А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Методы решения трех- и пятиточечных скалярных уравнений были изучены нами в 2 1 — 3. Если же аппроксимируется система обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка, то возникает 103 снстемв многоточечных векторных уравнений. Однако как скалярные, 'так н векторные системы многоточечных уравнений могут быть сведены к системам вида (1). При этом любому методу решения (1) будет соответствовать некоторый метод решения исходной многоточечной системы. Идею указанного преобразования поясним на примере системы пятиточечных уравнений, рассмотренной в $ 3 (см. (1) — (5)).
Если обозначить Г!=(уг+„ун у; „у;,), 2(1(Л' — 1, Рч+,— — ф, О, О, 0), 2(1(Л' — 2, р~=И. )'х) ри=Ч - Ь) то с учетом тождественных соотношений между Уч~, н У! указанная система нз $ 3 запишется в виде а; — с; Ь,—; о о о о ! о о ΠΠ— ! О (се рг+т= с! о о о о !оо оо!о о оо! 2<1< У вЂ” 2, где у- = —,!у(1+1,1) — 2у(1,1)+у(1 — 1,1)1, ! 1 ус = —,(у(1,1+1) — 2у(1,1)+у(1,1 — 1)1, у(1,1)=у(х,,). ! о еч — ач со'! д ( — с1лг-, сн ч — ьм-, ан-,~~ е~ — а! сд — Ь~! ' Н т )~ сН вЂ” ЬН ал О В данном случае М,=М,=2, М=4. Несмотря на то, что многоточечные векторные уравнения можно свести к виду (1) и ограничиться построением метода решения только системы (1), мы рассмотрим отдельно класс трехточечных векторных ураенений.
Более того, в п. 3 мы сведем (1) к системе трехточечных векторных уравнений н получим метод решения системы (1) как вариант метода решения трехточечных уравнений, Прежде чем описывать общий вид трехточечных уравнений, рассмотрим пример. Мы покажем, как разностная задача для простейшего эллиптического уравнения сводится к системе трехточечных уравнений специального вида.
Пусть на прямоугольной сетке в = (ху — — (1н,„1й,) Е 6, 0(1<М, 0~1(Ф, 1х=МЙ„1,=Уй,) с гРаницей У, введенной в пРЯмоугольнике б=(0(х„(1, а=1, 2), требуется найти решение разнсстной задачи Дирихле для уравнения Пуассона у- +у- = — <р(х), хасэ, у (х) = а (х), хну, Преобразуем схему (3). Для этого умножим (3) иа ( — !ссс) и распишем по точкам разностную производную у„-, . При 1<!<!!! — 1 будем иметь: для 2<с <М вЂ” 2 — у(с', ! — !)+[2у(1, !) — Уу„;„,(с, !)1 — у(с, !+1)=)уф(1, !); для с=1 /4 — у(с, 1 — 1)+ ~2у(1, !) — +(у(!+1, !) — 2у(с, !))1 — у(1, !+1) =* 1 = )Ф (! 1)1 для с=м — 1 Сс( — у(1, ! — 1)+ ~2у(1, !) — — ', (у(с' — 1, !) — 2у(1, 1))1 — у(с',1+1) = 1 = йср (1, !), где ф (1 !) = ф (1 !) + ! а (О !) 1 ф (м — 1, !) = р (м — 1, 1)+ ~с-а(м, 1).
Ьс Крсме того, для 1=0, с!! имеем у (С, 0) = а (Е, 0), у (с', ЛС) = а (1, ЛС), 1 < С < М вЂ” 1. Обозначим теперь через 1'! вектор размерности М вЂ” 1, ком- понентами которого являются значения сеточной функции у(1, 1) во внутренних узлах сетки а на 1-й строке: Г,=(у(1, !), у(2, !), ..., у(М вЂ” 1, !)), 0<! У, а через Г! — вектор размерности М вЂ” 1 ~у=(!саф(1.
1) Ус~ф(2 1) Лиф(М вЂ” 2. 1) )с~ф(М вЂ” 1 1)). 1<!а Лс — 1, )и!=(а(1, 1), а(2, !), ..., а(м — 1, !)), ! О. й! Определим также квадратную матрицу С размером (М вЂ” 1)Х Х(м — 1) следующим образом: СР=(Ли(1), Ли(2), ..., Ли(м — 1)), У=(и(1), и(2), ..., и(м — 1)), где разностный оператор Л есть Ли(с)=2и(с) — ')си- (с), 1<!<М вЂ” 1, и(0) =и(м) =О.
Легко видеть, что С есть трехдиагональная матрица вида 2(1+а) — а 0 .... 0 0 0 — а 2(1+а) — со .... 0 0 0 0 — а2(1+а) .... 0 0 0 С вЂ” .. ° ° ° ° ° ° ... ° . °... ° ° ° ° .. ° ° ° ° ., (4) 0 0 0 .... 2(1+а) — а 0 0 0 0 .... — оо 2(1+а) — а 0 0 0 .... 0 — а 2(1+а) где а=й,'/Ьо„причем С является матрицей с диагональным пре- обладанием, так как 11+и~ >)и(, а> О, и следовательно, не вырожден а. Используя введенные обозначения, полученные выше соот- ношения можно записать в виде следующей системы трехточеч- ных векторных уравнений: — ~,,+СК,— ~,„=~;, 1~)~й( Это и есть искомая трехточечная система специального вида с постоянными коэффициентами.
Задача (5) является частным случаем следующей общей за- дачи: найти векторы Г. (О(/(У), удовлетворяющие следую- щей системе: Со У'о — Во)"о = ~'о, 1=0, — А~У~ о+С~)~~ — В,У~+о — — Р~, 1()~й( — 1, (6) — А1оУд о+СтоР~=Г~, )=Ж, где К и Р' — векторы размерности М, С вЂ” квадратная матрица МуХМу, Ат и Ву — пРЯмоУгольные матРицы соответственно Раз- меров Му Х Му, и М, х М~+,.
К системам вида (6) сводятся разностные схемы для эллип- тических уравнений второго порядка с переменными коэффи- циентами в произвольной области любого числа измерений. В двумерном случае, как и в разобранном выше примере, век- тор У' образуют неизвестные на )чой строке сетки «о, а в случае трех измерений †неизвестн на )чм слое сетки оо.
В последнем случае С~ — блочно-трехдиагональиые матрицы с трехднагональ- ными матрицами на главной диагонали. Для решения системы (6) мы рассмотрим метод матричной прогонки, который аналогичен методу прогонки для скалярных трехточечных уравнений. 2. Прогонка для трехточечных векторных уравнений. Построим метод решения системы трехточечных векторных уравнений (6). Эта система родственна системе скалярных трехточечных урав- нений, метод решения которой был изучен нами в 2 1. Поэтому решение задачи (6) будем искать в виде К=и+о~~+о+()(+г, !=У вЂ” 1, У вЂ” 2, ..., О, (7) 106 где а, — неопределенная пока прямоугольная матрица размеров М,.хМ,~„а ~,„— вектор размерности М,. Из формулы (7) и уравнений системы (6) для 1(1(М вЂ” 1 йаходятся (как и в случае обычной прогонки) рекуррентные соотношения для вычисления матриц аг и векторов Ц1р Из (7) и уравнений (6) для 1=0, М, находятся начальные значения а„(1, и Ке„позволяющие начать счет по рекуррентным соотношениям.
Выпишем окончательные формулы алгоритма предлагаемого метода, который будем называть методом матричной прогонки: ! 1 2» Л 1 а» Со Ве (8) Ау(1,), ! =1, 2, ..., М, Ц),=С Р„(9) 1.=М вЂ” 1,М вЂ” 2, ...,0, У =Ц) „.(10) а~+,=(С~ — Ар~) 'В, 6,„=(С,— А,,)- (Е,+ у+ /+1+ (1 + Будем говорить, что алгоритм (8) — (10) корректен, если матрицы С, и Су — Ахс~ для 1(1(М не вырождены. Прежде чем дать определение устойчивости алгоритма (8) — (1О), напомним некоторые сведения из линейной алгебры. Пусть А — произвольная прямоугольная т ха матрица. Пусть ЦхЦ„есть норма вектора х в и-мерном пространстве Н„. Тогда норма А определяется равенством .~о 1хЬ ЦСо В»Ц(~ 1» ЦСйУАнЦ(1» ЦС» ~А»Ц+ ЦСГ~В~Ц 1 1(1(М 1» 107 Очевидно, что норма А определяется как самой матрицей А, так и теми векторными нормами, которые введены в Н„ и Н„. л Для случая евклидовых норм в Н„и Н 1Цх~=,Я~ х',~ имеем С=1 / ЦА Ц=) 'р, где р — максимальное по модулю собственное значение матрицы А*А.
Из определения нормы следует очевидное соотношение ЦАхЦ (ЦАЦЦхЦ,. Далее, пусть заданы матрицы А и В соответственно размеров тхп и пхй. Вводя в Н„, Н„и Н„векторные нормы и определяя с их помощью нормы матриц А, В и АВ, получим неравенства ЦАВЦ(ЦАИВЦ. Будем говорить, что алгоритм устойчив, если выполняется оценка Ца, Ц(1 для 1 <1(М (предполагается, что в конечно- мерных пространствах Нм, которым принадлежат векторы У~, введена однотипная норма, например евклидова).
Лемма 5. Если Су для 0 ( 1 < М вЂ” невырожденные матрицы, а Ах и Ву — ненулевые матрицы для 1(Ц(М вЂ” 1 и выполнены условия причем хотя бы в одном из неравенств имеет место строгое неравенство, то алгоритм метода матричной прогонки (8) — (10) устойчив и корректен. Приведем. только основной этап, оставляя читателю завершение доказательства леммы. Доказательство использует известное утверждение: если для квадратной матрицы В имеет место оценка ЦЯЦе=,у< 1, то существует обратная к Š— В матрица, причем Ц(Š— Я)-'Ц<1Я1 — о). Предположим теперь, что Цеху Ц< 1. Отсюда и из условий леммы будем иметь ЦС)'А-а)Ц<ЦС)'А.Ц<1 — ЦС,'В Ц< 1. Так как Сг'Ауа квадратная матрица, то, следовательно, существуют обратйые к Š— С)цлАуа~ и к Су — Ауа матрицы, причем Ц(Š— СцлАссу) 'Ц(1ЯС В,Ц.
Отсюда и из (8) сразу получим Ца +,Ц<Ц(Š— Сгт'Ауау)-'С)'ВуЦ~Ц(Š— С,'Ауле ) ьЦЦСт'В Ц<1. Доказательство завершается по индукции. Применим лемму 5 к системе трехточечных векторных уравнений (5), полученных из разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Система (5) есть частный случай (6), где Су — — С, Ву=Ау —— Е, 1<)<Аг — 1, Се=Сн=Е, Ве=Алг — — О, а квадратная матрица С задана в (4). Условия леммы 5 для рассматриваемого примера принимают видЦС зЦ =0,5. Для случая евклидовой нормы в силу симметрии С имеем ЦС 'Ц=шах)Ле(С-')!= где Ле(С) — собственное значение матрицы С. Из определения С получим, что Л„(С) есть собственное значение определенного выше оператора А Ло()) — Лев ()) = (2 — Ле)о(1) — ЬЦо- (1) = О, о (0) = о (М) = О, 1 < 1 < М вЂ” 1.
Зта задача сводится заменой Л =- 2+ ЬЦ)ь» к рассмотренной в п. 1 й 5 гл. 1 задаче на собствейные значения для простей- шего разностного оператора: о;„+реп= О, 1 <1< М вЂ” 1, о(0)= =о (М) = О. Так как эта задача имеет решение, равное ре — — —, з!и' — > О, й = 1, 2, ..., М вЂ” 1, 4 . зепл, лЦ то Л„=Ля(С) =2+)ьз)ье > 2. Следовательно, условие ЦС-'Ц <О 5 выполнено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
