А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(17) !52 где Ю<"> найдено выше. Итак, формулы (1О) — (12), (17) и (18) описывают метод полной редукции решения второй краевой задачи для трехточечных векторных уравнений (1). Замечание. Если Г, задано, т. е. вместо задачи (1) решается задача — У'~ <+СГ,— У'~,=к~, 1<!(>У вЂ” 1, то векторы р',ь> и <11!> считать не нужно, а У„, как это следует из (6) и (9), находится решением уравнения С<л>3<л> ц<л) 1 21, (У д>«о 1 Хф>) Аналогично, если задано у><>, то вычислять векторы р[ь> и >у<И не нужно, а 1; определяется из уравнения С<"Щ"=<т<м>+2Гт, 1> т<ю 1 Г<«> Для завершения описания метода редукции нужно указать способы обращения матриц С<»> и В'"' =Сьо — 2Е.
Для обращения матриц С'"-'> используется полученная выше (см. (36) 9 2) факторизация 2ь С'" "= Д С,,„„С! а ! — — С вЂ” 2соз( 1 Е. (19) >=1 2а Заметим, что при выполнении условия (С1; У))2(У, У), все матрицы С, а ! не вырождены, и, следовательно, не вырождена матрица С<а->>. Остановимся более подробно на вопросе обращения матрицы В'"'. Из определения В'"' и соотношения (12) п.! 9 2 получим В'и> =С<о> 2Е [С<л-»)<> 4Е (С<а->>.+ 2Е) (С<и->> 2Е) [С<<<->>)! [С<л-1> 2Е] — [С<и->> С<а-3> С«»1! (С<>> 2Е) [С«<->>С<'<-з> С<а>1> [С«» 2Е) (С<о> 1 2Е) г-! ча = ~ Ц С<а >>~ (С вЂ” 2Е) (С+2Е).
»=! Подставляя сюда (19), найдем следующее представление для матрицы: Гп-! 2! < ! й В = ~Ц Ц С, „,~ (С вЂ” 2Е)(С+2Е). ь=! >=> (20) Итак, матрица Вио факторизована и обращение В<ю может быть осуществлено последовательным обращением множителей. 153 Из (!6) получим, что У; можно найти по формуле аО» < ф«о (18) 3 а м е ч а н и е 1.
Можно получить более компактную запись (20): л В'"'=Ц С вЂ” 2соз — „",Е). с=в ~ Замечание 2. Из (20) следует, что матрица Ваи будет невырожденной, если выполнено условие (СГ, г) > 2(У; г). Если же существует такой вектор 1 ФО, для которого Сг*=2У*, то Вьи вырождена и непосредственное применение метода редукции невозможно. Это является следствием вырожденности матрицы системы (1) в рассматриваемом случае. Действительно, в этом случае однородная система(1) имеет ненулевое решение г = Г', и поэтому система (1) разрешима не для любой правой части.
йсли для данной правой части решение существует, то оно не единственно, а определяется с точностью до слагаемого Г'. Одно из возможных решений выделяется на этапе обращения вырожденной матрицы В'"'. Указанная ситуация имеет место при решении задачи Неймана для уравнения Пуассона в прямоугольнике, Более подробно указанные вопросы будут рассмотрены в главе Х П, посвященной решению вырожденных сеточных уравнений. 2.
Периодическая задача. Периодические трехточечные векторные задачи возникают при решении разностными методами эллиптических уравнений в криволинейных ортогональных системах координат — цилиндрической, полярной и сферической системах. В п. 3 й ! приведены примеры дифференциальных задач, разностные схемы для которых могут быть сведены к следующей задаче: найти решение уравнений —.)'т, +СГ.— Г~~, =Г, 1 () < й! — 1, (21) Задача (2!) также может быть решена методом полной редукции.
Рассмотрим первый шаг процесса исключения неизвестных. Как и раньше, из уравнений системы (21) для 1=2, 4, 6, ..., Ф вЂ” 2 исключим при помощи двух соседних уравнений неизвестные У' с нечетными номерами 1. Получим — У~,+С"')'у — )~~„.,=ГР), 1=2, 4, 6, ..., Лг — 2. (22) Осталось исключить )~, и Уч, из уравнения (21) для 1=0. Для этого выпишем следующие три уравнения си:темы (21): умножим второе уравнение. слева на С, сложим все три уравнения и учтем, что )'л= );. В результате получим уравнение (23) !54 где к'а> а'>2> ! С<2>2/<2>+ к'<2> С<2> С 2><2> »/ 2> / у' Объединяя (22) и (23), получим полную систему для неизвестных У с четными номерами /, имеющую аналогичную (21) структуру.
Неизвестные Уу с нечетными номерами / находятся из обычных уравнений С<2>У Р'<2>+ У..+ У+ / 1> 3 5 Л/ 1 Процесс исключения может быть продолжен дальше. После !.го шага процесса исключения получим систему для неизвестных У с номерами /, кратными 2'> — У/ 2!+С<!>У! — У/+2!=Р<!>, /=2!, 2 2!, 3.2!, Л/ 2! У»>-2!+С У» ! 2<=~2 > /=О> и группу уравнений С'»» У = Р/~» "+ У/ 2»- + У/22»-1, /=2» ', 3-2» ', 5.2» ',, Ж вЂ” 2» ', й=!, ! — 1, ..., 1 для последовательного нахождения остальных неизвестных, Правые части Р</»> определяются рекурреитно для й= 1, 2, ...
, п — 1: /т<~>= г<~ " +С'» 2> Г'~ "+Р<~ " ! ! — 2! 1 / / .>. 2» -1 > /=2", 2 2», 3 2», ..., /!/ — 2», У<»> У<»- >+Со-» У<»-<>+»2<»-2> )г<2> 2 2» 1 2»> 2»-1> / = / (25) Решив эту систему, найдем У„У, — и У» = У„а остальные неизвестные в силу (24) будут найдены как решения уравнений См > У. = Р<» >+ У! 2» — + У/ 2»- !=2»-', 3 2» ', 5 2» ', ..., />/ — 2» ', /<=л — 1, п — 2, ..., 1.
Прежде чем решать (26), найдем ~екуррентнь<е формулы для векторов р<»> и <у<»>, связанных с //< > следующим соотношением: ! ! / Г<»>=С<»р<»>+д</»>, /=О, 2», 2 2», 3 2», ..., й/ — 2». / / 155 В результате (и — 1)-го шага процесса исключения получим систему относительно У, и У, -. (Уж= — У»): У» 2! 2" '=2'» — 2У»+С<.-2> „;,„, „<л-2> Используя рекуррентные формулы (25) для Р<», получим с — ю)'-и= ?"-"+р"-' +р"-' l / 2»-1 >) +2»-1 ° р'й) р<»-1) 2 ч и-1> <») — 1»> <»- >) <»-1) % =2Р! +а...-+?>...- ? =2», 2.2", 3.2», ..., У вЂ” 2», Й=1, 2, ..., и — 1, (27) нз которых находятся р< и <?)~ для ?ФО, и формулы С<»-и с<» — 1> Ч<»-1>+р<»-1) +Р<» 1>» <»> <»-1> ! Е<»-1> (28) ,»>,», <» — 1> <»-1) <?,'=2р', +г?21 >+<?„,»,, й=!, 2, ..., п — 1, ?1и=Р„Р, =0 для нахождения р,',»' и ф>.
Обратимся теперь к решению системы (26). Из (27) и (28) для Й= а — 1 получим соотношения <и-1) Л <Л-1), <П-2), <П-2) <72п — 1 = прол-2 -гг?ол-2 +<?О.ол-о > <П-1> Л <Л-1) <П 2) <П 2) <?о = Ро +<?Ол-2 +г?2 из которых найдем <л-1> <П-1) <> < <л-1> <л-1)1 <?о — <?Ол" 2 = 2 (Ро РО"-' ) (29) Вычтем теперь из первого уравнения системы (26) второе. Полу- чим с учетом (29) и равенства (!2) п.1 3 2 (С<л-1> ! 2Е)(22 У л,) (С< -2>)2(?л 1;л,) Р м-П Р<<2-Р =с — (р,л -р<...>)+?, — (?<,.—.> [с — ) (р,л -р',.
Р). 2 — ?л Р< > +Р< (30) Подставляя (30) в первое уравнение системы (26), получим (С'л и — 2Е) ?ло — — Ро" и — 2(ром "— ро"-Р) = = (С<™ — 2Е) ром и+г?о" 1>+2Р<л:Р. Следовательно, Уо можно найти по формулам В<л-1>ФП-1> <?О<п о+2р<2>-Р, В<л "=С'л "— 2Е, )л Р<л-1> ! О<л-1> (31) О О а ГО -1 в силу (30) найдется тогда из соотношения Кол-> =Рол-1 + Ф <п-1> <и-1> (32) 166 Предполагая, что С'л " невырожденная матрица, отсюда полу- чим соотношение Итак, формулы (27), (28), (31) — (33) описывают метод полной редукции решения периодической задачи (21).
Для обращения матриц С'» " и В'" " используются факторизации (19), (20), причем в (20) нужно только заменить и на и — 1. Приведем оценку для числа арифметических действий 9, которые требуются для реализации метода полной редукции в случае периодической задачи. Обозначим, как и раньше, через д число действий, затрачиваемых на решение уравнения С„», и =г, а через 7 — число дополнительных действий для решения того же уравнения, но с другой правой частью Е. Оценка дается формулой ~ = — дУ!од, У+ (1,5д — 2о+ 7М) У вЂ” 2д+ 2д — 14М.
Сравнение втой оценки с оценкой (45) з 2, полученной для случая первой краевой задачи, показывает, что затраты на решение периодической задачи практически равны затратам на решение первой краевой задачи. 3. Третья краевая задача. 3.1. Процесс исключения неизвестных. Рассмотрим теперь метод полной редукции решения третьей краевой задачи для трехточечных векторных уравнений (С+ 2с»Е) Уо — 2)'» = Ра ) = 0 — У;,+С); — )...=Г,, 1<)~У вЂ” 1, (34) — 2),+(С+25Е) )„=Е„, 1=Л. Предполагая, что выполнены условия и)0, ~)0, а»+р»~0, введем следующие обозначения: Си~=С, С'м=С+2аЕ, С~и С4 25Е Е'"= — Г.
используя которые запишем (34) в виде — 2Уи, +СТ'Уг~ = ГЬ, 1=0, 1(1(У вЂ” 1, 1= У. (34') Пусть У = 2". Процесс исключения неизвестных для (34') осуществляется так же, как и для системы (1), которая соответствует случаю С,'и=С'и=С»ч(а=р=0). 157 Остальные неизвестные найдутся последовательно по формулам у'и= уО С'»-"Ф'»-о=~у)' "+ 1;,»-~+ 1;.„,»-, 7 1»-о ) ~(»-о (=Р~ ! 1=2» ', 3 2» ', 5 2» ', ..., У вЂ” 2»», А=п — 1, и — 2, ...,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
