А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978) (1160094), страница 12
Текст из файла (страница 12)
! Если л/ кратно 3, то решение краевой задачи (11) не существует. 2. Полиномы Чебышева. Вернемся теперь к уравнению (б), Сначала рассмотрим следующую задачу Коши: у(п+2) — 2ху(а+1)+у(п)=0, п)0, у(0) =1, у(!) =х. (12) С другой стороны, общее решение уравнения (12) дается формулой (8) для любого х. Подставляя в (8) начальные значения для у(а), будем иметь ( + М~:3!)" +( + У"'т: !) " (14) В частности, если !х~(1, то, полагая здесь х=соз(агссозх), получим Т„(х) =сов(пагссозх), !х((1.
И так, решение задачи (12) найдено. Решение есть полипом Т„(х), который для любого х определяется формулой (14) или формулой соз (а агссоз х), ~ х ! (1, — ((х+Ух' — 1)" +(х+)"х' — !) "~, ~х!) 1. Полипом Т, (х) называется полиномом Чебышева первого рода степени а.
Рассмотрим теперь другую задачу Коши для уравнения (б) у (и+ 2) — 2ху (а+ 1) + у (а) = О, и ) О, у(0) =1, у(1) =2х. Очевидно, что и здесь у (и) — полипом и-и степени от х. Обозна- чим его через У„(х). Получим явный вид для 41„(х). Подставляя йй Заметим, что из (12) следует у(2) = 2ху(1) — у(0) = 2х' — 1, у(3) = 2ху(2) — у(1) =4х' — Зх, и вообще у(п) есть полипом а-й степени от х. Обозначим этот полипом Т„(х).
Подставляя Т„(х) вместо у(а) в (12), получим рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет этот полином Т„.„, (х) = 2хТ„,, (х) — Т„(х), а)~ О, 13) Т,(х) =1, Т,(х) =х, — оо (х( оо. (13 начальные значения для у(п) в (8), будем иметь для любого х: У„(х) 2х (х+ 1' хв — 1)" — (х+ Ухв — 1)" (х+ Ухв — 1) !а о — 2х (х + У хв — 1) (х+ г' ха — !)"+в — (х+ г' х' — 1) 2 Ух~ — 1 (17) В частности, если !х~(1, то вю (и+1) агссов х а!и агссов х У х)= Полипом У„(х) называется похиномом Чебышева второго рода степени п и определяется формулами в!и (и+ 1) агссоа х х((1, Ми агссов х ()= ' Н.+)~ — )"" — (.+)'.
— )-'""], "') 2 г'хв — 1 У„+, (х) = 2хУ„„(х) — У„(х), п) О, У,(х) =1, У,(х) =2х. (19) Формула (!7) позволяет получить вместо (8) следующее представление для общего решения уравнения (6): у(п) = —.,У„, (х)+ с,У„, (х). Получим еще одно представление для общего решения уравнения (6). Покажем, что функции о,(п) =Т„(х) и о,(п) = У„,(х) являются линейно независимыми решениями однородного уравнения (6). Действительно, нужно показать лишь их линейную независимость. Так как определитель4 ~ (" * " ) = ~ (г , (х) (г, (х) ! = ~.'о отличен от нуля, то утверждение справедливо. Следовательно, общее решение уравнения (6) можно представить в виде у(п) =с,Т„(х)+с,У„, (х), (20) где с, и с,— произвольные постоянные, а функции Т„(х) и У„(х) для любых х и п определяются формулами (14) и (17).
В заключение приведем некоторые легко проверяемые состношення, выражающие связи между полиномами Чебышева оз )х)) 1. Из (16) получим для полиномов У„(х) следующее рекуррентное соотношение: т„(х) и У„(х), а также свойства этих полиномов. Имеют место следующие формулы: Т„(х)=Т „(х), У „(х)= — У„,(х), и)0, (21) Т,„(х) = Тг (Т„(х)), Уг„, (х) = Уг, (Т„(х)), (22) Т,„(х) = 2 (Т„(х))' — 1, (23) Т„, (х) — хТ„(х) = (1 — х') и„г (х), (24) й„г(х) — и„(х) = — т„, (х), (25) У„, (х) + и„г (х) = 2Т, (х) У„(х). (26) Из (26) при соответствующей замене индексов г и и получим У„;,(х)+У„;, (х) = 2Т,(х) У„,(х), (27) и„,. (х) + и„г, (х) = 2Т,, (х) У„, (х).
(28) Полагая в (26) — (28) 1= и, будем иметь 2Т„(х) У„(х) = и,„(х) + 1, (29) 2Т„(х) и„, (х) = и„г(х), (30) 2т„(х) и„; (х) = и,„(х) — 1. (31) Здесь были учтены равенства (21) и У,(х) =1, У,(х)=0. Если положить в (26) и=О, то получим 2Т„(х) = и„(х) — У„, (х). (32) 3. Общее решение неоднородного уравнения.
Построим теперь общее решение неоднородного уравнения (1) а,у(и+ 2)+ а,у (и+1)+а,у (и) = 7(и). (33) В силу теоремы 3 общее решение уравнения (33) есть сумма у(и) =у(и)+у(и), где у(и) — общее решение однородного уравнения(2), ау(и) — частное решение неоднородного уравнения (33). Выше было показано, что линейно независимыми решениями уравнения (2) являются функции (34) а решение у(и) определяется формулой (5): у(и) =с,от(и)+с,о,(и). Для нахождения частного решения у(и) уравнения (33) воспользуемся методом вариации постоянных, изложенным в п. 3 й 2. Формула (19) й 2 дает решение у(и) в следующем виде: г (ггг(гг+1) с2(гг+1)1 ~ ! ~1(~) ~~(~) ! 7 ( ) У( ) > ° ггг(гг+1) с1(1+2)1 аа ~="о „(1+1) (а+2) ~ В результате несложных вычислений будем иметь у(п) = ~~ 1, пч~:п„п,+1 Чв — Чв а, и У(ив) У(ив+1)=(1 Следовательно, общее решение неоднородного уравнения (33) имеет вид л-2 (П)=С Ч'Ч' Ч>Чв+С ~' Ч" + ~ Чв Ч' ° '( )> (35) Чв — Чв в Чв — Чв в Чв — ЧВ св где с, и с,— произвольные постоянные.
Если решается задача Коши, т, е. ищется решение уравнения (33), удовлетворяющее условиям у(п)=у у(п +Ц=у (36) то из (35) и (36) получим следующее представление для решения этой задачи: в-2 у(и)=у, Ч'Ч Ч'Ч' +у, Ч' Ч' + ~ Чв — Чв Чв — Чв »-в-1 и А 1 г(в) Чв — Чв ав (37) Найдем теперь решение первой краевой задачи для разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет удобно записывать такую задачу в следующем виде: а у(п+!)+а,у(и)+а у(п — 1) = — 1'(п), 1 =п(Ф вЂ” 1, (38) у(0) =р„у(У) =р,. в-1 У(п)=с ' ' ' +с ' — ~~', Чв Ч' .
— (39) Чв — Ч, в Ч,— Ч, Ч,— Ч, а, Определим постоянные с, и с, из условия, чтобы решение (39) принимало при п=О н п=ву заданные значения у(0)=р, и у(вр) =р,. Опуская несложные выкладки, получим следующую 60 Эта запись отличается от (33) сдвигом индекса п, поэтому, используя (35), получим следующую формулу для общего решения уравнения (38): формулу для решения краевой задачи (38): ( ) (ЧИ~)" (Ч~ — В ) + Ч~ — Ч~ л л "' и л)л' Ча — ч1 ча — ч1 а-1 .+т (4142)а-а(ч "— 41" ")(ч — а1) 7(л)(.
а=1 (Ча — Чд (Ча — Ч1 ) У М ал п-л + ~ (ч — 41 )(4"' — ").~(л). (40) л ч1 аа л=а (чэ — 91) (ча — 41 ) Заметим, что решение краевой задачи (38) не существует лишь в случае, когда д~ = д»', но д, ~ д,. Рассмотрим теперь частные случаи использования формулы (40). Пусть требуется решить первую краевую задачу для уравнения у (и+ 1) — 2ху (и) + у (и — 1) = — 7 (и), 1 ( п < Ф вЂ” 1, йо у(йг) Выше были найдены корни д, и д, соответствующего (4!) характеристического уравнения д, = х + )/ х' — 1, д, = х — )/ х' — ! = 1/д,. Подставляя эти значения в (40) и учитывая формулу (17) для полинома У„(х), получим решение задачи (4!) в следующем виде: и-1 у(п) = л' " '(1 )л,+~~~у~,(х)~я + л=! Ф-1 -~,',"-'',*„',[р,~- т и„,,апнц]. (4ч л=л Решение существует н дается формулой (42), если выполнено ап условие х4=соз —, й =1, 2, ..., У вЂ” 1.
У Вернемся к уравнению (38). Если а,а, > О, то решение (40) этой задачи может быть записано в более компактной, чем (40), форме. Действительно, запишем корни ч;= — „! — .~.Га — ~.а~, ц =~[ —,— $'м — 4,~! 1 1 характеристического уравнения, соответствующего (38), в следующем виде: дг = р (х + )' х' — 1 ), д, = р (х †)~ х' — 1), (43) 61 где (44) Подставим (43) в (40) и учтем формулу (17). Получим решение задачи (38) для случая аиа, > 0 в виде л-1 и„„. 1(х) „] +Ч и, «(х) ПЮ + С1ас 1(х) р ]1 '+ф л р"-1 ас с=1 Л-1 ()л-Г(Х) ( ~ ~ 1Г-Х 1 ПЧ 1 +(1и 1(х) (1л'-л1» 1+ ~1 Р лс а '( ) аи Й=л где р и х определены в (44).
Решение задачи (38) для случая а,а, > 0 существует, если выполнено условие аг+ 2 'к а,а, соз — чьО, М й=1,2, ...,У вЂ” !. Рассмотрим теперь первую краевую задачу для трехточечного векторного уравнения с постоянными коэффициентами 1'л; — С )х„+ 1'„+1 — — — )и„, 1<п(У вЂ” 1 (45) где 1'„и х'„— векторы, а С вЂ” квадратная матрица. Легко проверить, что общее решение неоднородного уравнения(45) имеет вид 1„=()„,(-,'С) Сг+(1„1ЯС) С,— ~ ()„„,Яс) р„, где С; и С,— произвольные векторы, а У„(Х) есть матричный полином от матрицы Х, определяемый по рекуррентным формулам (19). (! Если матрица С такова, что У,и -, ( — С) невырождеиная матрица, то решение краевой задачи (45) определяется формулой, аналогичной формуле (42) л-! и.=ир„(' с) и„., ( —,' с) [л.1-х, и,,(' с) л,] и 1и-1 .иии (' с) и.,(-,' с) [л -«~ и„,,(' с) л,].
14с1 Ниже будет показано, что к задаче (45) сводится разностная задача Дирнхле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. В заключение отметим, что условию существования решения задачи (45) можно придать следующую формулировку: решение существует и определяется формулой (46), если числа соз —, ла й =1, 2, ..., У вЂ” 1, не являются собственными значениями матрицы С. 62 й 5. Разностные задачи на собственные значения 1. Первая краевая задача на собственные значения.
В главе 1'Ч будет рассмотрен метод разделения переменных, который используется для нахождения решений сеточных краевых задач для эллиптических уравнений в прямоугольнике. В связи с этим возникает необходимость представления искомых сеточных функций в виде разложения по собственным функциям соответствующей разностной задачи. В данном параграфе мы рассмотрим разностные задачи на собственные значении для простейшего разностного оператора второго порядка, заданного на равномерной сетке. Сформулируем первую краевую задачу. Пусть на отрезке [О, 1) введена равномерная сетка со=(х;=(л, 1=0, 1, ..., Л1, ЙУ=1) с шагом Ь.
Требуется найти такйе значения параметра Л (собственные значения)„при которых существуют нетривиальные решения р (х;) (собствеиные функции) следующей разностной задачи: у„-„+Лу =О, х Е а, у(0) =у(1) =О, (1) где у(!+1) — 2у (!)+у(Š— !) у~~,~= лз у(1) =у(" )' Найдем решение задачи (1). Для этого запишем (1) в виде краевой задачи для разностного уравнения второго порядка Ь% ~ у(1+1) — 2 (! — ) у(1)+у(1 — 1) =О, 1(1(сЧ вЂ” 1, у(о) =у(й)) =о.
(2) В п. 1 2 4 было показано, что общее решение уравнения (2) имеет вид (см. формулу (20) 2 4) у(1)=с,Т;(з)+с,У,,(г), где с, и с,— произвольные постоянные, а через г здесь обозначено г = 1 — Ь'Л12. (3) Постоянные сг и с, определим из граничных условий у(0) =с;=О, у(1)1) =с,Ум т(г)=0. (4) Здесь и далее мы используем формулы (15) и (18) 2 4, определяющие полиномы Чебышева первого и второго рода, а также формулы (21) — (32) из того же параграфа. Так как ищется нетривиальное решение задачи (1), то с, ~ О, и из (4) будем иметь условие Ул, 4(г) = О, при выполнении которого решение задачи (1) имеет вид у, = с,У4 4(г).
зп Так как числа г„ =сов — , А = 1, 2, ..., л( — 1, суть корни полинома У, 4(г), то нз (3) находим собственные' значения задачи (1) 4.~ап4.~ЬЙ Ль — — —,з1п' — = —,, з!п' —, й=1, 2, ..., У вЂ” 1. (5) Каждому собственному значению Х„соответствует ненулевое решение задачи (1) Йи! - . М~! у (!) = с, У2, (г„) = с„з!п — = с„з!п — ', 0(!(!Ч ~с,=газ!и — ) . (6) Определим скалярное произведение сеточных функций, заданных на о!, следующим образом: Ж-! (и, о) =,Я~ и(!)о(!)6+0,5й[и(0) о(0)+и(У)о(М)1. Определим теперь постоянную с, в (6) так, чтобы функции уь(!) имели норму, равную единице, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
