А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Лу= (14) Здесь мы снова имеем дело со случаем, когда С есть трехдиагональная матрица. Задание на сторонах х, = О, 1, краевых усло- 124 вий третьего рода (11), (12) вместо условий первого рода при- водит лишь к другому определению оператора Л вЂ” вместо (7) мы имеем (14). Вид уравнений (1) и краевых условий (2) при этом не меняется. Если при х,=О гместо условия (11) задано краевое условие первого рода д(х) =-д(х), а при х,=1, по-прежнему зада- но условие (12), тс такая рззпостная задача также сводится к (!), (2). В этом случае Г = — (у(1, !), у(2, !'), ..., у(М, !)), 0<!'<Ф, Р;.
= (й.";Ч, (1, 1), Ь' ср (2, /), ..., Л',ср (М вЂ” 1, у), Щ(р (М, !)), 1 <1< Л! — 1, где ~р(1, !) =~р(1, !)+ —,д(0, !), ~~(М, !) — значение в соответ- 1 ствующей точке правой части )р из (!2), а квадратная матрица С соответствует разностному оператору Л, где дауд ~ 1 1 - 1 1~ (15) и у=О при х, О. Если краевое условие первого рода задано при х, =(„а крае- вое условие третьего рода (!1) задано при х,=О, то в (1), (2) х".=(д(0, !), д(1, !), ..., д(М вЂ” 1, !)), 0<1<!У, Гг = (Ь) ср (О, !), 6)ср (1, 1), ..., Уфр (М вЂ” 2, !), й4ср (М вЂ” 1, !)), 1<!<Ф вЂ” 1, где ~р(М вЂ” 1, 1) =<р(М вЂ” 1,!)+-гд(М, 1), а матрица С соответй~ ствует разностному оператору Л, где Ь~ 1 2а2 и у=О при х, ==1,.
Итак, мы показали, что если по направлению х, заданы крае- вые условия первого рода, а по направлению х,— любые ком- бинации краевых условий первого, второго или третьего рода, то разностные схемы для уравнения Пуассона в прямоугольнике записываются в виде первой краевой задачи для трехточечных векторных уравнений (1), (2). Матрица С определяется при по- мощи разностного оператора Л, который в зависимости от типа краевого условия на сторонах х,=О и х,=1, задается форму- лами (7), (!4) — (16). 3. Другие краевые задачи для разностных уравнений. Тип краевых условий для уравнения (1) полностью определяется типом граничных условий для разпостного уравнения (10) на 125 сторонах прямоугольника х, = 0 и х, = 1,. Мы рассмотрели случай, когда на этих сторонах были заданы краевые условия первого рода.
Рассмотрим теперь другие краевые задачи для уравнения (10), которые сводятся к векторным уравнениям (1), (3). Пусть на прямоугольной сетке ьь, определенной выше, требуется найти решение треоьей краевой задачи для разностного уравнения Пуассона. Разностная схема имеет следующий вид: д-, „+ у-,, = — <р (х), х Е в, 2 2 (18) г 2 — — „у„-+у„-, = — „к+,у — <р, х;=1„Ь,<х,<1,— Ь„ «, (19) 2 2 У,— „— Ь У„- = Ь х+«У — ~Р, х,=1„Ь;<х,<1; — Ь,. (20) (17) Аппроксимация в уголках сетки имеет специальный вид: 2 2 ! 2 2 — „у +~ у =( — „х;+ Ь и,)у — <р, х,=о, х,=о, — — И-+ — д..=(Ь и.
+Ь вЂ”,! У вЂ”, х,=(„.,=О ь, ь« * (,, -7' — У вЂ” Ь У- =( — „к г+ — „и~«)у — ~р, х,=о, х,=1, ь, «ь, «,=',,и, -1 ь, +«7' 1 ~ « У У (Ь и++и +)И % х=! х=1,. Ь «, а «~ « (21) (22) (23) (24) и определяя правую часть Р~ для 1=1, 2, ..., А1 — 1 по формулам (13), получим из (17) и (18), как и в предыдущем пункте, уравнения (1) с матрицей С, соответствующей Л из (14).
Осталось показать, что условия (19) — (24) могут быть записаны в виде краевых условий (3). Умножим (19), (21) и (22) на ( — Ь«) и распишем входящую в них разностную производну!о у„по точкам. Получим: 1) для 1=0 2 ~(! + Ь Х,) У(0, О) — М У,(о, 0)1 + +2Ь,к,у(0, 0) — 2у(0, 1) =Ь',ср(0, 0), 126 3десь предполагается, что выполнены условия х~„= сопз1, а = 1, 2. Покажем, что задача (17) — (24) сводится к (1), (3). Действительно, обозначая через у~ вектор размерности М+1 У =(д(О, 1), д(1, 1), ..., д(М, 1)), О<1<А! 2) для 1=1, 2, ..., М вЂ” 1 (2у(1, 0) — Ь1у- (1, 0)1+2й,х,у(1, 0) — 2у(1, 1) =ЬТср(1, 0), 3) для 1= М 2 [(1+ — "„' и „-) у(М, 0)+ — "„' у-, (М, 0)~ + +2й,х,у(М, 0) — 2у(М, 1) =Ь2ср(М, 0). Если обозначить а= Ь,х „то эти равенства могут быть записаны в векторном виде (С + ЫЕ) У'а — 2 К, = Ео (25) где Е,=(Ь,'<р(0, 0), Ь,'~р(1, 0), ..., Ц~р(М, 0)).
Аналогично из (20), (23) и (24) находится уравнение — 2Уч;+(С+2РЕ) У;ч= Р',ч, где обозначено 5 = Ь,х+, и Р~,=(Щр(0, У). ЬЯ(1, й!), ..., Ь,'~р (М, л!)). Итак, разностная схема (17) — (24) сведена к задаче (!), (3). Рассмотрим теперь случай задания некоторых комбинаций краевых условий на сторонах прямоугольника 6. Как было от- мечено выше, задание отличных от (!8) краевых условий на сторонах х,=О и х,=1, влияет лишь на определение матрицы С. Если при х, = 0 задано краевое условие первого рода, т. е. вместо (19), (21) и (22) задано у(х) =д(х), х,=О, то условие (25) должно быть заменено на условие У, = Е„где Р; = = (д(0, 0), ..., д(М, 0)). В этом случае трехточечная векторная краевая задача имеет вид — 1'7,+СК вЂ” Г„,=г",, 1<!'<)у — 1, — 2У'ь,;+(С+25Е) Р'~= Еч.
К аналогичной системе мы приходим и в случае, когда на сто- роне х,= 1, задано краевое условие первого рода, а на стороне х, = 0 †краев условие третьего рода. В этом случае векторная краевая задача имеет вид — р' +СУ' — Г+,— — Р~, 1</<Ь7 — 1, (27) (С+ВхЕ) Ко — 2У1=1"о. Рл'=1ь' Мы рассмотрели примеры краевых задач для разностного уравнения Пуассона в прямоугольнике и показали, что им соот- ветствуют векторные краевые задачи (1), (2) или (1), (3), или (26), (27) с соответствующей трехднагональной матрицей С.
К указанным векторным краевым задачам сводятся и разно- стные схемы для более сложных эллиптических уравнений как в декартовой, так и в криволинейных ортогональных системах !27 координат. Приведем примеры. В декартовой системе это основные краевые задачи для эллиптического уравнения д Г дик д~и з — ~А,(х,) д )+й,(х,) —.,— 4(х,)и= — 1(х), хбб, коэффициенты которого зависят только от одной переменной. В этом случае в прямоугольнике б можно вводить прямоугольную сетку о с равномерным шагом Ь, по направлению х, и произвольными неравномерными шагамй по направлению х,.
В цилиндрической системе координат такими примерами являются краевые задачи для уравнения Пуассона в конечном круговом цилиндре или трубе при наличии осевой симметрии: 1 д/ ди! Ри — — !1г — ~+ — = — 1(г, г), г дг '! дг) дг~ 0(г,<г<)г, 0<г<1. В этом случае по направлению г можно вводить произвольную неравномерную сетку, а по направлению г — сетку с постоянным шагом й,. Если для уравнения Пуассона ставится задача отыскания решения на поверхности цилиндра, т.
е. ! д~и дзи В' д + д ' !(Ф, г), 0(~Ф(2п, 0< г <1, то соответствующая разностная задача сводится к периодической векторной краевой задаче (4), причем по направлению г допускается произвольная неравномерная сетка. В полярной системе координат допустимыми являются разностные схемы для уравнения Пуассона в круге, кольце и круговом или кольцевом секторах 1 д/ ди! 1 д~и , <)г(,г дг)+ гз ~ — 1(г Ф) (г. Ф)Еб.
Для круга и кольца разностная схема сводится к периодической задаче (4), а для секторов — к задачам (1), (2) или (1), (3). Здесь можно ввести неравномерную сетку по направлению г. К периодической краевой задаче (4) сводится разиостиая схема дли уравнения Пуассона, заданного на поверхности сферы радиуса Я: 1 д l . диз 1 дйи — — ! з1пΠ— 1+ . — = — 1(Ф, 6). й'з1пздв ~ 88) 18~а!п~ддФ' 4.
Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности. Рассмотрим теперь пример разностиой схемы, которая приводится к более общему, чем (!), векторному уравнению (5). Запишем ва прямоугольной сетке в = (хб — — (Й„1!1,) Е б, 0 ,.; ! < 84, 188 0<1<)У, Ь1М=1„Ь,1т —.12) разностную задачу Дирихле для уравнения Пуассона повышенного порядка точности ! А1 + Ав у- +у- +' — '' у- — = — ср(х), хаев, К,К, Х,К, Ш К,Х,К,Х2 (28) у(х)=д(х), хЕ р. — ВР'-1+Ау.— ВР.
р. ~2 — Ве, ),,=я;, Для этого нужно умножить (28) на ( — Ь,'), расписать разностную производную (у + ' ' ук, ~ по точкам и использовать обозе с начения 1;=(у(1, 1), у(2, 1), „у(М 1, 1)), Р' =(й,'~р(1, 1), Ь',ср(2, 1), ..., Ьвс~р(М вЂ” 2, 1), Ь$р(М вЂ” 1, 1)), 1<1(У вЂ” 1, где р(1,))= р(1, 1)+ — ', (а(О, 1)+"'",,"'а-, к (О, 1)), 1 р(М вЂ” 1)=р(~ — 1)+ — „, (а(% 1)+ —,а а„-...(М, 1)) е1 Р~ — — (д(1, 1), д(2, 1), ..., У(М вЂ” 1, /)), 1=0, )р'. В этом случае матрицы В и А соответствуют разностным операторам Л, и Л, где А1+ Ь2 Лсу=у+ 2 Ух х ° 2 2 Бав — А1 ЛУ=2У вЂ” — у- 6 к|хи Ь1<х1<11 Ь1 Ь1 <х' <11 Ь1 и У=О для х,=О и х,=1,. Эти матрицы являются трехдиагональными и, как нетрудно проверить, перестановочными.
Краевую задачу (29) можно свести к задаче (!), (2). Для этого каждое из уравнений (29) нужно умножить слева на В-', если существует обратная к В матрица. Найдем достаточное условие 5 А. А. Севсерсква. В. С. Нввсвеев 129 Решение разностной схемы (28) при соответствующем выборе правой части ср(х) сходится со скоростью 0(Ь,'+Ьс) к достаточно гладкому решению дифференциальной задачи, если Ь,ФЬ„и со скоростью 0(Ь'), если Ь,=Ь, =Ь, Сведем (28) к краевой задаче для векторного трехточечного УРавнения существования В '. Очевидно, что обратная к В матрица будет существовать, если система линейных алгебраических уравнений (ЗО) имеет единственное решение для любой правой части г. В силу определения матрицы В, (30) может быть записано в виде разностной схемы а2+а2 п1У = у+ !О У2.2. =1 "1 (х1 ( 11 — й1 (3!) у(0) =-у(1,) = О.
В й 1 гл. П было показано, что если для схемы (31) выполнены достаточные условия устойчивости метода прогонки, то решение уравнения (31) существует и единственно при любой правой части ~, причем оно может быть найдено методом прогонки. Расписывая разностную производную у-, „по точкам, запишем (3!) в виде скалярных трехточечных уравнений А1У1+С1УВ1уьь1Р1(1(М12(32) У,=О, у„=О, 2, 2 2 2 где А =В = —, С.= — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
