А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Они являются частными случаями трехточечных систем уравнений, для которых в ~ 1 был построен метод прогонки. Для (20) и (21) формулы прогонки принимают следующий вид: и,=а;+,ис+,+~с+„(=й! — 1, !Ч вЂ” 2, ..., 1, им — — О, (24) ос.— асор,„,+уг „1=7о' — 1, У вЂ” 2, ..., 1, о,=1, где прогоночные коэффициенты ип Ц и у; находятся по следующим формулам: у„,= — 'т', 1=1, 2, ..., У, у„=1. (27) ! о с Преобразуем (23). Из (24) получим ии, = ать,+ ~ч= ~,, ои,=ти+сс„.

Подставим эти выражения в (23) н учтем условия (15), (25) — (27): 7;о+ ачй.ч+,оа; 8;о+ о+ аа+,ао Уо— ссо — асоасо — анти — Ь~цсо 1 — того.,— а~до:осо ' Мы построили алгоритм решения задачи (17), (18), который носит название метода циклической прогонки: сс, = Ысо ро = ~,!со у, = а,(с„ ьс я 7;+аойо а тс с+о с; — а;а; ' "с+' с; — а;а; ' у'+' с; — аоаС ' 1=2,3, ..., й!; ии, = ()а„о,, = иго+ ун, (28) 1 а ис =со!ооис+о т Рс+о ос =соо+ооу со+ ус+о (=й! — 2, Ь7 — 3, ..., 1; Уо= о Ус=и!+уоои (=1, 2, ..., У вЂ” 1, тих+о аь'+ни Элементарный подсчет показывает, что для его реализации требуется 6(У вЂ” 1) умножений, 5У вЂ” 3 сложений и вычитаний и ЗУ+1 делений. Если не делать различия между арифметическими операциями, то общее их число есть !г=14У вЂ” 8. Исследуем вопрос о применимости и устойчивости алгоритма (28).

Имеет место Лемма 2. Пусть ковффициенты системы (14), (15) удовлетворяют условиям [а,[>0, [Ь~[>0, [с|[)[а|[+[Ь,[, 1=1, 2, ..., У, (2д) и суи!ествует такое 1(|',<У, что [с| ! ) [а| [+[Ь~ [. Тогда с| — ар, ~= О, [а| [ < 1, [а| [+ [ у| [ < 1, |' = 2, 3, ..., У, Действительно, так как ао р| и у| есть прогоночные коэффициенты метода правой прогонки, примененного к решению задач (20) и (2!), а в силу (2д), условия леммы 1 выполнены, то из леммы 1 следует справедливость неравенств с| — аа|~0, [а;[(1, |=2, 3, ..., У, [с; — а|а|!)[с|[ — [а,[[а,!)~[Ь![>О.

(30) Далее, на основании условий леммы 2, [а,[+[Ь,[([с,[ и, следовательно, [а,[+[у,[(1. Отсюда методом индукции получим неравенства [а|[+ [у;[ ( 1, | = 2, 3, ..., У, (31) так как ! ьП+ ! |и ! ! т| ! ! а| !+! Ь| ! — ! а| ! !1 — ! т; !) ! с| ! — ! а| ! ! а| ! и имеет место (30). Заметим, что [с|[>[а,[+[Ь,[ для 1=1, и, следовательно, [а;,, [+ [ уи+, [ < 1. Отсюда следует, что для |)|',+1 имеет место строгое неравенство [а,[+[у,[<1. Так как 1<|о -У, то [а|»+ [+[у|»+|[<1.

Нам осталось показать, что 1 — у|»+,— а» р,чьО. На основании (28) и (31) получим [ом,[<[а|»[+[у,»[(1, а далее методом индукции докажем неравенства [о;[<1, 1(1( (У вЂ” 1, так как в силу (31) ! о| ! < [а|+,![о|+, [+ ! у|+, [< [а|+, [+ [у|+, [ <1. В частности, 10,1(1. Отсюда, с учетом доказанного неравенства (осу+!(+(Уу+1! < 1, Делаем вывоД, что 11 — у +,— ох „!О,)>1 — (у +1~ — (а +1()о!() ) 1 — (ал,эг( — ~ Ум+,(> О.

3. Метод прогонки для сложных систем. Продолжим построение вариан- тов метода прогонки для ре1нения систем разносп1ых уравнений с матрицами, отличными ст трехдиагональпых. В п. 2 метод циклической прогонки при- менялся для решения систем, матрицы которых содержалн вне главных диагоналей только два ненулевых элемента.

Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть требуется решить следующу1о систему уравнений: 1У-1 СОУΠ— ~~'.~ бГУ7 — фОУЛГ= гоз 1=0, 7=! — оргро — агро-! 4 сгуг — Ь,У! т, — фгугг= у!, ! 1~ Ьг — 1, (32) Ф-1 !Гауз ~а ~Кур/+суудг=-lдг о=йг. 1=1 Система вида 132) возникает при аппроксимации обыкновенных диффе- ренциальных уравнений второго порядка в случае связанных краевых усло- вий, прп нахождении решений, удовлетворяющих дополнительным условиям интегрального типа, и в ряде других случаев.

В частности, в таком виде могут быть записаны все рассмотренные выше системы разностных уравнений. Например, если в (32) положить !(г=-Ьо ау !.— --ао 11;=О, 2~1~)У вЂ” 2, ег=ф1=У!=0, 1~1~,у — 1, ф,=О, ~р~~=с,у=1, ),у=О, то мы получим задачу (17), (18). Если ввести векторы 1'=-(уо, уг, ..., уу) и можно записать в векторном виде Д$'=Р', где А= со е=(го, ..., 1!у), то (32) — 31 — 4~ — г(о " — И.у-з — 1(.у-з — Ау-! — фо О; — фх о ,',— р, 0 ! — оьз — 1р,— а, . 'с, — 1р, ,'— а, — 1р, 1 О 1~ — ру,„! Π— ь, о ... о — ь, ... о — а, с, ...

0 0 0 ... сто О О ...— ау 0 0 .. 0 фм-о Ь.у- ', фмсу ! 1 — Ьу ! — ф1у — д,у ! су — о су — ал! — к,у,,:, о — !р.у -1 1( 0 ~ — Чэлг — Ы! 90 Ко Ыо ''' Ьу о кЯ 3 Лемма 2 полностью доказана. В заключение заметим, что от правой части 71 зависит прогоночный коэффициент(1!и, следовательно, иг и у,. Прогоночные коэффициенты аг и Уо а также ог не зависЯт от 71 и пРи Решении лишь первой задачи из серии вычисляются и запоминаются.

Это позволяет вторую и каждую следующую задачу из серии решить за Я =-9Ж вЂ” 4 действий. Видно, что матрица аз получена окаймлеиием трехдиагоизльиой матрицы при помощи столбцов и строк со всех четырех сторон. Заметим, что при другом упорядочении неизвестных у»= (у„ у„ ..., УУ, уо) система (32) запишется в виде А»Г»=Г», где матраца Д» получается окаймлением той же трехдиагоиальной матрицы, но только при помощи двух столбцов справа и двух строк снизу. Переходим к построению метода решения задачи (32). Решение задачи (32) будем искать в виде линейной комбинации трех сеточных функций иь о; и ю11 У;= и/+у»о!+ УУю1, (33) где иь о; и ш! есть решения следующих трехточечных краевых задач: — ага!-!+сги1 — Ь;иг+,— — 11, 1~! ~ Ф вЂ” 1, ! (34) — а;ог !+с;ог — Ь;о;+1 — — ор1, !~!~У вЂ” 1,) по=1, ау=О; (35) — а1тв1 1+с!та! — Ьбво+! — — фу 1~1~У вЂ” 1, ) ш»=О.

му= ! ° (36) Из (ЗЗ) — (36) видно, что для 1 ~ ! ~ У вЂ” 1 уравнения системы (32) выполняются. Краевые условия для и1, о1 и в1 обеспечивают превращение (33) в тождество при !=О и 1=У. Таким образом, если будут решены задачи (34) — (36) и найдены уо и УУ, то формула (33) будет определять решение исходной задачи (32). найдем сначала уо и уу. Значения для уо и УУ найдем, используя уравнения системы (32) при !'=О и 1=У. Подставляя в эти уравнения у; из (33), получим систему из двух уравнений для уо и УУ. с У1 Ъ, / У! У-1 со — ~~", о/о/) уо — (1)о+ ~~'.~ б/ю//(уу=10+ ~~'., б/и/, 1=! 1=! 1=1 У! ъ, / У! У-! 9у+ ~ у/о//) уо+~ су — с~~ д/ю//) уу=/у+ ~ у/и/ ° 1=1 1=1 1=1 Если детерминант этой системы с» ~к~~~ '(/ о/ сУ,а',! у/ш/ фо+ ~к~! б/Ф/ !УУ+ ~ у/о/ (37) отличен от нуля, то оиа имеет единственное решение У1-1 У- 1 ('/' о — ! ' — 2,' ю'Мьо ~~ Оч)'- 1=! / ь 1=! У-1 У-! »(»»з' о )(! !-з'» ~1), (38! У-1 У-! 1~( --.[( +Е' У е",",)+ 1=1 / » 1=1 У-1 / У-1 +.- з;, ) (!.о З, »...Д !зо! 1=1 1=! Рассмотрим теперь метод решения вспомогательных задач (34) — (36).

Так как здесь мы имеем дело с обычными краевыми задачами для трехто- чечных уравнений, то можно использовать метод прогонки, описанный в й 1. Длк (34)-(36) формулы алгоритма правой прогонки принимают следующий внд: и!=а!+!иг+!+6!+т, 1=)т' — 1... „О, им=О, о!=а;+то;+!+у!+з, ! — — Д! — 1, ..., О, ото=О, (40) ш;=а!+зш;+!+6!+1, 1=!т' — 1, ..., О, шм=1, где ирогоночные коэффициенты аи 61, у! и Ь! определяются по формулам Ь; 7! + агй! !+! с — а а ' ~!+! с — а!и ' ! ! ! с=! 2, ..., Ь7 — 1, а! — — О, ()! —— О, !р;+агу! ф+а!Ь! 7+!= —,, 6+1=— с! — асс!! ' с; — а! х; 1=1 2, ..., !У вЂ” 1, 7! — — 1, О! — — О.

Таким образом, для задачи (32) метод прогонки описывается формулами (ЗЗ), (37) †(41). Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости и корректности предложен. ного алгоритма. В силу леммы ! условия )а!1> О, (Ь;) > О, (с!)) (а!)+)Ь!(, 1~1~Ь7 — 1 (42) (4!) достаточны для устойчивости н корректности метода прогонки (40) — (4!) решения вспомогательных задач (34) — (36). Можно показать, что если исходная система (32) имеет единственное решение, то детерминант Д, определенный формулой (37), отличен от нуля. В этом случае формулы (33) и (39) лля вычисления ув н ум будут корректны. Сформулируем полученный результат в виде леммы. Л ем м а 3.

Если система (32) имеет единственное решение и выполнены условия (42), то алгоритм (33), (37) — (41) метода прогонки для задачи (32) корреюпен и остойчив. Заметим, что формулировка простых н в то же время не слишком ограничительных достаточных условий разрешимости системы (32) является сложной задачей. Приведем пример условий, которые обеспечивают корректность и устойчивость предложенного алгоритма.

Пусть матрипа системы (32) имеет диагональное преобладание, т. е. выполнены условия (с;()) а!)+) Ь!)+) <рг)+) фг), ! ~(~дг — 1, (43) м-! Ф-! ) св) )(фэ(+ ~ч~~ ~(йг), (сл )) ) !р!т!+ ~ (ут(, (44) 1=! з=! )а!) > О, ) Ь!( > О, 1т.1~д! — 1, (сэ) > О, ) с!т( > О, ! Ю-! м-! ..— ~ й,оу~ )св(-~(й,))о7( (фв)+ 1! 1! м-! Ф-! м-! +Х (-(оу))(йу( )фв(+ Х)шу))й7) ~фа+ а шубу 1=! ! ! 1=! причем, хотя бы в одном из неравенств (43) илн (44) выполняется строгое неравенство.

Укажем основные этапы доказательства. Сначала доказывается, что имеют место неравенства (а!)+) у!)+)б!)~1, 1~1~3!. Далее доказываются неравенства )ог(+)ш!)~! для !~!~У, причем, если в (43) хотя бы для одного ! выполняется строгое неравенство, то для всех 1 ~ ! ~ ЬГ верны неравенства ) ог(+(и!) < 1.

Далее имеем и аналогично ем в ч~~~ ~душ) ) фд + г', дуоу, (45) уо уь )ог (Го) ум уь рз (Го) уг=по(х;), л=О, 1, ..., 1~4~)у — 1, аппроксимирующую уравнение теплопроводностн со связанными (нелокаль. ными) краевыми условиями ди дои — — Осх<1, 1>0, дГ дхо ' и (О, 1) — и (т(1), 1) =Рг (1), и (1, Г) — и (ч (1), 1) = ро (Г) и (х, 0) = ио (х) где функция х= ч (г) принимает значения от 0 до(.

Отметим, что в схеме (45) КрИВая Х= — Ч(1) аППрОКСИМнрОВаиа ЛОМаНОЙ ХЗ=Ч(1«), таК Чте ТОЧКИ (ХЗ, га) являются узловыми точками сетки. Разностная схема (45) записывается в виде системы (32) относительно у;=уг+ при следующих значениях коэффициентов и правой части (омО): с,=1, да=1, )о=и,(1„+,), Р,=О, д,=О, сог=1, чь=!, )и=)оо(Г«+г), фа=О, дг=О, )~й, ф; = ф; = О, аг = Ьг = 1)д, с; = иг+ Ь1+ 11(от), Гг= — уг+~ — — 1~ у, о=1, 2, ..., 31 — 1. 1 о Г1 2 от (и у ««,г' Огсюда получим, что требование (2(йо+1/(а«)1> 2/Ьо обеспечивает вы. волнение условий (43), (44). Следовательно, при,'и > — до/(4т) для нахождения решения схемы (45) на верхнем слое можно использовать описанный здесь вариант метода прогонки, который будет устойчив и корректен.

Характеристики

Список файлов книги