введем скалярное произведение сеточных функций, заданных на сетке в), следующим образом: (и, о) =,~ ~и(х) о(х)й»(х!)й»(х»), Х»»» да~ 7)а ~~ ха~~!а 1)а. Если обозначить (и, о)- = ~ и(х)о(х)!»„(х„), а=!, 2, (1О) »а» ва где «)»=(х»(!)=И„О<)<Л7!), о)»=(х,(1)=1Ь„О<1<ЛГ,), то, очевидно, что а) =а)»Ха), и хы —— (х,(!), х,(1)), кРоме того, (и, о) = ((и, о)„-, 1)-„= ((и, о)-, 1)„-, (11) Напомним, что в $ 5 гл. !было отмечено, что сеточныефункции р»',)(!) и р1,)(1) ортонормированы в смысле скалярного произведения (10), т. е. ( р»„, Ре„~7-„ 10, „~т. П оэтому отсюда и из (11) следует ортонормированность заданной формулами (9) системы собственНых функций р„(), 1): 1, й=т, О, ЙФт, й=(н„л,), т=(т„т,).
Так как число собственных функций р»(), 1) =р„„(), 1) равно (Ф! — 1)(Л!» — 1) и совпадает с числом вйутренних узлов сетки в), то любую сеточную функцию 1(), 1), заданную на «) (или на 187 ! !так, собственные функции и собственные значения разностного оператора Лапласа Л для случая граничных условий Дирихле найдены «! и обращающуюся в нуль на у), можно представлять в следую- щем виде: ~ч,-! и,— ! !(1 !) =,Х,„Х,Ьл,,р)м(!) Й",(!) 1<!(У! — 1, 1 <! -Л',— 1, где коэффициенты ФУРье !мл опРеделиютсЯ следУющим обРазом: Л!,— 1 Л!~-! !.=Ь„,=(!. р.)= Х Х !(1, !) рь",(1) рл",(1')М„ = l= ' ' ' '" (13) й, = 1, 2, ..., М ! — 1, Л, = 1, 2, ..., Лг,— 1.
Для собственных значений Хл справедлива оценка Л!!йь = )!1 + 1!1 < 2$ )м+)!л, < )!л)в-1+ )'ча-1 )ва!сэ где 2 т~ 4 ., пЛ„ /1 1т „~.,а .- ~;;) 2 4 !паа /1 1 Х,„= ~ —, соз' — < 4 ~ —,+ —,) . ! Л~„21~ ~ Л! Л1 ) Рассмотрим теперь пример более сложной задачи на собственные значения для разностного оператора Лапласа. Пусть на сторонах прямоугольника при х,=О и х, =1, по-прежнему заданы условия Дирихле, а при х,=О и х,=1,— условия Неймана, т. е. поставлена следующая задача на собственные значения: Лу (х) + Ху (х) = О, х Е «!! х «!„ у(х) =О, (14) Здесь Л=Л,+Л„оператор Л, определен ранее, а 2 — у х,=О, Л,(х, < 1,— Лм х,=1,.
(15) ух,х,' 2 — — у- Л, к,' у,- „+ — „у„,+Лу=-О, 2 2 у- — у- +)у=О, ч~ъ Л! «а х,=О, ~ х,=1„) Ь,<х,<1,— Ь„ у(0, «)=у(1„х)=0, 0<х <1м 188 Используя определение операторов Л, и Л„задачу (14) можно записать в следующем виде: у-„, +у„-„+Ху=О, хЕв, или в силу (15) (Р>ч )х,х, + л4, Рй, ( „12>) 1 ф> ~(> — — (рь.)2, + 2ь.
рь, 2 м> м> и> 1 < 1( )Ч,— 1, =О, )=О, =О (16) =О, Задача (16) также была решена нами ранее в 9 5 гл, 1. Решение имеет вид Х» = — з(п — = — з1п —, й =О, 1, ..., У, М> 4 . 2 Фзя 4 . И,я>>, 61 2>>>~ И~~ 24 ~ соз у, йз= О, й(м лая! (17) Р",'(1) = Итак, решение задачи (14), (15) найдено: р„(а', 1) = р1',> (Е) р1;> (1), О < 1 < А>„О< 1 < 1Ч„ К,=).,",>+),1>, 1<А,<ж,— 1, О<А,<й(„ где Х~~" ,и р1',>(1) определены выше, а Л~д',~ и р1;>(1) определены в (1 7).
Аналогично решаются задачи на собственные значения для разностного оператора Лапласа в прямоугольнике и в случае других комбинаций краевых условий на сторонах прямоугольника 6. Метод разделения переменных позволяет свести нх к одномерным задачам, решения которых получены в 9 5 гл.
1. Обобщение на многомерный случай очевидно. Напомним, что аналитическое решение соответствующих одномерных задач в виде синусов и косинусов было получено в 9 5 гл. 1 лишь для краевых условий первого и второго рода, их комбинаций, а также для случая периодической краевой задачи. Поэтому, если на сторонах прямоугольника (на гранях прямоугольного параллепипеда в трехмерном случае) заданы перечисленные краевые условия, то собственные функции разностного оператора Лапласа представляются в виде произведения синусов и косинусов.
189 Решение задачи (14) находится методом разделения переменных. Подставляя в (14) вместо у сеточную функцию р„(>, 1) из (2), получим для р~~",(1) задачу (7), а для р)",>(1) будем иметь следующую краевую задачу: 2. Уравнение Пуассона в прямоугольнике. Разложение вдвойной ряд. Рассмотрим теперь метод разделения переменных применительно к решению разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона на равномерной сетке в прямоугольнике: Лу= — <р(х), хЕ в, у(х) =д(х), хну, Л=Л,+Л„Л„у=у„- „, а=1, 2.
(18) Сначала сведем задачу (18) к задаче с однородным граничным условием путем изменения правой части уравнения в приграничных узлах. Стандартный прием такого преобразования состоит в перенесении известных величин в правую часть уравнения, записанного в приграничном узле. Например, если х= (й„ й,) Е ы, то уравнение Пуассона в этой точке записывается в следующем виде: — „', [у(0, й,) — 2у(й„й,)+у(2й„й,)1+ + —,, [у(й„О) — 2у(й„й,)+у(й„2й,Ц= — ~р(й„й,). 1 ь,' Так как у(0, й,) =д(0, й,), у(й„О) =у(й„О), то перенося эти величины нз левой в правую часть уравнения, будем иметь 1, [ — 2у(й„й,)+у(2й,, й,)1+ — ', [ — 2у(й„й,)+у(й„2й,)) = 1 2 = — [7(й„й.)+ —,К(0. й)+ 1, у(й. Оц.
1 Проведя подобное преобразование для каждой приграничной точки, получим разностные уравнения, не содержащие значений у(х) на у в левой части. Правые части уравнений для приграничных узлов отличаются от правой части ~р (х). Если обозначить через 1". (х) построенную правую часть, то она определяется формулами 1(х) = <р(х)+ —, ~р, (х)+ —, ~р, (х), х Е го, (19) 1 где д(0, х,), х,=й„ д (х„О), х, = й„ |р,(х) = О, 2й,<х, <1,— 2й„~р,(х) = О, 2й,<х,<1,— 2й„ Левая часть преобразованных уравнений отличается для пригра- . ничных узлов от записи разностного оператора Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
